，性质若，，且，则，„，成等差数列等比数列通项公式求和公式性质若，，且，则，„，成等比数列热点等差等比数列的有关运算微题型等差等比数列的基本运算例等差数列的前项和为，已知则的最小值为郑州模拟设等比数列的前项和为，若，则等于解析设等差数列的公差为，由已知，解得当时，最小值为由已知得故公比，又，故，又，代入可求得答案探究提高等差等比数列的基本运算是利用通项公式求和公式求解首项和公差公比，在列方程组求解时，要注意整体计算，以减少计算量微题型等差等比数列的性质运算例武汉模拟在等差数列中其前项和为，若，则的值为潍坊模拟在等比数列中，公比，前项和，则„解析根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，由已知可得，由，得公差故，法„„法二设„，„，„，因为且，所以，而，所以答案探究提高在解决等差等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质整体考虑减少运算量”的方法训练湖南卷设，求证是等差数列求数列的通项公式证明由，，得，所以，，故是等差数列解由知故，所以，热点三等差等比数列的判定与证明例数列的前项和为且对任意正整数，点，在直线上求数列的通项公式是否存在实数，使得数列为等差数列若存在，求出的值若不存在，请说明理由解由题意，可得当时得，所以因为所以所以是首项为，公比为的等比数列所以数列的通项公式为由知，若为等差数列，则成等差数列，则，即，解得又时显然成等差数列，故存在实数，使得数列成等差数列探究提高判断和证明数列是等差比数列的三种方法定义法对于的任意自然数，验证或为同常数通项公式法若或，则为等差数列若或，则为等比数列中项公式法若则为等差数列若则为等比数列训练江苏卷改编设，是各项为正数且公差为的等差数列证明，依次构成等比数列是否存在使得，依次构成等比数列并说明理由证明因为是同个常数，所以，依次构成等比数列，解令，则，分别为，假设存在使得，依次构成等比数列，则，且令，则，且，，化简得，且将代入式则显然不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立因此不存在使得，依次构成等比数列在等差比数列中，五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个解这类问题时，般是转化为首项和公差公比这两个基本量的有关运算等差等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形应用关系式，时，定要注意分，两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在起三个数成等差数列的充要条件是，但三个数成等比数列的充要条件不是第讲等差数列等比数列的基本问题高考定位等差数列与等比数列是最重要也是最基本的数列模型，与数列相关的命题绝大部分最终都要归结到这两个模型中来求解同时数列问题又是以运算为主导，其概念性质都是建立在准确运算的基础上，因此要特别注意运算能力的提升，保证每步运算正确真题感悟全国Ⅱ卷已知等比数列满足则解析设等比数列的公比为，则由，得，解得舍去或，于是，故选浙江卷已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则解析成等比数列，整理得又故选北京卷设是等差数列，下列结论中正确的是若，则若，则若，则若，则解析，选项易举反例，中若，又，即成立陕西卷中位数为的组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为解析由题意设首项为，则，答案考点整合求通项公式的常见类型观察法利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察归纳猜想出的表达式，然后用数学归纳法证明利用前项和与通项的关系，公式法利用等差比数列求通项公式累加法在已知数列中，满足，把原递推公式转化为，再利用累加法逐差相加法求解叠乘法在已知数列中，满足，把原递推公式转化为，再利用叠乘法逐商相乘法求解构造等比数列法在已知数列中，满足其中，均为常数，先用待定系数法把原递推公式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解等差数列通项公式，求和公式，性质若，，且，则，„，成等差数列等比数列通项公式求和公式性质若，，且，则，„，成等比数列热点等差等比数列的有关运算微题型等差等比数列的基本运算例等差数列的前项和为，已知则的最小值为郑州模拟设等比数列的前项和为，若，则等于解析设等差数列的公差为，由已知，解得当时，最小值为由已知得故公比，又