时，约定，„，算术几何平均不等式若„，为正数，则„，当且仅当„时，等号成立„答案设，，且求的最小值解根据柯西不等式，得的最小值为考点自测解析答案若，，且，求的最大值解当且仅当时，等号成立故的最大值为解析答案设，若不等式恒成立，求实数的最小值解，原不等式可化为，当且仅当时等号成立，即，解析答案返回题型分类深度剖析例已知，均为正数，且，求证证明因为，，所以题型用综合法与分析法证明不等式解析答案设且，求证证明因为，所以要证，只需证明即证，而，故需证明即证而当且仅当时等号成立成立所以原不等式成立解析答案思维升华设均为正数，且，证明证明由得由题设得，即所以，即解析答案跟踪训练证明因为，故，即所以解析答案例若，，求证，求的最小值解由柯西不等式当且仅当，即，时，等号成立所以的最小值为解析答案设，当取得最小值时，求的值解由于，所以，由于，所以，因此当时，的最小值是当时，的最小值是故的最小值为，此时，即解析答案设是正实数，且，求的最小值解的最小值为解析答案设，且满足求解由柯西不等式可得，即，因此因为，所以，解得，于是解析答案已知的三边长分别为求证证明因为，又，所以当且仅当时取等号解析答案已知，且，求的最小值解由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，的最小值是解析答案湖南设且证明与不可能同时成立证明由，得由基本不等式及，有，即假设与同时成立，则由及得同理从而，这与矛盾故与不可能同时成立解析答案已知„，求证解析答案关于的不等式，即的取值范围是，解析答案设，且，求的取值范围解由柯西不等式，得，即，的取值范围是，解析答案已知，，，，求的最小值解因为，，，，，所以，当且仅当且，即且时，有最小值解析答案求证解析答案返回不等式选讲课时不等式的证明内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习不等式证明的方法比较法作差比较法知道⇔，只要证明即可，这种方法称为作差比较法作商比较法由⇔且，因此当时，要证明，只要证明即可，这种方法称为作商比较法知识梳理答案综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法即的方法分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为个已成立的不等式已知条件定理等，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法即的方法由因导果执果索因答案反证法和放缩法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理定义定理性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件或已证明的定理性质明显成立的事实等矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法在证明不等式时，有时要把所证不等式的边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法数学归纳法般地，当要证明个命题对于不小于正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤证明当时命题成立假设当，且时命题成立，证明时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法几个常用基本不等式柯西不等式柯西不等式的代数形式设，均为实数，则当且仅当时，等号成立柯西不等式的向量形式设，为平面上的两个向量，则，等号当且仅当，共线时成立柯西不等式的三角不等式设，，则答案柯西不等式的般形式设为大于的自然数„，为实数，则„„„，等号当且仅当„时成立当时，约定，„，算术几何平均不等式若„，为正数，则„，当且仅当„时，等号成立„答案设，，且求的最小值解根据柯西不等式，得的最小值为考点自测解析答案若，，且，求的最大值解当且仅当时，等号成立故的最大值为解析答案设，若不等式恒成立，求实数的最小值解，原不等式可化为，当且仅当时等号成立，即，解析答案返回题型分类深度剖析例已知，均为正数，且，求证证明因为，