在上的射影为规律总结数量积的符号同夹角的关系若⇔为锐角或零角若⇔或与至少有个为若⇔为钝角或平角求平面向量数量积的方法若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式若已知向量的模及另向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求在题设不变的情况下，求在上的射影把“与的夹角”换成“”，求解析在上的射影为，与的夹角或当时，当时，若向量，且，求的值思路分析先由已知条件分析出的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算也可用整体处理法解决平面向量数量积的运算规范解答方法由已知得可知向量与同向，而向量与它们反向，所以有方法二规律总结向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论已知为与的夹角，试求分析将所给问题转化为数量积，并代入公式求解析原式原式原式原式点评考查向量数量积定义相当于平方差公式相当于完全平方公式用到数量积的运算及数乘向量的运算已知与是两个非零向量，且，求与的夹角向量的夹角思路分析我们可以利用向量减法的平行四边形法则，若以，为邻边作平行四边形，如图所示由图易知由，可知，与的夹角是我们还可以利用向量数量积的运算，得出与的夹角，为了巩固向量数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由作为切入点规范解答设与的夹角为因为所以，所以，故而由，得因为，将代入上式，得又所以与的夹角为规律总结本题主要考查利用向量数量积求夹角的问题，求解时可直接利用向量数量积的性质求解，也可利用数形结合的方法，借助图形直接求得若非零向量，满足与的夹角是我们还可以利用向量数量积的运算，得出与的夹角，为了巩固向量数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由作为切入点规范解答设与的夹角为因为所以，所以，故而由，得因为，将代入上式，得又所以与的夹角为规律总结本题主要考查利用向量数量积求夹角的问题，求解时可直接利用向量数量积的性质求解，也可利用数形结合的方法，借助图形直接求得若非零向量，满足，则与的夹角为答案解析，又即，选项求向量的模已知，向量与的夹角为，求规范解答解法由数量积公式求解因为，所以同样可求解法二由向量线性运算的几何意义求作菱形，使，，设如图所示，则，规律总结利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法或由关系式，可使向量的长度与向量的数量积互相转化因此欲求，可求，将此式展开利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了已知，则的值为答案解析，已知，是非零向量，为，的夹角，当取最小值时，求的值已知与共线且同向，求证⊥思路分析将的模表示为的函数，问题转化为求函数的最值问题要证⊥，只需证用向量数量积解决垂直问题规范解答令，则，所以当时，有最小值证明因为与共线且方向相同，故，所以故，所以⊥规律总结本题是道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模向量垂直及二次函数的最值等知识中求解时利用向量数量积的运算，将的模的平方表示为的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求的值中只需证出，求解时利用与共线且同向的条件，确定的值本题主要考查转化与化归的思想方法已知且与的夹角为，则当为何值时，向量与垂直分析利用⊥⇔，构造关于的方程组求解解析⊥，即为时，向量与向量垂直易错疑难辨析的三边长均为，且，求的值错解的三边长均为，又，同理，原式辨析错误的原因在于认为与的夹角为其实两向量的夹角应为平面上同起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是，故涉及向量夹角的问题时，要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制正解的三边长均为，，与的夹角为，同理，原式规律总结在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不定是两向量夹角成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版必修平面向量第二章从力做的功到向量的数量积第二章课堂典例讲练课时作业课前自主预习易错疑难辨析课前自主预习水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用那么它们遵循什么规律呢请看本节学习的内容向量的夹角已知两个非零向量和，作则叫作向量与的，并规定夹角的范围是当时，与同向当时，与反向当时，与垂直，记作⊥规定零向量可与任向量夹角垂直向量的数量积或内积定义叫作向量和的数量积，记作，即几何意义与的数量积等于的长度与在方向上的射影的乘积，或的长度与在方向上的射影的乘积向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质若是单位向量，则若⊥，则反之，若，则⊥通常记作⊥⇔对任意两个向量有当且仅当时等号成立向量数量积的运算律给定向量和实数，有以下结果若，则在方向上的射影与在方向上的射影必相等答案解析由向量数量积的几何意义可知选广东惠州高三调研已知向量且，则向量与的夹角为答案解析设与的夹角为，则，山东理，已知菱形的边长为，，则答案解析故选已知，则在方向上的射影为答案解析设与的夹角为，则，而在方向上的射影为若向量满足，则向量的夹角的大小为答案解析，故填课堂典例讲练已知与的夹角求求在上的射影思路分析已知向量，的模及其夹角，求及在上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可向量数量积的定义及几何意义规范解答在上的射影为规律总结数量积的符号同夹角的关系若⇔为锐角或零角若⇔或与至少有个为若⇔为钝角或平角求平面向量数量积的方法若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式若已知向量的模及另向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求在题设不变的情况下，求在上的射影把“与的夹角”换成“”，求解析在上的射影为，与的夹角或当时，当时，若向量，且，求的值思路分析先由已知条件分析出的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算也可用整体处理法解决平面向量数量积的运算规范解答方法由已知得可知向量与同向，而向量与它们反