为利用导数判断函数单调性凹凸性拐点取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。

总之，微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

而拉格朗日中值定理作为其中个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的些重要应用，这是十分必要的。

罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式二〇〇七年八月十七日星期五拉格朗日中值定理及其证明定理内容若函数满足如下条件在闭区间，上连续在开区间，内可导则在，内至少存在点，使。

几何意义函数在区间，上的图形是连续光滑曲线弧上至少有点，曲线在点的切线平行于弦。

如图定理证明教材证法从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若在闭区间，两端点的函数值相等，即，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理如果函数满足条件在闭区间，上连续在开区间，内可导，则在，内至少存在点，使得。

换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的个特殊情形。

所以，我们只须对函数作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理证明作辅助函数二〇〇七年八月十七日星期五显然，函数满足在闭区间，上连续，在开区间，内可导，而且于是由罗尔中值定理知道，至少存在点，使即用作差法引入辅助函数法证明作辅助函数，显然，函数在闭区间，上连续，在开区间，内可导，。

因此，由罗尔中值定理得，至少存在点，，使得，即二拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式利用拉格朗日中值定理求极限证明级数收敛研究函数在区间上的性质估值等问题。

利用拉格朗日中值定理证明不等式例当时，证明。

证明做辅助函数。

函数在定义域，上可导，故对于，有在闭区间，上连续，在开区间，上可导。

则至少存在点，，使得，而，。

当时，有，即，又当时，有，二〇〇七年八月十七日星期五所以得证。

对于证明不等式，关键怎样构造函数，其后巧用拉格朗日中值定理，画龙点睛恰到好处。

例已知，证明。

证明做辅助函数。

由于函数在，上连续可导，且，于是当时，在闭区间内可导，即满足拉格朗日中值定理的条件。

所以，，使得。

有。

又在，上单调递减，所以当时，有，即转化成。

综合可得成立。

综上所得当，。

拉格朗日定理的应用使本题简化了计算量，对于构造函数也比较简单，其优势表现的淋漓尽致。

利用拉格朗日中值定理证明等式包含恒等式和等式例证明恒等。

证明令，二〇〇七年八月十七日星期五则在时有意义，且。

在时，为常数。

又取，内任点，如，有，且，所以端点值也成立，有推论恒等。

由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点不妨设有。

那么若恒为，则有，所以，由，的任意性可知，在定义域内函数值恒等。

例设解题中的应用高等数学研究，二〇〇七年八月十七日星期五山东师范大学本科毕业论文设计题目审批表学院数学科学学院章系别教研室信息与计算时间年月日课题情况题目名称拉格朗日中值定理的应用课题性质基础研究基础应用研究应用研究教师姓名范进军职称教授学位硕士课题来源科研生产教学学生自拟其它成果类别论文设计主要研究内容与研究目标在文章中我首先介绍了拉格朗日中值定理及其证明，并在此基础上深入研究并系统总结了其应用，包括利用拉格朗日中值定理证明等式不等式求极限证明级数收敛证明根的存在性估值研究函数性态等等指导教师签名年月日选题学生签名年月日系所或教研室审题意见负责人签名年月日学院审批意见学院学位分委员会主任签名年月日二〇〇七年八月十七日星期五表学生用山东师范大学本科毕业论文设计开题报告论文题目拉格朗日中值定理的应用学院名称数学科学学院专业信息与计算科学学生姓名任雯蕾学号指导教师范进军年月日二〇〇七年八月十七日星期五选题的性质基础应用的性质二选题的目的和意义拉格朗日中值定理是微分学上的重要基础定理之，是沟通导数及其函数之间关系的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具，从拉格朗日中值定理的思想出发，学习构造辅助函数的方法，对于进步学习数学有深远意义。

三与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面研究现状课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多学者也只是研究了方面的应用，并没有进行深入系统的总结。

有所创新的方面先给出拉格朗日中值定理的本质，深入了解拉格朗日中值定理及其证明过程，并在此基础上总结它的广泛应用及其重要作用。

四课题研究的可行性分析大学期间，我们学习了数学分析数学学分析方法等课程，并在论文准备期间阅读了很多关于这方面的资料，为我在这个课题上能够获得成绩打下了坚实的基础，而且我们的这两门课程的老师都十分注重教授给同学们关于数学分析些基础应用方面的东西，授课时给我们补充了大量的关于应用的内容，耳濡目染，使得我能对拉格朗日中值定理的应用做出十分系统的总结。

二〇〇七年八月十七日星期五五课题研究的策略方法和步骤思路首先叙述拉格朗日中值定理内容和该定理的证明，在此基础上再使用拉格朗日中值定理来求极限证明恒等式证明不等式研究函数在区间上的性质估值证明方程根的存在性，深入理解该定理方法打算采用文献研究法演绎推理逻辑推理反证法等多种方法步骤。

六预期成果形式描述预计形成字左右的论文七指导教师意见指导教师签名年月日八学院学位分委员会意见学院学位分委员会主任签名年月日二〇〇七年八月十七日星期五表学生教师合用山东师范大学本科毕业论文设计教师指导记录表学院数学科学学院系别信息与计算专业信息与计算科学论文设计题目拉格朗日中值定理的应用学生姓名任雯蕾学号指导教师范进军职称教授计划完成时间指导情况纪录含指导时间指导内容范进军导师在先后几次见面中都对我提出了许多宝贵和有价值的建议，我对他的建议非常重视，并且都有仔细记录并且认真思考，我总结了下几点主要指导内容与学生进行初步谈话，确定论文写作的大致方向，包括涉及到的主要结构等，经过分析帅选，确定最终的选题。

年月号主要指导内容下达任务，知道学生根据任务书，查阅收集整理文献，开展调研，确定思路，并指导学生完成开题报告，同时指导学生将毕业设计论文题目汇总表初选报教务处。

年月号主要指导内容导学生论文初稿的撰写和批改。

主要是对论文结构的指导，还包括内容是否与论点和论题相关，论点的阐述是否完整，指导学生文章中逻辑混乱的地方，并指导修改常见的语法和表述。

另外指出学生抄袭的地方，指导其改正重写。

年月号主要指导内容组织学生进行毕业设计论文中期检查，并完成论文第二稿的批阅和修改。

主要指导学生第稿中尚未修改的遗留问题，还包括论文中存在的其他新的问题。

进步完善论文的写作，指导学生删减和添加的部分，使其文章更加具体，完整。

年月号主要指导内容完成论文三稿的修改和定稿工作，指导学生论文中遗留的问题，进步审查了论文中的细节部分，包括字体大小，文章编排，指导学生仔细阅读毕业论文的格式要求，并完全按照标准完成论文。

完成毕业设计论文的批阅评阅，答辩资格审查和答辩安排，并将答辩安排报教务处。

年月号指导教师签名学生签名学院学位分委员会主任签名年月日注本科论文设计的指导应不少于次，如表格空间不足可另附页。

二〇〇七年八月十七日星期五指导教师意见包括选题的意义，资料收集或实验方法数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价成绩指导教师签名年月日注成绩按优良中合格不合格五级分制计。

二〇〇七年八月十七日星期五评阅人意见包括选题的意义，资料收集或实验方法数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价成绩评阅人签名年月日注成绩按优良中合格不合格五级分制计。

二〇〇七年八月十七日星期五答辩委员会意见应根据论文内容和答辩情况，并参考指导教师意见评阅人意见对论文的综合水平做出具体评价成绩答辩委员会主任签名年月日学院学位分委员会意见成绩学位分委员会主任签名公章年月日注成绩按优良中合格不合格五级分制计。

二〇〇七年八月十七日星期五表学院用山东师范大学本科毕业论文设计答辩记录表学院数学科学学院章系别信息与计算专业信息与计算科学论文设计题目拉格朗日中值定理的应用学生姓名任雯蕾学号指导教师范进军职称教授答辩时间年月日答辩地点答辩委员会名单姓名性别职称职务其它刘茜女副教授主任肖新玲女讲师委员宋丽叶女讲师秘书范进军男教授委员答辩记录记录人签名答辩委员会主任签名年月日年月日二〇〇七年八月十七日星期五山东师范大学本科毕业论文设计摘要学院数学科学学院专业信息与计算科学班级班姓名任雯蕾学号指导教师范进军论文设计题目拉格朗日中值定理的应用关键词拉氏中值定理应用极限收敛论文设计字数内容摘要以罗尔中值定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的整组中值定理是整个微分学重要的和基本的理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是这几个中值定理中最重要的个，在微分中值定理和高等数学中具有承上