量的分布率为若级数绝对收敛，则称级数的值为离散型随机变量的数学期望，记为，即定义设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为，即二〇二年六月六日星期三随机变量的函数的数学期望定理设是随机变量的函数是连续函数。是离散型随机变量，它的分布率为，若绝对收敛，则有是连续型随机变量，它的概率密度为，若绝对收敛，则有条件数学期望定义设,为二维离散型随机变量，其分布为,若级数绝对收敛，则称其和为在条件下的条件数学期望，记为，即类似地，在条件下的条件数学期望可定义为定义设,为二维连续型随机变量，在条件下的条件密度函数为，若积分绝对收敛，则称其值为在条件下的条件数学期望，记为，即二〇二年六月六日星期三类似地，在条件下的条件数学期望可定义为数学期望在实际生活中的应用随机变量的分布函数或分布率概率密度函数都能全面地反映随机变量的特征，但在实际问题中，有时并不需了解随机变量的全面情况，只需知道它的重要特征。决策问题在经营管理决策中，有时按项指标的大小比较各种备选方案的优劣如果这些指标受到随机因素的影响，则可按各方案项指标的数学期望的大小来做出最优决策。因此,可利用随机变量的数字特征数学期望来求解些经济决策问题。生产批量问题企业为了确定今后年内生产种服装的批量，以便及早做好生产前的各项准备工作。根据以往的销售统计资料及市场调查预测，未来市场销路好中差三种状况的概率分别为，和。若按大中小三种不同生产批量投资，今后年不同销售状态下的益损值如下表状态销路好销路中销路差概率大批量益损值中批量益损值小批量益损值试作出定量分析，确定今后年最佳生产批量。分析虽然益损值的分布未知，但由于它的数学期望表示平均值，在三种状态的平均值是可求的，故可用它作为评判的标准。解计算三个批量的益损值的数学期望二〇二年六月六日星期三由上述数据可见，中批量生产的益损均值最大,即中批量生产获益最大。故应选择中批量生产较为合适。数学期望在物流管理方面有着许多应用，采购管理库存管理生产物流管理等都要计算出获利的数学期望值从而做出决策，上面举出了通过离散型随机变量的数学期望计算损益值数学期望决定生产批量例，比较三个批量哪个批量使得利益最大，即为最佳批量。货物出口问题国家出口种商品，假设国外对该商品的年需求量是随机变量，且知，单位。若售出则得外汇万元若售不出，则花保养费万元，问每年应准备多少商品，才能使用国家收益的期望值最大最大期望值为多少分析由于该商品的年需求量是随机变量，且收益也是随机变量，它是的函数，称为随机变量的函数。本问题涉及的最佳收益只能是收益的数学期望即平均收益的最大值，此题可通过随机变量函数的数学期望进行求解。解设每年准备商品,显然有，收益是的函数为当当即当当又因为随机变量的概率密度为，其他，当,所以二〇二年六月六日星期三期望值最大时，有求得即当时，国家收益的期望值最大。最大期望值为万元所以国家收益的最大期望值为万元。随着经济不断发展，货物的进出口在国家经济中占有举足轻重的作用，无论进口还是出口货物，都是优先考虑国家收益数学期望值来决定进货量和备货量，货物出口问题是通过随机变量的函数的数学期望求解国家收益的最大值，即通过年需求量的收益函数数学期望值决定备货量。求职决策问题有三家公司为大学生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为。每家公司都可提供极好好和般三种职位。每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝乃骗局，切不可参与。生活中，设赌者往往开出诱人的赢钱金额来吸引参赌者，乍看之下赢钱的可能有四种，输钱只有种可能，还有种可能既没输钱也没赢钱，从概率角度，金额越大概率越小，计算获得金额的数学期望值会发现赌局往往只是骗局，靠金额的数量吸引人的骗局，所以切不可盲目参与。保险赔偿金问题保险机构是最早使用概率论的部门之，保险公司为了恰当地估计企业的收支和风险，需要计算各种各样的概率，下面的赔偿金的确定问题，就是数学期望在保险企业的简单应用。据统计，年龄的健康人在年内死亡的概率为，人寿保险公司准备开办该年龄段的年人寿保险业务，预计有人参加保险，条件是参加者需交保险金元待定，若年之内死亡，公司将支付赔偿金元待定，二〇二年六月六日星期三便有以下问题若需交保险金元，试确定公司将支付多少元赔偿金才能使保险公司期望盈利若赔偿金为元，欲使保险公司获利盈利万元时，每位参保者至少需交保险金为多少元解设表示保险公司在每个参保者身上所得的收益，为随机变量。由题已知，需确定，此时服从两点分布，可能取值为，其分布律为故保险公司在每次参保身上获得的平均收益若要使保险公司期望盈利，则应有于是可得元时，保险期望盈利。由题已知，需确定，此时服从两点分布，可能取值为，其分布律为故保险公司在每次参保身上获得的平均收益欲使保险公司获利盈利万元时，应有于是可得元现今社会，买保险已经非常普遍，保险赔偿金确定问题就是以保险公司角度二〇二年六月六日星期三根据买保险的人数和参保人的死亡概率来确定参保人应交多少保险金公司应支付多少赔偿金来使公司盈利的问题。体育比赛问题众所周知，乒乓球是我们的国球，中国队在这项运动中更具有优势。假设韩国队和中国队比赛，赛制有两种双方各出人，三场两胜制双方各出人，五场三胜制。哪种赛制对中国队更有利分析由于中国队在这项比赛中的优势，可假设中国队中每位队员对韩国队员的胜率都为。根据前面的分析，下面我们只需要比较两个队对应的数学期望即可。解在三场两胜制中，中国队要取得胜利，获胜的场数有两种结果。应用二项式定理可知，恰好获胜两种即其中场失利对应的概率三场全部获胜对应的概率设随机变量为三场两胜制下中国队在比赛中获胜的场数，则的分布律为随机变量的数学期望为在五场三胜制中，中国队要取得胜利，获胜的场数有三种结果。恰好获胜三场即其中两场失利对应的概率恰好获胜四场即其中场失利对应的概率五场全部获胜对应的概率二〇二年六月六日星期三设随机变量为五场三胜制下中国队在比赛中获胜的场数，则的分布律为随机变量的数学期望为比较两个期望值，得所以我们可以得出结论，五场三胜制对中国队更有利。乒乓球是中国的国球，在比赛中胜利的可能性大，为使比赛更有把握获得胜利，从赛制上就更要比较哪种赛制取胜更有可能。应用二项式定理分别计算出三场两胜制胜利的概率和五场三胜制胜利的概率，通过比较两种赛制获胜的场数发现五场三胜制对中国队更有利，使中国队获胜几率更大。旅游收益问题近年来，随着科学技术的发展，航空酒店旅游服务等领域也随之发展。外出旅游已随着生活水平的提高日渐普遍了，旅游行业也随之发展迅速，假期旅游更大大提高了收益。十黄金周是许多人外出旅游的好时段，许多景区也会随之出现客流量剧增现象。现有景区根据以往数据分析得该景区般容纳客流量服从，单位万人上的均匀分布，根据预定票人数预测黄金周该景区实际客流量服从，单位万人上的均匀分布，若实际客流量不超过该景区般容纳客流量，票价会持续保持为元人若超过，票价将提高至元人，以控制客流量增长。试求该景区在十黄金周这时段平均门票收益。分析由于景区容纳量受到定的限制，所以应先考虑收益在景区般容纳客流量条件下的条件期望，再通过全期望公式求解平均收益。解根据题意，该景区般容纳客流量,单位万人该景区实际客流量,单位万人设该景区门票收益为万元二〇二年六月六日星期三则有当当即当当当给定时，是关于的函数当时当时由全期望公式有,所以，该景区在十黄金周这时段平均门票收益为万元。景区门票收益问题主要应用了连续型条件数学期望和全期望公式对平均收益进行求解，全期望公式是条件数学期望的重要性质，也是求解平均值的重要方法。警方破案问题若以与分别表示中国成年人的身高与足长，则就表示足长为的中国成年人的平均身高。解般,服从二维正态分布随机向量,概率密度二〇二年六月六日星期三,有边缘分布，，当时，的密度函数为,所以，已知时，,于是，同理实用上，运用数理统计中的参数估计方法，可从,定量的实测数据得出，，，，的估计值，于是就可估计出。对于成年男性来说，警方科研人员通过研究得到这是根据足长预测身高的个经验公式单位，对破案起着重要作用。数学期望作为数学随机变量最重要的特征数，又从个重要的侧面描述了分布的特征，通过对数学期望的研究掌握随机变量的规律，列举数学期望在很多实际问题中的应用，让人们更充分地认识到数学期望这数学理论可以更好地解决人们在日常生活中遇到的问题。其实除了文中所提到的应用，在我们的生活中处处都有数学期望的影