些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。二〇三年四月二十五日星期四数形结合词正式出现在华罗庚先生于年月撰写的谈谈与蜂房结构有关的数学问题的科普小册子中。数形结合的应用大致又可以分为两种情形第种情形是以数解形，而第二种是以形助数。以数解形就是有些图形过于简单，直观观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长角度等等。以形助数是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。数形结合思想的研究意义及作用数形结合思想在中学教学中有着重要的研究意义。首先，数形结合能更好帮助学生对所学知识的掌握与记忆。例如在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，像函数的定义域值域单调性奇偶性周期性有界性以及凹凸性等。其次，应用数形结合能培养学生的数学直觉思维能力。第三，数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力。第四，应用数形结合有益于培养学生的创造性思维能力。数无形时不直观，形无数时难入微道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。在中学教学中，数形结合已成为条重要的教学原则。数形结合思想方法在中学数学教学中的地位从新课程标准对思维能力的要求看数形结合数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识第通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动变化联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分渗透数形结合思想，挖掘它的教学功能和解题功能。从新课程教学内容的特点来看数形结合数学基本知识与数学思想方法是课堂教学内容的两个不可分割的有机组成部二〇三年四月二十五日星期四份。数学思想方法是解决数学问题的根本思想和手段，它是人们探索数学真理，求解数学问题的过程中逐步积累起来的，并蕴含于各个数学分支的公理定理公式法则和解决问题的过程中，是人类宝贵的精神财富。数学思想方法产生数学知识，数学知识蕴含数学思想和方法，两者的联系是辩证的统。这就决定了在中学数学课堂教学中，数学知识的教学不能代替数学思想方法的教学，课堂教学的目的，应在于运用数学思想方法去揭示数学知识之间的内在联系，教师在课堂教学中，既要重视数学知识的教学，更要突出数学思想和方法的教学，通过数学思想和方法的教学，使我们的学生毕业之后，不论做什么业务工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神，数学思想方法和着眼点，都随时随地发生作用，使他们终生受用。然而在课堂教学中教师过于呆板地强调着逻辑思维能力。在教学中忽视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中些抽象的结论的理解。忽视学生形象思维的培养。学生对于现在这种过于陈旧的课堂教学模式不能产生亲和感，感到枯燥，厌恶。事实上教材中体现数形结合思想方法的内容很多，可以通过数形结合给代数提供几何模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生学习的负担，从而引发学生学习数学的兴趣。利用数形结合有利于进行初高中数学教学的过渡衔接。初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强对数学概念的理解基础上的运用，对思维能力运算能力空间想象能力，数学语言的运用要求较高。因此学生对于高中数学的学习要有个适应过程。教师更要帮助学生渡过这个关口。从高数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。从高考题设计背景来看数形结合随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性和多变性发展，增加了应用题，开放题，情景题，强调检测学生的创造能力。重在考查对知识理解的准确性深刻性，重在考查知识的综合应用，着眼于对数学思想方法数学能力的考查。高考试题这种以能力立意的积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。而数形结合是中学数学中最重要最基本的数学思想方法之。利用数形结合设题，方面考查学生对数学的符号语言，数学的图形语言的理解能力，语言的互补互译互化能力，即在数学本质上的有欲转化能力，另方面考查学生的构图能力，以及对图形的二〇三年四月二十五日星期四想象能力，综合应用知识的能力考查数形结合的应用能力最能展示学生能否进行数学地思维。因此数形结合在每年的高考中都是道亮丽的风景线，如果能从图形特征中发现数量关系，又能从数量关系中发现图形特征，并准确构图那么很快就能得出正确答案。数形结合思想应用的途径和原则数形结合的途径通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系复平面可以将图形问题代数化。这方法在解析几何中体现的相当充分值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧。实现数形结合，常与以下内容有关实数与数程与相应的圆锥曲线对应等等。这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造个图形。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。数形结合的原则等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的般性，这时图形的性质只能是种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。双向性原则二〇三年四月二十五日星期四在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析，在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单。而不是去刻意追求种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。数形结合思想方法在中学解题中的应用数中思形利用韦恩图法解决集合之间的关系问题般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。例校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加科的数学人，物理人，化学人至少参加两科的数理人，数化人，理化人三科都参加的人，试计算参加竞赛总人数。解我们用圆分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。用表示集合的元素，则有即参加竞赛总人数为人利用数轴解决集合的有关运算例设求化数理二〇三年四月二十五日星期四,分析分别先确定集合，的元素，,或，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案或公共部分整个数轴都被覆盖或或除去重合部分剩下的区域除去覆盖部分剩下的区域数形结合思想在解决对称问题中的应用例如图，已知，从点,射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是解题思路利用对称知识，将折线的长度转化为折线的长度解析设点关于直线的对称点为关于轴的对称点为,，则光线所经过的路程的长本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，般地，在已知直线上求点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求点到两个定点的距离之差的。。二〇三年四月二十五日星期四最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。利用函数图像比较函数值的大小些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。如例试判断三个数间的大小顺序分析这三个数我们可以看成三个函数在时，所对应的函数值在同坐标系内作出这三个函数的图像如图，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论数形结合思想在解方程问题中的应用例解方程分析由方程两边的表达式我们可以联想起函数与,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为数形结合解决最值问题利用数形结合思想有时可以解决些比较复杂的最值和值域问题，特别是些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题。例已知函数，求函数的最小值解由的结构形式，我们可以联想到几何当中直线的斜率公式，即可以看成过点,与点•••二〇三年四月二十五日星期四,的直线的斜率是动点且在圆上，为定点，作出图象，由图可知,，则，所以圆的切线的倾斜角为，故形中觅数例设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况分析我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出当时,与没有交点，这时原方程无解当时,与有两个交点,原方程有两个不同的解当时,与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个④当时,与有三个交点，原方程不同解的个数有三个当时,与有两个交点，原方程不同解的个数有三个例已知直线和双曲线有且仅有个公共点，求的不同取值个数。分析作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点的直线系，双曲线的渐近线方程为。二〇三年四月二十五日星期四所以过点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有个公共点，此时取两个不同值，此外，过点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有个公共点，此时取两个不同的值，故有四个不同取值。在做很多题目时把图形画出来，问题自然就解决了，利用数与形的相互转化来解决几何问题，它具有直观性灵活性