1、令，得，从而得切线与直线的交点坐标为，解析思维升华例证明曲线上任点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值令，得，从而得切线与直线的交点坐标为,所以点，处的切线与直线，解析思维升华例证明曲线上任点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值所围成的三角形的面积为故曲线上任点处的切线与直线，所围成的三角形面积为定值，且此定值为解析思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点当曲线在点，处的切线垂直于轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是例证明曲线上任点处的切线与直线和直线“在点处的切线”与“过点的切线”致误典例若存在过点,的直线与曲线和都相切，则易错分析解析温馨提醒解析因为，所以，设过,的直线与相切于点则在该点处的切线斜率为，易错警示系列混淆“在点处的切线”与“过点的切线”致误典例若存在过点,的直线与曲线和都相切，。

2、的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标解设切点坐标为则直线的斜率为直线的方程为又直线过点，整理得得切点坐标直线的方程为，切点坐标为，函数的图象在点，处的切线的倾斜角为解析由，得根据得所以，即倾斜角满足若函数，则与的大小关系是解析依题意得，当，时，是，上的增函数，又答案已知曲线，若过曲线外点,引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则的值为解析设切点坐标为，由题意知切线的斜率为，所以切线方程为将点,代入式得解得，或分别将和代入式，得和，由题意，它们互为相反数得答案若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是解析，存在垂直于轴的切线，存在零点，即有解已知函数若曲线与曲线在处的切线斜率相同，求的值并判断两条切线是否为同条直线解根据题意有曲线在处的切线斜率为，曲线在处的切线斜率为所以，即曲线在处的切线方程为，得，即切线方程为曲线在处的切线方程为，得，即切线方程为，所以两条切线不是同条直线数学苏理导数。

3、思维升华解析思维升华例解例，故设解析思维升华例则解析思维升华有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错例解析思维升华复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导例解析思维升华解析思维升华例例解设则，因此解析思维升华有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错例解析思维升华复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导例解析思维升华跟踪训练，若，则解析，故由得，则，解得若函数，则值等于解析。

4、直线与直线和围成的三角形如图所示，其中直线与的交点为三角形的面积题型利用定义求函数的导数例用定义法求函数在处的导数解析思维升华题型利用定义求函数的导数例用定义法求函数在处的导数解方法，解析思维升华题型利用定义求函数的导数例用定义法求函数在处的导数所以所以函数在处的导数为解析思维升华题型利用定义求函数的导数例用定义法求函数在处的导数方法二，解析思维升华题型利用定义求函数的导数例用定义法求函数在处的导数所以故解析思维升华求函数的导数步骤求函数值的增量题型利用定义求函数的导数例用定义法求函数在处的导数计算平均变化率计算导数解析思维升华题型利用定义求函数的导数例用定义法求函数在处的导数解析思维升华利用定义法求解，可以先求出函数的导数，然后令即可求解，也可直接利用定义求解跟踪训练函数在，上的平均变化率该函数在处的导数是解析已知，则解析，已知，则，题型二导。

5、化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错例解析思维升华复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导例解析思维升华解析思维升华例例解设则，因此解析思维升华有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错例解析思维升华复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导例解析思维升华跟踪训练，若，则解析，故由得，则，解得若函数，则值等于解析若，则解析思维升华题型三导数的几何意义例设函数，曲线在点，处的切线方程为求的解析式当时，又，解析思维升华题型三导数的几何意义例设函数，曲线在点，处的切线方程为求的解析式解方程可化为于是。

6、的概念及运算第三章导数及其应用基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分函数从到的平均变化率函数从到的平均变化率为，若则平均变化率可表示为函数在处的导数定义称函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或，即几何意义函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的相应地，切线方程为函数的导函数称函数为的导函数，导函数有时也记作，切线的斜率基本初等函数的导数公式原函数导函数为常数，且导数的运算法则复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于的导数与的导数的乘积对对思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”与表示的意义相同求时，可先求再求曲线的切线不定与曲线只有个公共点与曲线只有个公共点的直线定是曲线的切线若，则函数的导数是题号答案解析，曲线在点,处的切线斜率，切线方程为，该。

7、则易错分析解析温馨提醒所以切线方程为，即又,在切线上，则或当时，由与相切可得易错警示系列混淆“在点处的切线”与“过点的切线”致误典例若存在过点,的直线与曲线和都相切，则易错分析解析温馨提醒易错警示系列混淆“在点处的切线”与“过点的切线”致误典例若存在过点,的直线与曲线和都相切，则，当时，由与相切，可得或易错分析解析温馨提醒易错警示系列混淆“在点处的切线”与“过点的切线”致误典例若存在过点,的直线与曲线和都相切，则对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解易错分析解析温馨提醒或方法与技巧代表函数在处的导数值是函数值的导数，而函数值是个常数，其导数定为，即对于函数求导，般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在。

8、实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误失误与防范利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的区别，前者只有条，而后者包括了前者曲线的切线与曲线的交点个数不定只有个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别设点是曲线上的任意点，曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是解析，又，结合正切函数图象可知或已知函数的导函数为，且满足，则解析由，得，则大纲全国改编曲线在点,处切线的斜率等于解析，故曲线在点,处的切线斜率为与直线平行的抛物线的切线方程是解析对求导得设切点坐标为则切线斜率为由得，故切线方程为，即曲线在点,处的切线与轴及直线所围成的三角形的面积为解析求导得，所以，所以曲线在点,处的切线方程为，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是于是三角形。

9、时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错题型二导数的运算例求下列函数的导数解析思维升华复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导题型二导数的运算例求下列函数的导数解析思维升华解析思维升华例例解，解析思维升华有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错例解析思维升华复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导例解析思维升华解析思维升华例解例，故设解析思维升华例则解析思维升华有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先。

10、解得，故解析思维升华题型三导数的几何意义例设函数，曲线在点，处的切线方程为求的解析式导数几何意义的应用，需注意以下两点当曲线在点，处的切线垂直于轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是解析思维升华题型三导数的几何意义例设函数，曲线在点，处的切线方程为求的解析式注意区分曲线在点处的切线和曲线过点的切线曲线在点，处的切线方程是求过点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解解析思维升华题型三导数的几何意义例设函数，曲线在点，处的切线方程为求的解析式例证明曲线上任点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值解析思维升华例证明曲线上任点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值设，为曲线上任点，由知曲线在点，处的切线方程为，解析思维升华例证明曲线上任点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值即。

11、数的运算例求下列函数的导数解析思维升华题型二导数的运算例求下列函数的导数解解析思维升华有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错题型二导数的运算例求下列函数的导数解析思维升华复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导题型二导数的运算例求下列函数的导数解析思维升华解析思维升华例例解，解析思维升华有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错例解析思维升华复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导例解析。

12、的面积为答案已知函数的导函数为，且满足，则解析对求导，得令，得再令，得已知函数及其导函数的图象如图所示，则曲线在点处的切线方程是解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线在点处的切线的斜率，又过点所以切线方程为已知函数若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为解析，由已知得解得，两条曲线交点的坐标为切线的斜率为，切线的方程为，即答案已知抛物线通过点且在点，处与直线相切，求实数的值解，抛物线在点，处的切线斜率为又点在抛物线上联立解方程组，得实数的值分别为已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限求的坐标解由，得，由已知令，解得当时当时，又点在第三象限，切点的坐标为，若直线⊥，且也过切点，求直线的方程解直线⊥，的斜率为，直线的斜率为过切点，点的坐标为直线的方程为，即已知函数求曲线在点，处的切线的方程解可判定点，在曲线上在点，处的切线的斜率为切线的方程为即直线为曲线。

参考资料：

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[15]北京市西城区重点高中校2016年2月高三语文科普类文章的阅读2课件（30张）（第30页，发表于2022-06-24 20:42）

[16]2016年五月海南省三道中学人教版八年级语文下第六单元27课《岳阳楼记》课件（共36张PPT）（第36页，发表于2022-06-24 20:42）

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[18]2016年高中物理新人教版选修3-5第19章第六节《重核的裂变》课件（32张ppt）（图片版，共32张PPT）（第32页，发表于2022-06-24 20:42）

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