速度应控制在，单位范围内例如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有艘走私船在处北偏西方向，距处海里的处的我方缉私船奉命以海里小时的速度追截走私船，此时走私船正以海里小时的速度，以处向北偏东方向逃窜问缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船并求出所需时间题型二测量角度问题解析思维升华思维点拨设缉私船小时后在处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出时间解析思维升华思维点拨解设缉私船应沿方向行驶小时，才能最快截获在点走私船，则海里，海里，在中，由余弦定理，有解析思维升华思维点拨海里又，，，点在点的正东方向上，，解析思维升华思维点拨在中，由正弦定理，得，，缉私船沿北偏东的方向行驶又在中，，即解析思维升华思维点拨小时分钟缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要分钟解析思维升华思维点拨测量角度问题的般步骤在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离用正弦定理或余弦定理解三角形将解得的结果转化为实际问题的解解析思维升华思维点拨跟踪训练如图，两座相距的建筑物，的高度分别为，为水平面，求从建筑物的顶端看建筑物的张角的大小解依题意可得又，所以在中，由余弦定理得跟踪训练如图，两座相距的建筑物，的高度分别为，为水平面，求从建筑物的顶端看建筑物的张角的大小跟踪训练如图，两座相距的建筑物，的高度分别为，为水平面，求从建筑物的顶端看建筑物的张角的大小，又，所以，跟踪训练如图，两座相距的建筑物，的高度分别为，为水平面，求从建筑物的顶端看建筑物的张角的大小所以从顶端看建筑物的张角为题型三利用三角函数模型求最值例如图，在直径为的圆中，作关于圆心对称邻边互相垂直的十字形，其中将十字形的面积表示为的函数思维点拨解析思维升华题型三利用三角函数模型求最值例如图，在直径为的圆中，作关于圆心对称邻边互相垂直的十字形，其中将十字形的面积表示为的函数由题图可得，列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意的范围思维点拨解析思维升华解设为十字形的面积，则将十字形的面积表示为的函数思维点拨解析思维升华三角函数作为类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值题型三利用三角函数模型求最值例如图，在直径为的圆中，作关于圆心对称邻边互相垂直的十字形，其中将十字形的面积表示为的函数思维点拨解析思维升华例满足何种条件时，十字形的面积最大最大面积是多少思维点拨解析思维升华由题图可得，列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意的范围例满足何种条件时，十字形的面积最大最大面积是多少思维点拨解析思维升华例满足何种条件时，十字形的面积最大最大面积是多少解，其中，当，即时，最大思维点拨解析思维升华例满足何种条件时，十字形的面积最大最大面积是多少所以，当时，最大，最大值为思维计航行方案如下航行方向为北偏东，航行速度为海里小时分规范解答温馨提醒假设小艇的最高航行速度只能达到海里小时，试设计航行方案即确定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由在解决数学问题时，有种从未知转化为已知的手段，就是通过引入变量，寻找已知与未知之间的等量关系，构造函数，然后借助函数的变化趋势来分析或预测未知量的变化情况，这就是函数思想规范解答温馨提醒假设小艇的最高航行速度只能达到海里小时，试设计航行方案即确定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由在解三角形应用举例中，借助函数思想可以解决以下两类问题距离最短的追缉问题仰角或视角最大问题规范解答温馨提醒假设小艇的最高航行速度只能达到海里小时，试设计航行方案即确定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由求解此类问题时可先借助三角形中的正余弦定理建立等量关系，然后借助函数的知识如二次函数最值的求法，导数等探求最优解规范解答温馨提醒方法与技巧合理应用仰角俯角方位角方向角等概念建立三角函数模型把生活中的问题化为二维空间解决，即在个平面上利用三角函数求值合理运用换元法代入法解决实际问题失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义方向角从指定方向线到目标方向线的水平角方位角从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角坡度坡面与水平面所成的二面角的正切值仰角与俯角与目标视线在同铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角如果在测量中，渠道斜坡的坡度为，设为坡角，那么解析因为，所以有长为的斜坡，它的倾斜角为，现高不变，将倾斜角改为，则斜坡长为可用正弦余弦值表示，，在中，由正弦定理得，解析如图，，答案个大型喷水池的中央有个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，人在喷水柱正西方向的点测得水柱顶端的仰角为，沿点向北偏东前进到达点，在点测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度是解析设水柱高度是，水柱底端为，则在中，根据余弦定理得即，即，即，故水柱的高度是答案如图所示，三点在地面的同直线上从，两点测得点的仰角分别为和，则点距地面的高为解析，，如图所示，三点在地面的同直线上从，两点测得点的仰角分别为和，则点距地面的高为解析，，解得已知两地的距离为，两地的距离为，现测得，则两地的距离为解析由余弦定理，如图，设，两点在河的两岸，测量者在点的同侧的河岸边选定点，测出的距离为，，，则，两点的距离为解析在中，，由正弦定理得，所以答案两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的方向解析灯塔的相对位置如图所示，由已知得，，则，即北偏西北偏西在高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别是，如图所示，则塔高为解析由已知在中，则在中，又，答案如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同水平面内的两个观测点与，测得，并在点处测得塔顶的仰角为，求塔高解在中，，由正弦定理，得，所以在中所以塔高为如图所示，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处已知在时刻时点距离地面的高度，求时点距离地面的高度解依题意则又，故，则即时点距离地面的高度为求证不论为何值，是定值证明由知，是定值，即得证如图为半径是的水轮，水轮的圆心距离水面已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面的距离与时间满足函数关系，则，解析每分钟转圈，每圈所需时间又答案地震救援队探测出建筑物废墟下方处有生命迹象，已知废墟侧地面上的，探测点相距米，探测线与地面的夹角分别为和如图所示，则生命所在点的深度为米解析在中，由正弦定理得点的深度为答案甲乙两楼相距米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲乙两楼的高分别是，所以米，解析如图，依题意有甲楼的高度为米，又米，故乙楼的高度为米答案米米渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角为，距离为的处，并测得渔船正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间解如图所示，设所需时间为小时，则，在中，根据余弦定理，则有，可得整理得，解得或舍去所以舰艇需小时靠近渔船，此时，在中，由正弦定理得，所以所以所以舰艇航行的方位角为运输装置如图所示，其中钢结构是，的固定装置，上可滑动的点使垂直于地面不与，重合，且可伸缩当伸缩时，装置随之绕在同平面内旋转，利用该运输装置可以将货物从地面处沿运送至处，货物从处至处运行速度为，从处至处运行速度为为了使运送货物的时间最短，需在运送前调整运输装置中的大小当变化时，试将货物运行的时间表示成的函数用含有和的式子表示解在中，，，则当最小时，点应设计在的什么位置解令，则令，得，设，则，时当时，取得最小值，此时故当时货物运行时间最短三角函数模型及解三角形应用举例第四章三角函数解三角形数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分三角函数模型的简单应用在生活中的应用在建筑学中的应用在航海中的应用在物理学中的应用用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题高度问题角度问题计算面积问题航海问题物理问题等实际问题中的常用角仰角和俯角与目标线在同铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角如图上方下方方向角相对于正方向的水平角，如南偏东，北偏西等方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为如图坡度坡面与水平面所成的二面角的正切值正北解三角形应用题的般步骤阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型根据题意选择正弦定理或余弦定理求解将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题近似计算的要求等思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别从处望处的仰角为，从处望处的俯角为，则，的关系不能确定若在的北偏东，则在的东偏北如果在测量中，渠道斜坡坡比为，设为坡角，那么如图，为了测量隧道口的长度，可测量数据进行计算题号答案解析或在中，，由余弦定理，得，所以由正弦定理，得由，知为锐角，故故题型测量距离高度问题例四川如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度约等于用四舍五入法将结果精确到个位参考数据，解析思维升华思维点拨利用正弦定理解解析思维升华思维点拨根据已知的图形可得在中，，，由正弦定理，得，所以答案解析思维升华思维点拨这类实际应用题，实质就是解三角形问题，般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解在测量高度时，要正确理解仰角俯角的概念，画出准确的示意图，注意综合应用方程平面几何和立体几何等知识解析思维升华思维点拨例人在塔的正东沿着南偏西的方向前进米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为，求塔高思维点拨解析思维升华依题意画图，人在处，为塔高，他沿前进，米，此时，从到沿途测塔的仰角，只有到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为，例人在塔的正东沿着南偏西的方向前进米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最