区间，上的函数满足，且当时求的值抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意，在所给区间内比较与的大小，或与的大小解析思维升华题型三利用函数的单调性求最值例已知定义在区间，上的函数满足，且当时求的值有时根据需要，需作适当的变形如或等求函数最值的常用方法单调性法基本不等式法配方法图象法导数法解析思维升华解析思维升华例证明为减函数例证明为减函数证明任取，，，且，则，由于当时，所以，解析思维升华例证明为减函数由于当时，所以，即，因此，所以函数在区间，上是减函数解析思维升华例证明为减函数抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意，在所给区间内比较与的大小，或与的大小解析思维升华例证明为减函数有时根据需要，需作适当的变形如或等求函数最值的常用方法单调性法基本不等式法配方法图象法导数法解析思维升华解析思维升华例若，求在,上的最小值例若，求在,上的最小值解在，上是减函数在,上的最小值为由得，解析思维升华例若，求在,上的最小值，即在,上的最小值为解析思维升华抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意，在所给区间内比较与的大小，或与的大小例若，求在,上的最小值解析思维升华有时根据需要，需作适当的变形如或等求函数最值的常用方法单调性法基本不等式法配方法图象法导数法例若，求在,上的最小值解析思维升华跟踪训练如果函数对任意的实数，都有，且当时那么函数在,上的最大值与最小值之和为解析根据，可知函数的图象关于直线对称又函数在，上单调递增，跟踪训练如果函数对任意的实数，都有，且当时那么函数在,上的最大值与最小值之和为故在，上单调递减，则函数在,上的最大值与最小值之和为函数在区间，上的最大值是，最小值是，则解析易知在，上为减函数，，，即答题模板系列利用函数的单调性解不等式典例函数对任意的，都有，并且时，恒有求证在上是增函数规范解答温馨提醒思维点拨对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出并与比较大小答题模板系列利用函数的单调性解不等式典例函数对任意的，都，规范解答温馨提醒思维点拨⇒时，恒有求证在上是增函数在上为增函数规范解答温馨提醒思维点拨答题模板系列利用函数的单调性解不等式典例函数对任意的，都有，并且时，恒有求证在上是增函数本题对函数的单调性的判断是个关键点不会运用条件时，构造不出的形式，便找不到问题的突破口规范解答温馨提醒思维点拨答题模板系列利用函数的单调性解不等式典例函数对任意的，都有，并且时，恒有求证在上是增函数第二个关键应该是将不等式化为的形式解决此类问题的易错点忽视了的取值范围，即忽视了所在的单调区间的约束规范解答温馨提醒思维点拨若，解不等式规范解答温馨提醒思维点拨答题模板若，解不等式将函数不等式中的抽象函数符号运用单调性“去掉”是本题的切入点要构造出的形式规范解答温馨提醒思维点拨答题模板若，解不等式解，，不妨设，⇒，⇒⇒⇒，在上为增函数⇒，即,规范解答温馨提醒思维点拨答题模板若，解不等式解函数不等式问题的般步骤第步定性确定函数在给定区间上的单调性第二步转化将函数不等式转化为的形式第三步去运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号，转化成般的不等式或不等式组第四步求解解不等式或不等式组确定解集第五步反思反思回顾查看关键点，易错点及解题规范规范解答温馨提醒思维点拨答题模板若，解不等式时，构造不出的形式，便找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为的形式解决此类问题的易错点忽视了的取值范围，即忽视了所在的单调区间的约束规范解答温馨提醒思维点拨答题模板方法与技巧利用定义证明或判断函数单调性的步骤取值作差定量判断判断单调性的常用方法定义法图象法导数法失误与防范区分两个概念“函数的单调区间”和“函数在区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数在区间,上是减函数，在,上是减函数，但在,,上却不定是减函数如函数下列函数中，满足“对任意，，，当”的是填序号解析由题意知在，上是减函数中，满足要求中，在,上是减函数，在，上是增函数中，是增函数中，是增函数答案已知函数在区间，上是减函数，则的取值范围是，解析当时在，上是减函数当时，由，，得，综上的取值范围是天津改编函数的单调递增区间是，解析因为在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为，已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是，，解析依题意得，所以的取值范围是或定义新运算“”当时，当时，，则函数，,的最大值等于解析由已知得当时当时在定义域内都为增函数的最大值为已知函数，则该函数的单调增区间为解析设，由，即，解得或所以函数的定义域为，，因为函数的图象的对称轴为，所以函数在，上单调递减，在，上单调递增又因为在，上单调递增所以函数的增区间为，，已知函数是，上的增函数，若，则实数的取值范围为解析由已知可得，解得所以实数的取值范围为，，，，设函数在区间，上是增函数，则的取值范围是解析，函数在区间，上是增函数⇒⇒，已知函数，求证在，上是增函数证明设，则，在，上是增函数若在，上的值域是求的值解在，上的值域是又在，上单调递增易得已知函数，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值解设，是区间,上的任意两个实数，且，则由，得所以，即，故在区间,上是增函数因此，函数在区间,的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是，最大值是已知函数是，上的减函数，那么的取值范围是解析由题意得解得,已知为上的减函数，则满足或，或,,对于任意实数定义，设函数则函数，的最大值是解析依题意，，当时，是增函数当时，是减函数，在时，取得最大值答案已知若，试证在，内单调递增证明任取，则，即，在，内单调递增若且在，内单调递减，求的取值范围解任设，要使，只需在，内恒成立，综上所述，的取值范围是,已知函数，，当时，求函数的最小值解当时设，则在区间，上为增函数，在区间，上的最小值为若对任意，恒成立，试求实数的取值范围解在区间，上恒成立⇔恒成立设，，，则函数在区间，上是增函数所以当时，取最小值，即，于是当且仅当时，函数恒成立，故函数的单调性与最值数学苏理第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分函数的单调性单调函数的定义增函数减函数定义般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内个区间上的任意两个自变量的值，当图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的下降的单调区间的定义如果函数在区间上是或，那么就说函数在这区间具有严格的单调性，叫做函数的单调区间增函数减函数区间函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件对于任意，都有存在，使得对于任意，都有存在，使得结论为最大值为最小值思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”函数的单调递减区间是，，对于函数，，若，，且，则函数在上是增函数函数是上的增函数函数在，上是增函数，则函数的单调递增区间是，函数的单调增区间是，函数的最大值为题号答案解析，，，函数的图象开口向上，对称轴为直线，画出草图如图所示由图象可知函数在，和，上都具有单调性，因此要使函数在区间,上具有单调性，只需或，从而，，题型函数单调性的判断解析思维升华例判断函数在,上的单调性题型函数单调性的判断例判断函数在,上的单调性解设，则，解析思维升华题型函数单调性的判断例判断函数在,上的单调性又，函数在,上为减函数解析思维升华题型函数单调性的判断例判断函数在,上的单调性对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在区间上的单调性有两种方法可以利用定义基本步骤为取值作差或作商变形定号下结论求解可导函数则可以利用导数解之解析思维升华解析思维升华例求函数的单调区间令，解可以看作有与的复合函数由，得或解析思维升华例求函数的单调区间在,上是减函数，在，上是增函数，而在，上是增函数的单调减区间为单调增区间为，解析思维升华例求函数的单调区间复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数解析思维升华例求函数的单调区间跟踪训练判断函数在，上的单调性解设，是任意两个正数，且，则跟踪训练判断函数在，上的单调性当，即，当，又，跟踪训练判断函数在，上的单调性所以在，上是减函数，在，上为增函数所以函数在，上是增函数求函数的单调区间解令，原函数可以看作与的复合函数令，则函数的定义域为，，又的图象的对称轴为，且开口向上，求函数的单调区间在，上是减函数，在，上是增函数而函数在，上是减函数，的单调递减区间为，，单调递增区间为，解析答案思维升华题型二利用单调性求参数范围例如果函数在区间，上是单调递增的，则实数的取值范围是题型二利用单调性求参数范围例如果函数在区间，上是单调递增的，则实数的取值范围是当时在定义域上是单调递增的，故在，上单调递增当时，二次函数的对称轴为，解析答案思维升华题型二利用单调性求参数范围例如果函数在区间，上是单调递增的，则实数的取值范围是因为在，上单调递增，所以，且，解得综合上述得解析答案思维升华题型二利用单调性求参数范围例如果函数在区间，上是单调递增的，则实数的取值范围是因为在，上单调递增，所以，且，解得综合上述得，解析答案思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点若函数在区间，上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值题型二利用单调性求参数范围例如果函数在区间，上是单调递增的，则实数的取值范围是，解析答案思维升华答案思维升华解析例已知，成立，那么的取值范围是由已知条件得为增函数，，，解得成立，那么的取值范围是答案思维升