维升华，当，即时，函数取最大值例求函数取最大值时，的大小解析思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决例求函数取最大值时，的大小解析由⊥得，即，即跟踪训练已知为的三个内角的对边，向量，若⊥，且，则角，的大小分别为，即又，跟踪训练已知为的三个内角的对边，向量，若⊥，且，则角，的大小分别为，的三个内角所对的边长分别是，设向量若，则角的大小为解析又，则化简得，的三个内角所对的边长分别是，设向量若，则角的大小为题型三向量在解析几何中的应用解析思维升华例已知平面上定点,和直线，为该平面上动点，作⊥，垂足为，且求动点的轨迹方程解设则，解析思维升华题型三向量在解析几何中的应用例已知平面上定点,和直线，为该平面上动点，作⊥，垂足为，且求动点的轨迹方程由，得，即，化简得解析思维升华题型三向量在解析几何中的应用例已知平面上定点,和直线，为该平面上动点，作⊥，垂足为，且求动点的轨迹方程点在椭圆上，其方程为向量在解析几何中的“两个”作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离斜率夹角轨迹最值等问题解析思维升华题型三向量在解析几何中的应用例已知平面上定点,和直线，为该平面上动点，作⊥，垂足为，且求动点的轨迹方程工具作用利用⊥⇔，为非零向量，⇔，可解决垂直平行问题特别地，向量垂直平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直平行问题是种比较优越的方法解析思维升华题型三向量在解析几何中的应用例已知平面上定点,和直线，为该平面上动点，作⊥，垂足为，且求动点的轨迹方程解析思维升华例若为圆的任条直径，求的最值解析思维升华解例若为圆的任条直径，求的最值又解析思维升华例若为圆的任条直径，求的最值当时的最大值为，当时的最小值为解析思维升华例若为圆的任条直径，求的最值综上的最大值为的最小值为解析思维升华例若为圆的任条直径，求的最值向量在解析几何中的“两个”作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离斜率夹角轨迹最值等问题解析思维升华例若为圆的任条直径，求的最值工具作用利用⊥⇔，为非零向量，⇔，可解决垂直平行问题特别地，向量垂直平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直平行问题是种比较优越的方法解析且，解得或跟踪训练已知向量且三点共线，当时，若为直线的斜率，则过点，的直线方程为跟踪训练已知向量且三点共线，当时，若为直线的斜率，则过点，的直线方程为当时可知，则过点，且斜率投影，在上的投影方法二，又审题路线图解析温馨提醒又⊥设，则由题意又，显然与的夹角为审题路线图解析温馨提醒由，得同理，在两边取数量积可得答案审题路线图解析温馨提醒突破本题的关键是，要抓住图形的特点图形由副三角板构成根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷方法二较方法略显繁杂审题路线图解析温馨提醒方法与技巧向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决些函数问题以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数不等式三角函数等相结合的类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的般方法失误与防范注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价注意向量共线和两直线平行的关系利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况福建改编设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意点，则用表示解析因为点为平行四边形对角线的交点，所以点是和的中点，由平行四边形法则知故答案平面四边形中，则四边形是填矩形正方形梯形菱形解析⇒⇒四边形是平行四边形，⇒⊥，所以平行四边形是菱形菱形设是不等式组，表示的平面区域内的任意点，向量若，是实数，则的最大值为解析因为令解得所以目标函数为作出不等式组对应的平面区域，由图可知当目标函数经过图中点,时取得最大值答案已知点，动点，满足，则点的轨迹是解析，抛物线若函数在个周期内的图象如图所示分别是这段图象的最高点和最低点，且为坐标原点，则解析由题意知又，答案已知在中，则解析，为钝角，又，已知三个力，同时作用于物体上点，为使物体保持平衡，再加上个力，则解析由物理知识知，故已知在平面直角坐标系中，动点，满足不等式，则的最大值为解析，即在，条件下，求的最大值，由线性规划知识，当，时，答案已知中，是直角是的中点，是上点，且，求证⊥证明建立如图所示的直角坐标系，设则，是的中点又，即，解得⊥，即⊥已知三点的坐标分别为其中↔，若，求角的值解，由得，又↔若，求的值解由，得由于故浙江改编记，，设，为平面向量，则下列结论正确的是，解析由于，与，的大小关系与夹角大小有关，故错当，夹角为锐角时，此时，当，夹角为钝角时当⊥时，答案浙江改编设，是边上定点，满足，且对于边上任点，恒有，则下列结论正确的是解析设中点为，则，同理，恒成立，恒成立即⊥，取的中点，又，则⊥，答案已知向量若为锐角，则实数的取值范围是解析由已知得,若，则有，解得由题设知为锐角可得由题意知，当时，故当为锐角时，实数的取值范围是，，答案，，已知直角梯形中，，，是腰上的动点，则的最小值为解析方法以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设的最小值为方法二设的最小值为答案如图所示，已知点直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且求动点的轨迹的方程解设点则由，得化简得的轨迹的方程为过点的直线交轨迹于两点，交直线于点已知求的值解设直线的方程为设又联立方程消去，得，故，由得整理，得所以平面向量应用举例第五章平面向量数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分向量在平面几何中的应用用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行点共线等问题共线向量定理⇔⇔，其中其中垂直问题数量积的运算性质⊥⇔⇔，其中，为非零向量夹角问题数量积的定义为向量，的夹角长度问题数量积的定义，其中用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题设向量向量问题运算解决向量问题还原解决几何问题平面向量在物理中的应用由于物理学中的力速度位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决物理学中的功是个标量，这是力与位移的数量积即为与的夹角矢量加法和减法平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为个运算工具，经常与函数不等式三角函数数列解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数不等式三角函数数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种是利用平面向量平行或垂直的充要条件二是利用向量数量积的公式和性质思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”若，则三点共线解析几何中的坐标直线平行垂直长度等问题都可以用向量解决实现平面向量与三角函数平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算在中，若，则为钝角三角形作用于同点的两个力和的夹角为，且则的大小为已知平面直角坐标系内有三个定点若动点满足，↔，则点的轨迹方程是题号答案解析，又，，题型向量在平面几何中的应用思维点拨解析思维升华例如图所示，四边形是正方形，是对角线上的点不包括端点分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明思维点拨思维升华解析正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明题型向量在平面几何中的应用例如图所示，四边形是正方形，是对角线上的点不包括端点分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明题型向量在平面几何中的应用例如图所示，四边形是正方形，是对角线上的点不包括端点分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明思维升华思维点拨解析证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为则题型向量在平面几何中的应用例如图所示，四边形是正方形，是对角线上的点不包括端点分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明思维升华思维点拨解析，即用向量方法解决平面几何问题可分三步建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题思维升华思维点拨解析题型向量在平面几何中的应用例如图所示，四边形是正方形，是对角线上的点不包括端点分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离夹角等问题把运算结果“翻译”成几何关系思维升华思维点拨解析题型向量在平面几何中的应用例如图所示，四边形是正方形，是对角线上的点不包括端点分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明解析建立如图平面直角坐标系，跟踪训练在边长为的菱形中，，是的中点，则则，点坐标为在所在平面上有点，满足则与的面积的比值是，解析由已知可得，是线段的三等分点靠近点，易知，即∶∶题型二向量在三角函数中的应用例已知在锐角中，两向量且与是共线向量求的大小解析思维升华解析思维升华解，题型二向量在三角函数中的应用为锐角三角形例已知在锐角中，两向量且与是共线向量求的大小解析思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决题型二向量在三角函数中的应用例已知在锐角中，两向量且与是共线向量求的大小解析思维升华例求函数取最大值时，的大小解解析思维升华例求函数取最大值时，的大小解析思维升华，当，即时，函数取最大值例求函数取最大值时，的大小解析思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决例求函数取最大值时，的大小解析由⊥得，即，即跟踪训练已知为的三个内角的对边，向量，若⊥，且，则角，的大小分别为，即又，跟踪训练已知为的三个内角的对边，向量，若⊥，且，则角，的大小分别为，的三个内角所对的边长分别是，设向量若，则角的大小为解析又，则化简得，的三个内角所对的边长分别是，设向量若，则角的大小为题型三向量在解析几何中的应用解析思维升华例已知平面上定点,和直线，为该平面上动点，作⊥，垂足为，且求动点的轨迹方程解设则，解析思维升华题型三向量在解析几何中的应用例已知平面上定点,和直线，为该平面上动点，作⊥