率的值解因为,在直线上，所以直线的方程为解方程组得，，，所以点的坐标为，思维点拨解析思维升华例若⊥，求椭圆离心率的值又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为，因为直线的斜率为，思维点拨解析思维升华例若⊥，求椭圆离心率的值直线的斜率为，且⊥，所以又，整理得故，因此思维点拨解析思维升华例若⊥，求椭圆离心率的值求椭圆的离心率的方法直接求出来求解，通过已知条件列方程组，解出的值构造的齐次式，解出，由已知条件得出的二元齐次方程，然后转化为关于离心率的元二次方程求解通过特殊值或特殊位置，求出离心率思维点拨解析思维升华跟踪训练已知点，是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的个动点，那么的最小值是解析设则跟踪训练已知点，是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的个动点，那么的最小值是点在椭圆上当时，取最小值辽宁已知椭圆的左焦点为，椭圆与过原点的直线相交于，两点，连结，若，则的离心率解析如图，在中，且，设，由余弦定理，得因此，⊥，设椭圆右焦点为，连结由对称性，得因此离心率答案若直线的方程为，求弦的长思维点拨解析思维升华题型三直线与椭圆位置关系的相关问题例已知椭圆的个顶点为离心率，直线交椭圆于，两点若直线的方程为，求弦的长例已知椭圆的个顶点为离心率，直线交椭圆于，两点题型三直线与椭圆位置关系的相关问题直线与圆锥曲线的位置关系问题，般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于或的元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解思维点拨解析思维升华若直线的方程为，求弦的长例已知椭圆的个顶点为离心率，直线交椭圆于，两点题型三直线与椭圆位置关系的相关问题解由已知得，且，即解得，椭圆方程为则与联立，思维点拨解析思维升华若直线的方程为，求弦的长例已知椭圆的个顶点为离心率，直线交椭圆于，两点题型三直线与椭圆位置关系的相关问题消去得，所求弦长思维点拨解析思维升华若直线的方程为，求弦的长例已知椭圆的个顶点为离心率，直线交椭圆于，两点题型三直线件求离心率的取值范围无论是哪类问题，其难点都是建立关于的关系式等式或不等式，并且最后要把其中的用，表达，转化为关于离心率的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法思维点拨解析温馨提醒方法与技巧椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为，且可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为，且，这种形式在解题中更简便方法与技巧讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种求得，的值，直接代入公式求得列出关于的齐次方程或不等式，然后根据，消去，转化成关于的方程或不等式求解失误与防范判断两种标准方程的方法为比较标准形式中与的分母大小注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标为，时，则，这往往在求与点有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因设分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上点，是的中点则点到椭圆左焦点的距离为解析由题意知若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的两倍则的值为解析将原方程变形为由题意知福建改编设，分别为圆和椭圆上的点，则，两点间的最大距离是解析如图所示，设以,为圆心，以为半径的圆的方程为，与椭圆方程联立得方程组，消掉得令，解得，即由题意易知，两点间的最大距离为答案椭圆的左右顶点分别是，左右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为解析由题意知，且三者成等比数列，则，即所以，所以答案已知圆的半径为，椭圆的左焦点为若垂直于轴且经过点的直线与圆相切，则的值为解析圆的方程可化为，则由题意得，即则圆心的坐标为,由题意知直线的方程为，又直线与圆相切，答案福建椭圆Г的左，右焦点分别为焦距为若直线与椭圆Г的个交点满足，则该椭圆的离心率等于解析由直线方程为，知，又，所以，⊥，所以所以即答案辽宁已知椭圆，点与的焦点不重合若关于的焦点的对称点分别为线段的中点在上，则解析椭圆中，如图，设的中点为，则分别为的中点，答案椭圆的左，右焦点分别为点为椭圆上动点，若为钝角，则点的横坐标的取值范围是解析设椭圆上点的坐标为则，为钝角即代入得解得，，答案，已知椭圆的离心率为，其中左焦点为,求椭圆的方程解由题意，得解得，椭圆的方程为若直线与椭圆交于不同的两点且线段的中点在圆上，求的值解设点，的坐标分别为线段的中点为由，消去得点，在圆上重庆如图，设椭圆的左，右焦点分别为点在椭圆上，⊥的面积为求椭圆的标准方程解设其中由，得从而，故从而，由⊥，得，因此，所以，故，因此，所求椭圆的标准方程为设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径，是两个交点，解如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交是圆的切线，且⊥由圆和椭圆的对称性，易知由知所以，再由⊥，得由椭圆方程得，即，解得或当时重合，此时题设要求的圆不存在当时，过，分别与，垂直的直线的交点即为圆心由，是圆的切线，且⊥，知⊥，又，故圆的半径大纲全国改编已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为解析的周长为，离心率为，椭圆的方程为答案四川改编从椭圆上点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是解析由题意可设，为半焦距，由于，把，代入椭圆方程得，而，答案已知是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且满足，，则椭圆的离心率为解析在三角形中，由正弦定理得，即设，则，离心率点是椭圆上点是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为，当在第象限时，点的纵坐标为解析所以设分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上任点，点的坐标为则的最大值为解析，易知点在椭圆外，连结并延长交椭圆于点，此时取最大值，故的最大值为答案已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，求椭圆的方程解设椭圆的方程为，由题意得，解得，故椭圆的方程为是否存在过点,的直线与椭圆相交于不同的两点满足若存在，求出直线的方程若不存在，请说明理由解假设存在直线且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为，代入椭圆的方程得，因为直线与椭圆相交于不同的两点设，两点的坐标分别为所以，所以又因为，即，所以即所以，解得因为，所以于是存在直线满足条件，其方程为椭圆数学苏理第九章平面解析几何基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分椭圆的概念平面内到两个定点，的距离的和等于常数大于的点的轨迹叫做这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的椭圆焦点焦距集合其中，且，为常数若，则集合为椭圆若，则集合为线段若，则集合为空集椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性对称轴坐标轴对称中心原点顶点轴长轴的长为短轴的长为性质焦距离心率，的关系知识拓展点，和椭圆的关系点，在椭圆内⇔思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆椭圆上点与两焦点，构成的周长为其中为椭圆的长半轴长，为椭圆的半焦距椭圆的离心率越大，椭圆就越圆方程，表示的曲线是椭圆表示焦点在轴上的椭圆与的焦距相同题号答案解析或由题意知所以，故所求椭圆方程为例已知圆的圆心为，设为圆上任点，且点线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是题型椭圆的定义及标准方程思维点拨解析答案例已知圆的圆心为，设为圆上任点，且点线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是题型椭圆的定义及标准方程主要考虑椭圆的定义思维点拨解析答案例已知圆的圆心为，设为圆上任点，且点线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是题型椭圆的定义及标准方程点在线段的垂直平分线上，故，又是圆的半径，由椭圆定义知，的轨迹是椭圆思维点拨解析答案例已知圆的圆心为，设为圆上任点，且点线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是题型椭圆的定义及标准方程思维点拨解析答案点在线段的垂直平分线上，故，又是圆的半径，由椭圆定义知，的轨迹是椭圆椭圆例已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的倍，并且过点则椭圆的方程为思维点拨解析答案例已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的倍，并且过点则椭圆的方程为要分焦点在轴和轴上两种情况思维点拨解析答案例已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的倍，并且过点则椭圆的方程为若焦点在轴上，设方程为，椭圆过点，即，又方程为若焦点在轴上，设方程为，思维点拨解析答案例已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的倍，并且过点则椭圆的方程为椭圆过点即又方程为所求椭圆的方程为或思维点拨解析答案例已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的倍，并且过点则椭圆的方程为或思维点拨解析答案思维点拨解析答案思维升华例已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为例已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为可以用待定系数法求解思维点拨解析答案思维升华例已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为设椭圆方程为且椭圆经过点，点的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得，所求椭圆方程为思维点拨解析答案思维升华例已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为思维点拨解析答案思维升华例已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，定要注意常数这条件求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于，的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为，的形式思维点拨解析答案思维升华跟踪训练过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为解析方法椭圆的焦点为即由椭圆的定义知，，解得由可得所求椭圆的标准方程为方法二所求椭圆与椭圆的焦点相同，其焦点在轴上，且设它的标准方程为，且，故又点，在所求椭圆上，，即由得所求椭圆的标准方程为答案安徽设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点若，⊥轴，则椭圆的方程为解析设点的坐标为，⊥轴，点的坐标为，将，代入，得椭圆的方程为答案例江苏如图，在平面直角坐标系中分别是椭圆的左，右焦点，顶点的坐标为连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另点，连结题型二椭圆的几何性质思维点拨解析若点的坐标为且，求椭圆的方程若点的坐标为