要证出与共线即可例求证平面解析思维升华思维点拨例求证平面证明因为，所以又⊂平面，⊄平面，所以平面解析思维升华思维点拨例求证平面证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明三点共线，即证明，共线，亦即证明解析思维升华思维点拨例求证平面证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明，四点共面，只要能证明或对空间任点，有解析思维升华思维点拨例求证平面解析思维升华思维点拨或即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有对于，易知四边形为平行四边形，则点为线段与的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示例设是和的交点，求证对空间任点，有解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有证明找点，并连结由知，同理，所以，解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有即綊，所以四边形是平行四边形所以，交于点且被平分故解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明三点共线，即证明，共线，亦即证明解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明，四点共面，只要能证明或对空间任点，有解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有解析思维升华思维点拨或即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件跟踪训练如图，正方体中，是上的点，是上的点，且则与平面的位置关系为解析取为基底，易得，而，即，故，跟踪训练如图，正方体中，是上的点，是上的点，且则与平面的位置关系为且⊄平面，⊂平面，所以平面平行题型三空间向量数量积的应用例已知空间中三点，设，求向量与向量的夹角的余弦值解析思维升华题型三空间向量数量积的应用例已知空间中三点，设，求向量与向量的夹角的余弦值解，又，，解析思维升华题型三空间向量数量积的应用例已知空间中三点，设，求向量与向量的夹角的余弦值，即向量与向量的夹角的余弦值为解析思维升华题型三空间向量数量积的应用例已知空间中三点，设，求向量与向量的夹角的余弦值利用向量的数量积可证明直线的垂直关系也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角解析思维升华题型三空间向量数量积的应用例已知空间中三点，设，求向量与向量的夹角的余弦值可以通过，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解解析思维升华解析思维升华例若与互相垂直，求实数的值例若与互相垂直，求实数的值解方法，且与互相垂直，或，解析思维升华例若与互相垂直，求实数的值当当时，解析易错分析温馨提醒当，时两向量，反向，不符合题意，所以舍去当，时与同向，所以，答案,两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件若两向量，满足且则，同向在，的坐标都是非零的条件下的坐标对应成比例解析易错分析温馨提醒方法与技巧利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础利用共线向量定理共面向量定理可以证明些平行共面问题利用数量积运算可以解决些距离夹角问题利用向量解立体几何题目的般方法把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题失误与防范向量的数量积满足交换律分配律，即成立，但不定成立求异面直线所成的角，般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化空间四边形的各边和对角线均相等，是的中点，则判断大小填“”“，因为如果三点在同条直线上，则，的值分别为解析因为三点共线，所以存在实数使，即，已知，是异面直线，⊥，⊥且则异面直线，所成的角等于解析如图，设，则，所以，，所以异面直线，所成的角等于空间四点填“在”或“不在”同平面内解析假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数使，即，由得，代入式不成立，矛盾假设不成立，故四点不共面答案不在已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为解析如图，设，则，且三向量两两夹角为答案已知则以，为方向向量的两直线的夹角为解析由题意得即，又，两直线的夹角为如图，在空间四边形中，若，，则与所成角的余弦值为解析故与夹角的余弦值为，即直线与所成角的余弦值为答案在空间四边形中，则的值为则解析方法如图，令方法二如图，在三棱锥中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直答案已知向量点,求解，在直线上是否存在点，使得⊥为原点解假设存在点，其坐标为，则，即，又，⊥，在直线上存在点，使⊥如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为求的长解记，则即的长为求与夹角的余弦值解与夹角的余弦值为设向量不共面，则下列集合可作为空间的个基底的是解析中故三向量共面，不能作基底中故三向量共面，不能作基底中，不共面，可作为基底中故三向量共面，不能作基底答案以下命题中，正确的命题个数为若，共线，则与所在直线平行若为空间个基底，则构成空间的另个基底若空间向量满足则对空间任意点和不共线三点，若其中，则四点共面解析由共线向量知与所在直线可能重合知错若共面，则存在实数使，不共面，无解，能构成空间的个基底，正确由向量相等的定义知正确由共面向量定理的推论知，当时四点共面，错答案已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为解析由题意知所以与的夹角的余弦值为，所以与的夹角为答案已知空间三点求以，为边的平行四边形的面积解由题意可得，以，为边的平行四边形的面积为若，且分别与，垂直，求向量的坐标解设，由题意得，解得或向量的坐标为或如图，直三棱柱中，分别为的中点求证⊥证明设，根据题意且⊥，即⊥求异面直线与所成角的余弦值解即异面直线与所成角的余弦值为空间向量及其运算第八章立体几何数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为的向量单位向量长度模为的向量相等向量方向且模的向量相反向量方向且模的向量的相反向量为相同相等相反相等共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量共面向量平行于同个的向量平行或重合平面空间向量中的有关定理共线向量定理对空间任意两个向量，，与共线的充要条件是存在实数，使得推论如图所示，点在上的充要条件是，其中叫直线的方向向量，，在上取，则可化为或共面向量定理共面向量定理的向量表达式，其中，为不共线向量，推论的表达式为或对空间任意点，有或，其中空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任向量存在唯的有序实数组，使，空间中不共面的三个向量叫作这个空间的个基底两个向量的数量积非零向量，的数量积，空间向量数量积的运算律结合律交换律分配律空间向量的坐标表示及应用向量表示坐标表示数量积共线垂直，模夹角，，思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”空间中任意两非零向量，共面在向量的数量积运算中对于非零向量，由，则两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同若是空间任意四点，则有是共线的充要条件题号答案解析和解析思维升华思维点拨题型空间向量的线性运算例三棱锥中分别是，的中点，是的重心，用基向量表示，利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可题型空间向量的线性运算例三棱锥中分别是，的中点，是的重心，用基向量表示，解析思维升华思维点拨题型空间向量的线性运算例三棱锥中分别是，的中点，是的重心，用基向量表示，解解析思维升华思维点拨题型空间向量的线性运算例三棱锥中分别是，的中点，是的重心，用基向量表示，解析思维升华思维点拨用已知向量来表示未知向量，定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则题型空间向量的线性运算例三棱锥中分别是，的中点，是的重心，用基向量表示，解析思维升华思维点拨跟踪训练如图所示，在长方体中，为的中点设是棱上的点，且，试用表示解题型二共线定理共面定理的应用例已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面解析思维升华思维点拨题型二共线定理共面定理的应用例已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面对于，只要证出向量即可解析思维升华思维点拨题型二共线定理共面定理的应用例已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面证明连结，则解析思维升华思维点拨题型二共线定理共面定理的应用例已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面，由共面向量定理的推论知四点共面解析思维升华思维点拨证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明三点共线，即证明，共线，亦即证明题型二共线定理共面定理的应用例已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面解析思维升华思维点拨证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明，四点共面，只要能证明或对空间任点，有题型二共线定理共面定理的应用例已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面解析思维升华思维点拨题型二共线定理共面定理的应用例已知分别是空间四边形的边的中点，求证四点共面或即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件解析思维升华思维点拨解析思维升华例求证平面思维点拨对于，只要证出与共线即可例求证平面解析思维升华思维点拨例求证平面证明因为，所以又⊂平面，⊄平面，所以平面解析思维升华思维点拨例求证平面证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明三点共线，即证明，共线，亦即证明解析思维升华思维点拨例求证平面证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明，四点共面，只要能证明或对空间任点，有解析思维升华思维点拨例求证平面解析思维升华思维点拨或即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有对于，易知四边形为平行四边形，则点为线段与的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示例设是和的交点，求证对空间任点，有解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有证明找点，并连结由知，同理，所以，解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有即綊，所以四边形是平行四边形所以，交于点且被平分故解析思维升华思维点拨例设是和的交点，求证对空间任点，有