，使平面与平面所成的二面角为直二面角方法二以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系图由已知得，证明当时因为，所以，即而⊂平面，且⊄平面，故直线平面解设平面的个法向量为，则由，可得，于是可取同理可得平面的个法向量为若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则即，解得故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面解析思维升华思维点拨证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意条直线垂直也可以证线与面的法向量平行题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面证明方法设平面内的任意条直线的方向向量为由共面向量定理，则存在实数使令，显然它们不共面，并且，以它们为空间的个基底，解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面则，，故⊥，结论得证解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面方法二如图所示，取的中点，连结因为为正三角形，所以⊥因为在正三棱柱中，平面⊥平面，所以⊥平面解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面取的中点，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面,因为⊥，⊥，故⇒令，则解析思维升华思维点拨题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面故为平面的个法向量，而，所以，所以，故⊥平面解析思维升华思维点拨用向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面解析思维升华思维点拨面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点求证⊥平面解析思维升华思维点拨跟踪训练如图所示，在四棱锥中，⊥平面在四边形中，，点在上与平面成角求证平面证明以为坐标原点，分别以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，⊥平面，为与平面所成的角，令为平面的个法向量，则，即令，得，⊥，又⊄平面，平面求证平面⊥平面证明取的中点，则⊥又，⊥，⊥，又∩，⊥平面，又⊂平面，平面⊥平面题型三解决探索性问题例如图，棱柱的所有棱长都等于，和均为，平面⊥平面求证⊥思维点拨解析设与交于点，连结，证明两两垂直，从而以点为坐标原点建立空间直角坐标系证明题型三解决探索性问题例如图，棱柱的所有棱长都等于，和均为，平面⊥平面问题等温馨提醒规范解答温馨提醒规范解答设二面角为，求三棱锥的体积解因为⊥平面，四边形为矩形，所以两两垂直如图，以为坐标原点，为单位长，建立如图空间直角坐标系，分的方向为轴的正方向，则温馨提醒规范解答设，则，分设为平面的法向量，则，即温馨提醒规范解答可取又为平面的个法向量，由题设即，解得分分温馨提醒规范解答分因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积温馨提醒规范解答利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线利用向量除了可以证明线线平行垂直，线面面面平行垂直外，还可以利用向量求夹角距离，从而解决线段长度问题体积问题等温馨提醒规范解答方法与技巧用向量法解决立体几何问题，是空间向量的个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想两种思路选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的条直线和平面内的条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线，只需证明向量即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为解析由得若，则直线与平面的位置关系是解析，共面，与平面平行或在平面内平行或在平面内已知，则平行四边形的顶点的坐标是解析由题意知设点，则，因为，所以，即已知，若三向量共面，则实数解析由题意得，，如图，在长方体中为的中点，为的中点则与所成的角为解析以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得即⊥，⊥答案已知平面内的三点，平面的个法向量，则不重合的两个平面与的位置关系是解析设平面的法向量为，由，得⇒，由，得⇒，，平行设点在点确定的平面上，则解析,根据共面向量定理，设，则，，解得答案设,分别是平面，的法向量，若⊥，则解析⊥，⊥如图，四边形为正方形，⊥平面，，证明平面⊥平面证明如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线分别为轴轴轴的正半轴建立空间直角坐标系依题意有，则即⊥，⊥，又∩，故⊥平面，又⊂平面，平面⊥平面如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面分别是，的中点求证平面证明以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，即，又⊂平面，⊄平面，平面求证平面⊥平面又∩，⊥平面⊂平面，平面⊥平面⊥，⊥，即⊥，⊥，如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，在上，且平面，则点的坐标为解析设点的坐标为，∩，则，又平面，，，⇒，答案如图，在正方体中，棱长为，分别为和上的点则与平面的位置关系是解析正方体棱长为又是平面的法向量，⊥又⊄平面，平面答案平行在正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心分别为，的中点，点为平面内点，线段与互相平分，则满足的实数有个解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为，则的中点坐标为，又知而在上，即点坐标满足有个符合题意的点，即对应有个答案如图所示，已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点求证平面证明如图建立空间直角坐标系，令，则取中点为，连结，则，又⊂平面，⊄平面故平面⊥平面证明，⊥，⊥，即⊥，⊥，又∩，⊥平面在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形分别是的中点求证⊥证明如图，分别以所在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系，设，则，⊥，即⊥在平面内求点，使⊥平面，并证明你的结论解设，则，若使⊥平面，则由，得由，得点坐标为，即点为的中点立体几何中的向量方法证明平行与垂直第八章立体几何数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量在直线上任取向量作为它的方向向量平面的法向量可利用方程组求出设，是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为非零用向量证明空间中的平行关系设直线和的方向向量分别为和，则或与重合⇔设直线的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则或⊂⇔设直线的方向向量为，平面的法向量为，则或⊂⇔设平面和的法向量分别为则⇔存在两个实数使⊥用向量证明空间中的垂直关系设直线和的方向向量分别为和，则⊥⇔⇔设直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥⇔设平面和的法向量分别为和，则⊥⇔⇔⊥⊥思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”直线的方向向量是唯确定的平面的单位法向量是唯确定的若两平面的法向量平行，则两平面平行若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行若，则所在直线与所在直线平行若空间向量平行于平面，则所在直线与平面平行题号答案解析或∶∶由题意知，⊥，⊥所以，即，，，解得解析思维升华思维点拨题型证明平行问题例浙江改编如图，在四面体中，⊥平面，⊥，是的中点，是的中点，点在线段上，且证明平面证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量题型证明平行问题例浙江改编如图，在四面体中，⊥平面，⊥，是的中点，是的中点，点在线段上，且证明平面解析思维升华思维点拨题型证明平行问题例浙江改编如图，在四面体中，⊥平面，⊥，是的中点，是的中点，点在线段上，且证明平面证明方法如图，取的中点，以为原点，所在射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系由题意知，设点的坐标为因为，解析思维升华思维点拨题型证明平行问题例浙江改编如图，在四面体中，⊥平面，⊥，是的中点，是的中点，点在线段上，且证明平面所以因为为的中点，故又为的中点，故，所以解析思维升华思维点拨题型证明平行问题例浙江改编如图，在四面体中，⊥平面，⊥，是的中点，是的中点，点在线段上，且证明平面又平面的个法向量为，故又⊄平面，所以平面方法二在线段上取点，使得，连结，同证法建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设点坐标为解析思维升华思维点拨题型证明平行问题例浙江改编如图，在四面体中，⊥平面，⊥，是的中点，是的中点，点在线段上，且证明平面，设点坐标为，则，解析思维升华思维点拨题型证明平行问题例浙江改编如图，在四面体中，⊥平面，⊥，是的中点，是的中点，点在线段上，且证明平面又由证法知又⊄平面，⊂平面，平面解析思维升华思维点拨用向量证明线面平行的方法有证明该直线的方向向量与平面的法向量垂直证明该直线的方向向量与平面内直线的方向向量平行证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示题型证明平行问题例浙江改编如图，在四面体中，⊥平面，⊥，是的中点，是的中点，点在线段上，且证明平面解析思维升华思维点拨跟踪训练湖北如图，在棱长为的正方体中分别是棱，的中点，点，分别在棱，上移动，且当时，证明直线平面是否存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角若存在，求出的值若不存在，说明理由方法证明如图，连结，由是正方体，知当时，是的中点，又是的中点，所以所以而⊂平面，且⊄平面，故直线平面图解如图，连结因为，分别是，的中点，所以，且又，，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且图在和中，因为于是，所以四边形是等腰梯形同理可证四边形是等腰梯形分别取的中点为，连结则⊥，⊥，而∩，故是平面与平面所成的二面角的平面角若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则连结则由，且，知四边形是平行四边形连结，因为，分别是，的中点，所以在中由，得，解得，故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角方法二以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系图由已知得，证明当时因为，所以，即而⊂平面，且⊄平面，故直线平面解设平面的个法向量为，则由，可得，于是可取同理可得平面的个法向量为若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则