面，所以⊥，⊥如图建立空间直角坐标系，则,解析思维升华思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长设平面的个法向量为，则，即，令，则，所以设直线与平面所成角为，解析思维升华思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长则，因此直线与平面所成角的大小为，设点的坐标为因为点在棱上，所以可设，解析思维升华思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长即，所以因为是平面的个法向量，所以，即解得，所以点的坐标为所以解析思维升华思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长利用向量法求线面角的方法分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角或其补角解析思维升华思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角解析思维升华思维点拨跟踪训练湖南如图，在直棱柱中，，，⊥证明⊥求直线与平面所成角的正弦值方法证明如图，因为⊥平面，⊂平面，所以⊥又⊥，所以⊥平面，而⊂平面，所以⊥解因为，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角记为如图，连结，因为棱柱是直棱柱，且，所以⊥平面，从而⊥又，所以四边形是正方形于是⊥，又因为∩，故⊥平面，于是⊥由知，⊥，且∩，所以⊥平面故，在直角梯形中，因为⊥，所以从而，故，即连结，易知是直角三角形，且，即在中，，即从而即直线与平面所成角的正弦值为方法二证明易知，两两垂直如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系设，则相关各点的坐标为从而因为⊥，所以，解得或舍去于是因为，所以⊥，即⊥解由知,设是平面的个法向量，则，即令，则设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为题型三求二面角例课标全国Ⅱ如图，直三棱柱中分别是，的中点，证明平面证明连结交于点，则为的中点又是的中点，连结，则题型三求二面角例课标全国Ⅱ如图，直三棱柱中分别是，的中点，证明平面因为⊂平面，⊄平面，所以平面思维点拨解析思维升华例求二面角的正弦值例求二面角的正弦值以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系思维点拨解析思维升华例求二面角的正弦值解由得，⊥以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系思维点拨解析思维升华例求二面角的正弦值设，则,设是平面的法向量，则，即，可取思维点拨解析思维升华例求二面角的正弦值同理，设是平面的法向量，则可取从而，故，即二面角的正弦值为思维点拨解析思维升华例求二面角的正弦值求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角思维点拨解析思维升华跟踪训练课标全国Ⅰ，点在棱上且，点在棱上，则的最小值为解析建立如图所示的空间直角坐标系，则设，则，故当时取得最小值为答案过正方形的顶点作线段⊥平面，若，则平面与平面所成的二面角为解析建立如图所示的空间直角坐标系，设，知由题意得，⊥平面，设为的中点，连结，则⊥，又⊥平面，⊥，又∩，⊥平面和分别是平面和平面的法向量，而平面与平面所成的二面角为答案如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面的夹角的正弦值为解析设正方体的棱长为，直线与平面的夹角为，建立如图所示的坐标系，则，⊥平面，连结，是平面的法向量答案已知点，分别在正方体的棱，上，且则平面与平面所成的二面角的正切值等于解析延长，相交于点，连结，设正方体的棱长为，则，作⊥于点，连结，则为所求二面角的平面角答案正方体的棱长为分别为，的中点，则点到平面的距离为解析以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则设平面的个法向量为，则，即，令，则又，点到平面的距离为答案江西如图，四棱锥中，为矩形平面⊥平面求证⊥证明因为四边形为矩形，故⊥又平面⊥平面，平面∩平面，所以⊥平面，又⊂平面，故⊥若，问为何值时，四棱锥的体积最大并求此时平面与平面夹角的余弦值解过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，连结故⊥平面，⊥平面，⊥在中，设，则，故四棱锥的体积为因为，故当，即时，四棱锥的体积最大此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为故设平面的个法向量，则由⊥，⊥得解得同理可求出平面的个法向量从而平面与平面夹角的余弦值为天津如图，四棱柱中，侧棱⊥底面，，⊥，为棱的中点证明⊥证明如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，依题意得,易得于是，所以⊥求二面角的正弦值解设平面的法向量，则，即，消去，得，不妨令，可得个法向量为由知，⊥，又⊥，可得⊥平面，故为平面的个法向量于是，从而所以二面角的正弦值为设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长解设有可取为平面的个法向量设为直线与平面所成的角，则，，于是，解得负值舍去，所以在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为解析以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为则设平面的个法向量为，则，平面的个法向量为，即所成的锐二面角的余弦值为答案在四面体中，两两垂直，设，则点到平面的距离为解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，过点作⊥平面，交平面于点，则的长即为点到平面的距离过点作⊥平面，交平面于点，则的长即为点到平面的距离，为的外心又为正三角形，为的重心，可得点的坐标为点到平面的距离为答案已知直四棱柱中，底面为正方形为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为解析如图，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设，则答案如图所示，在直三棱柱中，为的中点求异面直线和的距离解因为，为的中点，故⊥又直三棱柱中，⊥平面，故⊥所以异面直线和的距离为若⊥，求二面角的平面角的余弦值解如图所示，过作交于，在直三棱柱中，由知两两垂直，以为原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系设直三棱柱的高为，则从而，由⊥，得，即，解得故设平面的法向量为，则⊥，⊥，即，取，得设平面的法向量为，则⊥，⊥，即，取，得所以，所以二面角的平面角的余弦值为北京如图，在三棱柱中，是边长为的正方形平面⊥平面求证⊥平面证明在正方形中，⊥又平面⊥平面，且平面∩平面，⊥平面求二面角的余弦值解在中，⊥，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,设平面的法向量，平面的法向量⇒取向量，由⇒，取向量由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为证明在线段上存在点，使得⊥，并求的值证明设是直线上点，且，解得又⊥则，因此立体几何中的向量方法二求空间角和距离第八章立体几何数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分两条异面直线所成角的求法设，分别是两异面直线，的方向向量，则与所成的角与的夹角范围求法直线与平面所成角的求法设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则求二面角的大小如图是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小，如图分别是二面角的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角大小是向量与的夹角或其补角，利用空间向量求距离供选用两点间的距离设点，点，则点到平面的距离如图所示，已知为平面的条斜线段，为平面的法向量，则到平面的距离为思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角两异面直线夹角的范围是直线与平面所成角的范围是二面角的范围是，直线的方向向量与平面的法向量夹角为，则和所成角为若二面角的两个半平面，的法向量，所成角为，则二面角的大小是题号答案解析不妨设如图，作⊥于，⊥于，，⊥，二面角的大小为答案思维升华解析题型求异面直线所成的角例课标全国Ⅱ改编直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为题型求异面直线所成的角例课标全国Ⅱ改编直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为解析方法由于，三棱柱为直三棱柱，且，可将三棱柱补成正方体建立如图所示空间直角坐标系设正方体棱长为，则可得答案思维升华解析题型求异面直线所成的角例课标全国Ⅱ改编直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为答案思维升华解析题型求异面直线所成的角例课标全国Ⅱ改编直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解如图，取的中点，连结，由于綊綊，因此有綊，则与所成的角即为异面直线与所成的角答案思维升华解析题型求异面直线所成的角例课标全国Ⅱ改编直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为设，则，因此答案思维升华解析题型求异面直线所成的角例课标全国Ⅱ改编直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为答案思维升华解析用向量法求异面直线所成角的般步骤是选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量题型求异面直线所成的角例课标全国Ⅱ改编直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为答案思维升华解析利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值题型求异面直线所成的角例课标全国Ⅱ改编直三棱柱中，分别是，的中点则与所成角的余弦值为答案思维升华解析跟踪训练长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为解析建立坐标系如图,则所以异面直线与所成角的余弦值为题型二求直线与平面所成的角例北京如图，正方形的边长为分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，求证证明在正方形中，因为是的中点，所以又因为⊄平面，题型二求直线与平面所成的角例北京如图，正方形的边长为分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，求证所以平面因为⊂平面，且平面∩平面，所以解析思维升华例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长解答时，可以以为原点，以方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系解析思维升华思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长解因为⊥底面，所以⊥，⊥如图建立空间直角坐标系，则,解析思维升华思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长设平面的个法向量为，则，即，令，则，所以设直线与平面所成角为，解析思维升华思维点拨例若⊥底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长则，因此直线与平面所成角的大小为，设点的坐标为因为点在棱上，所以可设