在原题条件下，添加条件，，求证⊥在上任取点，过和的平面交于过的直线，交于过的直线，•，，同理，•和同时过且平行于•和重合于直线，由⊥可得⊥•如图，已知是所在平面外点，⊥平面，平面⊥平面，求证是直角三角形•分析灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化•证明过作⊥于，•平面⊥平面，⊥平面，•⊥，又⊥平面，⊥，•⊥平面，⊥，•即是直角三角形•如右图所示，平面⊥平面，在与的交线上取线段分别在平面和平面内，⊥，⊥，求线段的长与面面垂直有关的计算探究要求的长，由⊥，⊥易知为直角三角形，已知的长，只要知道的长即可由⊥知为直角三角形，从而可解解析⊥，⊥，∩，⊥，⊂，⊥又⊂，⊥在中，•规律总结与面面垂直有关的计算问题的类型•求角的大小或角的个三角函数值如两异面直线所成的角线面角二面角等•求线段的长度或点到直线平面的距离等•求几何体的体积或平面图形的面积•计算问题的解决方法•上述计算问题般在三角形中求解所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直往往把计算问题归结为个直角三角形中的计算问题•求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点等体积法•如图所示，平面⊥平面，，，与平面，所成的角分别为和，过，分别作两平面交线的垂线，垂足为且，求的长解析连接在中，，所以在中，，所以，在中，，所以•如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，⊥平面，且，点为的中点，点为的中点•求证⊥•平面⊥平面线线线面面面垂直的综合应用探索延拓证明连接⊥平面，⊥，为直角三角形又为的中点，为斜边上的中线，又四边形是正方形，⊥而由⊥平面，得⊥，⊥平面，⊥，为斜边上的中线为等腰三角形为的中点，⊥又，⊥•在和中，••≌，•，即为等腰三角形•为的中点，•⊥•又⊥，且∩，•⊥平面•又⊂平面，•平面⊥平面•规律总结空间垂直关系的判定方法垂直关系判定方法线线垂直计算所成的角为包括平面角和异面直线所成的角线面垂直的性质若⊥，⊂，则⊥面面垂直的定义若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为垂直关系判定方法线面垂直线面垂直定义般不易验证任意性线面垂直的判定定理⊥，⊥，⊂，⊂，∩⇒⊥平行线垂直平面的传递性质，⊥⇒⊥面面垂直的性质⊥，∩，⊂，⊥⇒⊥面面平行性质⊥，⇒⊥面面垂直性质∩，⊥，⊥⇒⊥面面垂直根据定义作两平面构成二面角的平面角，计算其为面面垂直的判定定理⊥，⊂⇒⊥•在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直线面垂直面面垂直的相互转化每种垂直的判定都是从垂直开始转向另垂直，最终达到目的，其转化关系如下•在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过直线”等这些条件方面有很强的约束性另方面又为证明指出了方向在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性•，•故⊥，又⊥，•所以⊥平面，•所以⊥•作⊥，为垂足，•由平面⊥平面，平面∩平面，•故⊥平面•又⊂平面，所以⊥•又因为⊂平面，⊂平面，∩，•所以⊥平面由知⊥所以在直角三角形中，由等积法知，所以，所以•如图所示，四棱锥的底面是个直角梯形，，⊥⊥底面，是的中点，则平能垂直于平面吗请说明理由易错点考虑问题不全面，导致证明过程不严谨误区警示•错解平面不能垂直于平面理由如下•假设平面垂直于平面，•过作⊥于，连接，•⊂平面，⊥，•平面∩平面，•⊥平面•又⊥平面，••又是的中点，•是的中点•又，••又•这与矛盾，假设不成立•故平面不能垂直于平面•错因分析错误的原因是默认了三点共线，而三点若不共线，则不成立事实上，很容易证三点共线，由于是上三点在平面上的投影，故三点的投影均在直线上，故三点共线，补上这点证明就完整了•正解平面不能垂直于平面理由如下•假设平面垂直于平面，•过作⊥于，连接，•⊂平面，⊥，平面∩平面，•⊥平面•又⊥平面，••是上三点在平面上的投影，•三点的投影均在直线上，•三点共线•又是的中点，•是的中点•又，••又•这与矛盾，•假设不成立故平面不能垂直于平面•如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面•求证⊥•若为边的中点，能否在棱上找到点，使平面⊥平面并证明你的结论•解析证明设为的中点，连接•为正三角形，⊥•在菱形中，，为的中点，•⊥•又∩，⊥平面•⊂平面，⊥•当为的中点时，平面⊥平面•证明如下•在中，是的中点，•在菱形中，，而⊂平面，⊂平面，∩，•平面平面，•由得⊥平面，而⊂平面，•平面⊥平面，•平面⊥平面当堂检测•设两个平面互相垂直，则•个平面内的任何条直线垂直于另个平面•过交线上点垂直于个平面的直线必在另平面上•过交线上点垂直于交线的直线，必垂直于另个平面•分别在两个平面内的两条直线互相垂直•答案•过两点与个已知平面垂直的平面•有且只有个•有无数个•有且只有个或无数个•可能不存在•答案•如右图所示，三棱锥中，平面⊥平面，则•⊂平面•⊥平面•与平面相交但不垂直•平面•答案•解析⊥•又平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，•⊥平面•在空间中，用表示不同的直线或平面，若命题“⊥，⊥，则”成立，则分别表示的元素是•都是直线•都是平面•是平面，是直线•是直线，是平面•答案•解析垂直于同条直线的两直线不定平行故错垂直于同个平面的两个平面不定平行，故错条直线与个平面都和同个平面垂直时，直线可能在平面内，故错由线面垂直的性质知，正确•用表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题•若，，则•若⊥，⊥，则⊥•若，，则•若⊥，⊥，则•其中真命题的序号是•••答案解析平行关系的传递性举反例在同平面内，⊥，⊥，有举反例如图的长方体中，，，但与相交垂直于同平面的两直线互相平行故，正确•如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面⊥底面，求证平面⊥平面•分析转化为证明⊥平面•证明底面是矩形，⊥•又平面⊥平面，•平面∩平面，⊂平面，•⊥平面•又⊂平面，•平面⊥平面•点评若所给题目中有面面垂直的条件，般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直线线垂直应用面面垂直的性质定理，注意三点两个平面垂直是前提条件直线必须在其中个平面内直线必须垂直于它们的交线点直线平面之间的位置关系第二章直线平面垂直的判定及其性质第二章平面与平面垂直的性质高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习•直二面角二面角的平面角是•两平面垂直的定义两平面所成的二面角是•两个平面垂直的判定定理如果个平面经过另个平面的，那么这两个平面垂直知识衔接直二面角条垂线•下列命题正确的是•垂直于同条直线的两直线平行•垂直于同条直线的两直线垂直•垂直于同个平面的两直线平行•垂直于同条直线的条直线和平面平行•答案文字语言两个平面垂直，则垂直于的直线与另个平面符号语言⊥∩⇒⊥图形语言作用证明直线与平面•平面与平面垂直的性质定理自主预习个平面内交线垂直⊂⊥垂直•破疑点平面与平面垂直的性质定理给出了判断直线与平面垂直的另种方法，即“面面垂直，则线面垂直”，揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系•知识拓展垂直关系的知识总结•线面垂直的关键，定义来证最常见，•判定定理也常用，它的意义要记清，•平面之内两直线，两线交于个点，•面外还有条线，垂直两线是条件•面面垂直要证好，原有图中去寻找，•若是这样还不好，辅助线面是个宝•先作交线的垂线，面面转为线和面，•再证步线和线，面面垂直即可见•借助辅助线和面，加的时候不能乱，•以性质为基础，不能主观凭臆断•判断线和面垂直，线垂面中两交线•两线垂直同面，相互平行共伸展•两面垂直同线，面平行另面•要让面和面垂直，面过另面垂线•面面垂直成直角，线面垂直记心间•已知平面⊥平面，则下列命题正确的个数是•内的直线必垂直于内的无数条直线•在内垂直于与的交线的直线必垂直于内的任意条直线•内的任何条直线必垂直于•过内的任意点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于•••答案预习自测•解析序号正误理由设∩，⊂，⊂，⊥，则⊥，故内与平行的无数条直线均垂直于内的任意直线内垂直于与交线的直线垂直于平面，则它垂直于内的任意直线内不与交线垂直的直线不垂直于垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直，否则不垂直•如图所示，在长方体的棱上任取点，作⊥于，则与平面的关系是•平行•⊂平面•相交但不垂直•相交且垂直•答案•解析平面⊥平面，⊂平面，平面∩平面，⊥，⊥平面•如图所示，三棱锥中，平面⊥平面，求证⊥平面•分析转化为证明⊥•证明⊥•又平面⊥平面，平面∩平面，⊥平面高效课堂•已知⊥，⊥，∩•求证⊥•证明证法在内取点，作垂直与的交线于，作垂直与的交线于，⊥，⊥，则⊥，⊥，∩，⊥，⊥，平面垂直性质定理的应用互动探究•与相交，又⊂，⊂，⊥证法在内作直线垂直于与的交线，在内作直线垂直于与的交线，⊥，⊥，⊥，⊥，，又⊂，，又⊂，∩，，⊥证法在上取点，过作的垂线，∩⇒⇒与重合⊥⇒⊥•规律总结证法证法二都是利用“两平面垂直时，在个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另个平面”的这性质，添加了在个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线这是证法证法二的关键•证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第个平面内的点垂直于第二个平面的直线，在第个平面内”这性质，添加了这条辅助线，这是证法三的关键•通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法•又在原题条件下，添加条件，，求证⊥在上任取点，过和的平面交于过的直线，交于过的直线，•，，同理，•和同时过且平行于•和重合于直线，由⊥可得⊥•如图，已知是所在平面外点，⊥平面，平面⊥平面，求证是直角三角形•分析灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化•证明过作⊥于，•平面⊥平面，⊥平面，•⊥，又⊥平面，⊥，•⊥平面，⊥，•即是直角三角形•如右图所示，平面⊥平面，在与的交线上取线段分别在平面和平面内，⊥，⊥，求线段的长与面面垂直有关的计算探究要求的长，由⊥，⊥易知为直角三角形，已知的长，只要知道的长即可由⊥知为直角三角形，从而可解解析⊥，⊥，∩，⊥，⊂，⊥又⊂，⊥在中，•规律总结与面面垂直有关的计算问题的类型•求角的大小或角的个三角函数值如两异面直线所成的角线面角二面角等•求线段的长度或点到直线平面的距离等•求几何体的体积或平面图形的面积•计算问题的