，看是否可利用如看到⊥平面，可想到⊥⊥⊥，这些垂直关系我们需要哪个呢我们需要的是⊥，联系已知，问题得证•证明⊥平面，⊂平面，•⊥•，⊥•又∩，⊥平面•⊥平面，⊂平面，⊥•⊥，∩，•⊥平面•⊥平面，⊂平面，•⊥⊥，∩，•⊥平面•规律总结线面垂直的判定定理的应用•利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤•在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直•确定这个平面内的两条直线是相交的直线•根据判定定理得出结论•利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧•证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等等腰三角形梯形底边的中线高菱形正方形的对角线三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法•如图，在中，，是的中点，是所在平面外点，且•求证⊥平面•若，求证⊥平面•探究题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，⊥，是的中点，要证需在平面内找两条相交直线与垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证，需设法在平面内找两条相交直线与垂直，而的结论可利用•证明因为，是的中点，•所以⊥在中•由已知，所以≌，•所以⊥，又∩，•所以⊥平面•因为，为的中点，•所以⊥，由知⊥，•又因为∩，所以⊥平面•规律总结利用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤•在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直•确定这个平面内的两条直线是相交的直线•根据判定定理得出结论•在正方体中，•求直线与平面所成的角的正切值•求直线与平面所成的角线面角•探究求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上点的平面的垂线中过作平面的垂线，该垂线必与垂直，由正方体的特性知，直线满足要求解析直线⊥平面，为直线与平面所成的角，设，则，连接交于，在正方形中，⊥，⊥平面，⊂平面，⊥，又∩，⊥平面，垂足为为直线与平面所成的角，在中即与平面所成的角为•规律总结求线面角的方法•求直线和平面所成角的步骤寻找过斜线上点与平面垂直的直线连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角把该角归结在个三角形中，通过解三角形，求出该角•求线面角的技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影般都是些特殊的点，比如中心垂心重心等枣庄高检测如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为•答案解析⊥平面，为直线与平面所成角•如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥底面，分别为，的中点•求证⊥平面线面垂直的综合应用探索延拓设，求与平面所成角的正弦值•探究要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得⊥，⊥，所以本题得证要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易得⊥平面故在中，只需过与的交点作的平行线，则⊥平面，为所求角•解析证明连结，••≌，•为中点，⊥•⊥底面与平面所成角的正弦值•探究要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得⊥，⊥，所以本题得证要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易得⊥平面故在中，只需过与的交点作的平行线，则⊥平面，为所求角•解析证明连结，••≌，•为中点，⊥•⊥底面，⊥，⊥•在中•又，≌，⊥•∩，⊥平面不妨设，则，为等腰直角三角形，且是的中点⊥∩，⊥平面设交于点，过点作交于点，则⊥平面故为与平面所成的角由可知由，可知，与平面所成角的正弦值为•规律总结中还可取中点，连结证明⊥平面，则⊥，加上⊥，则⊥平面中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角•如图，为的直径，垂直于所在的平面，为圆周上任意点，⊥，为垂足•求证⊥平面•若⊥，垂足为，求证⊥探究根据⊥平面，证得⊥平面，再利用线面垂直的判定定理证明⊥平面而证线线垂直，可先证线面垂直•证明为的直径，•⊥•又⊥平面，⊥•又∩，⊥平面•又⊂平面，⊥•又⊥，且∩，•又⊥平面•由知⊥平面，•⊂平面，⊥•又⊥，∩，•⊥平面•又⊂平面，⊥规律总结证明线面垂直时，在平面内找两条相交直线是关键，同时注意判定定理的条件•已知四边形中，四个角，，，都是直角，求证四边形是矩形•错解四边形中，四个角，，，都是直角，四边形是矩形•错因分析把当作平面四边形未加共面证明就得出结论易错点在几何题的证明中，只考虑平面情形，而忽略空间情形误区警示•思路分析四边形有两种存在形式平面四边形和空间四边形，需分类证明•正解当四边形是平面图形时，它显然是矩形若四边形是空间四边形时，可设点在平面之外如图，过点作⊥平面，则⊥面，同理，又，，又，而事实上矛盾点在平面内，即四边形是矩形•如图所示，，点在，所确定的平面外，⊥于点，⊥于点求证⊥•错解⊥，，⊥，•⊥平面，⊥•错因分析上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由⊥，⊥，得⊥，忽略了与不相交•正解⊥，，⊥•又⊥，且∩，⊥平面•又⊂平面，⊥当堂检测•若直线与平面内的两条直线垂直，则直线与平面的位置关系是•垂直平行•斜交或在平面内以上均有可能•答案•解析与内的两条直线垂直，而这两条直线的位置关系不确定，与可能平行垂直斜交或在内•如果条直线垂直于个平面内的•三角形的两边梯形的两边圆的两条直径正六边形的两条边•则能保证该直线与平面垂直•••答案•解析三角形的两边，圆的两条直径定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不定相交，所以保证直线与平面垂直的是•下列命题中正确的个数是•如果直线与平面内的无数条直线垂直，则⊥•如果直线与平面内的条直线垂直，则⊥•如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线•如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直•••答案•解析只有正确•在正方体中，直线与平面所成的角等于•答案解析如图所示，因为正方体中，⊥平面，所以即为在平面中的射影，即为直线与平面所成的角由题意知，，故所求角为规律总结求直线与平面所成的角的关键是找出平面的垂线，从而找出直线在平面内的射影如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，⊥求证⊥平面求四棱锥的体积分析利用线面垂直的判定定理证明线面垂直分别求出四棱锥的底面面积和高计算出该四棱锥的体积解析证明因为四棱锥的底面是边长为的正方形，所以，所以⊥，又⊥，∩，所以⊥平面四棱锥的底面积为，因为⊥平面，所以四棱锥的高为，所以四棱锥的体积为点直线平面之间的位置关系第二章直线平面垂直的判定及其性质第二章直线与平面垂直的判定高效课堂课后强化作业优效预习当堂检测优效预习•在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有等腰三角形底边上的中线底边菱形对角线互相正方形对角线互相圆的直径所对圆角等于•在上节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法定义法判定定理反证法知识衔接垂直平分垂直平分垂直平分•直线与平面垂直自主预习定义如果直线与平面内的直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直记法⊥有关概念直线叫做平面的，平面叫做直线的它们唯的公共点叫做图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的边垂直任意条垂线垂面垂足•破疑点定义中的“任意条直线”这词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语•直线与平面垂直是直线与平面相交的种特殊形式•由直线与平面垂直的定义，得如果条直线垂直于个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意条直线•判定定理文字语言条直线与个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言⊥，⊥，⊂，⊂，⇒⊥作用判断直线与平面相交∩垂直•破疑点直线与平面垂直的判定定理告诉我们可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直”因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说，以后证明条直线和个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可•直线和平面所成的角•定义条直线和个平面，但不和这个平面，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的叫做斜足过斜线上斜足以外的点向平面引，过和的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角相交垂直交点垂线垂足斜足锐角规定条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于因此，直线与平面所成的角的范围是•直线⊥平面，直线⊂，则与不可能•平行相交•异面垂直•答案•解析直线⊥平面，与相交，•又⊂，与相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知⊥故与不可能平行预习自测•直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是•和平面相互平行和平面相互垂直•在平面内不能确定•答案•解析如下图所示，直线和平面相互平行，或直线和平面相互垂直或直线在平面内都有可能故选•如右图所示，若斜线段是它在平面上的射影的倍，则与平面所成的角是•••答案•点评垂线段斜线段及其射影构成直角三角形解析即是斜线与平面所成的角，在中所以，即•如下图所示，在正方体中，求证⊥平面•分析转化为证明⊥，⊥•证明⊥，⊥，•⊥平面，•又⊂平面，⊥•又四边形是正方形，⊥又⊂平面，⊂平面，∩，•⊥平面高效课堂•如图，为所在平面外点，⊥平面，，⊥于，⊥于求证•⊥平面•⊥平面•⊥平面线面垂直的判定互动探究•探究本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的些“垂直”关系，看是否可利用如看到⊥平面，可想到⊥⊥⊥，这些垂直关系我们需要哪个呢我们需要的是⊥，联系已知，问题得证•证明⊥平面，⊂平面，•⊥•，⊥•又∩，⊥平面•⊥平面，⊂平面，⊥•⊥，∩，•⊥平面•⊥平面，⊂平面，•⊥⊥，∩，•⊥平面•规律总结线面垂直的判定定理的应用•利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤•在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直•确定这个平面内的两条直线是相交的直线•根据判定定理得出结论•利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧•证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等等腰三角形梯形底边的中线高菱形正方形的对角线三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法•如图，在中，，是的中点，是所在平面外点，且•求证⊥平面•若，求证⊥平面•探究题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，⊥，是的中点，要证需在平面内找两条相交直线与垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直