式若不直接满足均值不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造的代换等若次应用均值不等式不能达到要求，需多次应用均值不等式，但要注意等号成立的条件必须要致提醒若可用均值不等式，但等号不成立，则般是利用函数单调性求解已知，且，则的最小值为导学号已知正数，满足，则的最小值为导学号答案分析先利用乘常数或消元法，再利用基本不等式求解最值解析常数代换法且当且仅当，即时等号成立，当，时，有最小值解法，当且仅当即，时成立，故的最小值是解法二消元法由，得，由⇒，又⇒，则，当且仅当，即舍去，此时，成立，故的最小值是利用基本不等式证明不等式设都是正数，求证导学号证明都是正数，都是正数，当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立，规律总结证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质，通过不等式相加有时相乘综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明这类轮换对称不等式时具有定的普遍性，当且仅当时等号成立三式相加，得，即，当且仅当时等号成立设，均为正实数，求证导学号证明由于，均为正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，又因为，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当即时取等号基本不等式的实际应用房地产开发公司计划在楼区内建造个长方形公园，公园由形状为长方形的休闲区和环公园人行道阴影部分组成已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米如图所示导学号若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计分析根据几何量之间的关系，由计算公式得到目标函数利用基本不等式求解函数的最值问题，进而确定设计方案解析设休闲区的宽为米，则长为米，由，得则，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以要使公园所占面积最小，休闲区应设计为长米，宽米规律总结解实际应用题时要注意的三点设变量时般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值在求函数的最值时，定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解单位决定投资元建仓库长方体状，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价元，两侧墙砌砖，每米长造价元，顶部每平方米造价元，求仓库面积的最大允许值是多少为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长导学号答案最大为平方米，铁栅长为米分析把铁栅长砖墙长设为未知数，由投资元列等式，利用基本不等式即可求解解析设铁栅长为米，侧砖墙长为米，则顶部面积得，由⇒，又⇒，则，当且仅当，即舍去，此时，成立，故的最小值是利用基本不等式证明不等式设都是正数，求证导学号证明都是正数，都是正数，当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立，规律总结证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质，通过不等式相加有时相乘综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明这类轮换对称不等式时具有定的普遍性，当且仅当时等号成立三式相加，得，即，当且仅当时等号成立设，均为正实数，求证导学号证明由于，均为正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，又因为，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当即时取等号基本不等式的实际应用房地产开发公司计划在楼区内建造个长方形公园，公园由形状为长方形的休闲区和环公园人行道阴影部分组成已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米如图所示导学号若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计分析根据几何量之间的关系，由计算公式得到目标函数利用基本不等式求解函数的最值问题，进而确定设计方案解析设休闲区的宽为米，则长为米，由，得则，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以要使公园所占面积最小，休闲区应设计为长米，宽米规律总结解实际应用题时要注意的三点设变量时般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值在求函数的最值时，定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解单位决定投资元建仓库长方体状，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价元，两侧墙砌砖，每米长造价元，顶部每平方米造价元，求仓库面积的最大允许值是多少为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长导学号答案最大为平方米，铁栅长为米分析把铁栅长砖墙长设为未知数，由投资元列等式，利用基本不等式即可求解解析设铁栅长为米，侧砖墙长为米，则顶部面积，依题设，得，由基本不等式得，则，即，故，从而，所以的最大允许值是平方米，取得此最大值的条件是且，解得，即铁栅的长应设计为米纠错笔记状元秘籍易错点忽视基本不等式应用条件致误若，则导学号有最小值有最小值有最大值有最大值错因分析本题易出现以下两方面的错误是不会“凑”，即不能根据函数解析式的特征进行适当变形凑出两式的积为定值二是利用基本不等式求最值时，忽视各式的符号，直接套用基本不等式如本题易出现由，得出函数有最小值这错误的结果，而错选正解因为，所以所以，当且仅当，即时取等号当趋于负无穷大时，也趋于负无穷大，即无最小值故当时故选答案状元秘籍利用基本不等式求最值的条件利用基本不等式及其变式求函数的最值时，务必注意三个条件正二定三相等“正”即基本不等式成立的条件是任意的正实数二“定”即在应用基本不等式时，必须满足“两数和”或“两数积”为定值三“相等”即基本不等式中等号成立的条件是，且定要加以验证，判断等号能否取到在利用基本不等式求最值时，除注意“正二定三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，合理添项拆分项或配凑因式是常用的解题技巧如典例中的函数通过“添”常数，变为，使得两项的积为常数已知，均为正实数，且，求的最小值导学号答案解析，令，则又在，上单调递减，所以当时此时所以走向高考数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索新课标版高考总复习不等式推理与证明第六章第三讲均值不等式及其应用第六章知识梳理双基自测考点突破互动探究纠错笔记状元秘籍课时作业知识梳理双基自测知识梳理均值不等式均值不等式成立的条件，等号成立的条件当且仅当时取等号其中数称为正数，的算术平均数，数称为正数，的几何平均数几个重要的不等式，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，同号，当且仅当时取等号利用均值不等式求最值已知则如果积是定值，那么当且仅当时，有最值是简记积定和最小如果和是定值，那么当且仅当时，有最值是简记和定积最大小大双基自测下列结论正确的打，错误的打“”导学号当，时，两个不等式与成立的条件是相同的函数的最小值是成立的条件是函数，，的最小值等于答案若，，且，则下列不等式中，恒成立的是导学号答案必修习题改编设且，则的最大值为导学号答案必修习题改编若把总长为的篱笆围成个矩形场地，则矩形场地的最大面积是导学号答案山东定义运算“⊗”⊗，，当，时，⊗⊗的最小值为导学号答案解析因为所以⊗⊗，当且仅当，即时取等号故⊗⊗的最小值为考点突破互动探究利用均值不等式求最值福建若直线，过点则的最小值等于导学号南昌模拟已知，则的最小值为导学号分析利用常数代换法的答题模板变形把已知条件中的等式变形为的表达式构造把的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商，通过变形构造和或积的定值最值利用基本不等式求解最值提醒常数代换法求解最值应注意以下三个方面条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础已知等式化成的表达式，是代数式等价变形的基础利用基本不等式求解最值时要注意“正二定三相等”的检验，否则容易出现错解解析解法因为直线，过点所以，所以当且仅当时取等号，所以又当且仅当时取等号，所以当且仅当时取等号，故选解法二因为直线，过点所以，所以当且仅当时取等号，故选由已知得方法消元法，当且仅当，即，时，方法二，当且仅当时等号成立设，则又，故当，时，答案规律总结利用均值不等式求最值的常用技巧若直接满足均值不等式条件，则直接应用均值不等式若不直接满足均值不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造的代换等若次应用均值不等式不能达到要求，需多次应用均值不等式，但要注意等号成立的条件必须要致提醒若可用均值不等式，但等号不成立，则般是利用函数单调性求解已知，且，则的最小值为导学号已知正数，满足，则的最小值为导学号答案分析先利用乘常数或消元法，再利用基本不等式求解最值解析常数代换法且当且仅当，即时等号成立，当，时，有最小值解法，当且仅当即，时成立，故的最小值是解法二消元法由，得，由⇒，又⇒，则，当且仅当