空间点共线问题的方法公理法般转化为证明这些点是两个平面的公共点，再根据基本性质证明这些点都在这两个平面的交线上同法选择其中两点确定条直线，然后证明其余点也在该直线上证明三线共点的方法先选取两线交于点，再证明该点在第三线上即可武汉模拟如图所示，四边形和都是梯形，綊，綊分别为，的中点导学号证明四边形是平行四边形，四点是否共面为什么解析证明由已知得綊又綊，所以綊，所以四边形是平行四边形由綊，为中点知綊，所以四边形为平行四边形，所以由知，所以，所以与共面又，所以，四点共面空间直线的位置关系在图中，分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号导学号在正方体中分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线都相交的直线有条导学号分析先判断直线是否共面，若不共面，再利用异面直线的判定定理判定解析图中，直线图中，三点共面，但∉面，因此直线与异面图中，连接，，因此与共面图中，共面，但∉面，因此与异面所以图中与异面方法在上任意取点，直线与确定个平面，这个平面与有且仅有个交点，当取不同的位置就确定不同的平面，从而与有不同的交点，而直线与这条异面直线都有交点如图所示方法二在上任取点，过点与直线作个平面，因与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点，连接，则与必须相交，即为所求直线由点的任意性，知有无数条直线与三条直线都相交答案无数规律总结异面直线的判定方法反证法先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到判定定理法平面外点与平面内点的连线和平面内不经过点的直线是异面直线已知空间三条直线，若与异面，且与异面，则导学号与异面与相交与平行与异面相交平行均有可能如图，在正方体中分别是，的中点，则下列判断错误的是导学号与垂直与垂直与平行与平行分析借助长方体举例说明连接则点点是的中点，证明答案解析在如图所示的长方体中与都异面，但是，所以，错误，与都异面，且，也异面，所以错误连接则点是的中点，是的中位线，，⊥，⊥，，⊥，⊥，又与相交，与不平行，故选求两条异面直线所成的角空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小导学号分析取中点，利用三角形中位线的性质作出所求角求异面直线所成角的答题模板解析取的中点，连接，则綊，綊，由知，或它的补角为与所成的角，或它的补角为与所成的角与所成的角为，或由知为等腰三角形，当时，，当时，故与所成的角为或规律总结求两条异面直线所成角的方法与步骤求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法般有三种类型利用图中已有的平行线平移利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移补形平移求异面直线所成的角的三步曲即“作二证三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点中点等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为导学号四川如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上分别为，的中点设异面直线与所成的角为，则的最大值为导学号答案解析法设正四面体的棱长为如图，取的中点，连接，在中，由得，且故为直线与所成的角或其补角在中在中，在中，所以直线与所成角的余弦值为法二设正四面体的棱长为如图，取，因此与共面图中，共面，但∉面，因此与异面所以图中与异面方法在上任意取点，直线与确定个平面，这个平面与有且仅有个交点，当取不同的位置就确定不同的平面，从而与有不同的交点，而直线与这条异面直线都有交点如图所示方法二在上任取点，过点与直线作个平面，因与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点，连接，则与必须相交，即为所求直线由点的任意性，知有无数条直线与三条直线都相交答案无数规律总结异面直线的判定方法反证法先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到判定定理法平面外点与平面内点的连线和平面内不经过点的直线是异面直线已知空间三条直线，若与异面，且与异面，则导学号与异面与相交与平行与异面相交平行均有可能如图，在正方体中分别是，的中点，则下列判断错误的是导学号与垂直与垂直与平行与平行分析借助长方体举例说明连接则点点是的中点，证明答案解析在如图所示的长方体中与都异面，但是，所以，错误，与都异面，且，也异面，所以错误连接则点是的中点，是的中位线，，⊥，⊥，，⊥，⊥，又与相交，与不平行，故选求两条异面直线所成的角空间四边形中，且与所成的角为，分别为的中点，求与所成角的大小导学号分析取中点，利用三角形中位线的性质作出所求角求异面直线所成角的答题模板解析取的中点，连接，则綊，綊，由知，或它的补角为与所成的角，或它的补角为与所成的角与所成的角为，或由知为等腰三角形，当时，，当时，故与所成的角为或规律总结求两条异面直线所成角的方法与步骤求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法般有三种类型利用图中已有的平行线平移利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移补形平移求异面直线所成的角的三步曲即“作二证三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点中点等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为导学号四川如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上分别为，的中点设异面直线与所成的角为，则的最大值为导学号答案解析法设正四面体的棱长为如图，取的中点，连接，在中，由得，且故为直线与所成的角或其补角在中在中，在中，所以直线与所成角的余弦值为法二设正四面体的棱长为如图，取的中点，连接，在中，由得，且故为直线与所成的角或其补角在中在中，取的中点，连接，则，且⊥在中，所以直线与所成角的余弦值为取的中点，连接则，所以直线与所成的角就是异面直线与所成的角在中，当点与点重合时，⊥，所以当点逐渐趋近于点时，直线与的夹角越来越小，此时越来越大故当点与点重合时，取最大值设正方形的边长为，连接在中，由余弦定理，得，所以的最大值为纠错笔记状元秘籍易错点求解两条直线所成角问题概念不准确致误过正方体的顶点作直线，使与棱所成的角都相等，这样的直线可以作导学号条条条条错因分析忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系正解如图，连接体对角线，显然与棱所成的角都相等，所成角的正切值都为联想正方体的其他体对角线，如连接，则与棱所成的角都相等，因为，，所以体对角线与棱所成的角都相等同理，体对角线，也与棱所成的角都相等，过点分别作的平行线都满足题意，故这样的直线可以作条答案状元秘籍求空间直线所成的角时，常犯以下错误不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角线多图形复杂空间想象力不够，感觉无从下手分析对异面直线所成角的概念和范围不熟悉，误将图中的作为所求直线与所成的角已知在空间四边形中点分别是边和上的点，并且求异面直线和所成角的大小导学号解析在上取靠近的三等分点，连接，如图所示在中，⇒同理，在中，所以和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，即就是与所成的角或其补角在中，由，得在中，由，得在中由余弦定理，得所以所以直线与所成角为走向高考数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索新课标版高考总复习立体几何第七章第三讲空间点直线平面之间的位置关系第七章知识梳理双基自测考点突破互动探究纠错笔记状元秘籍课时作业知识梳理双基自测平面的基本性质公理如果条直线上的在个平面内，那么这条直线在此平面内公理过的三点，有且只有个平面公理如果两个不重合的平面有个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线知识梳理两点不在条直线上条直线与直线的位置关系位置关系的分类共面直线异面直线不同在个平面内异面直线所成的角定义设，是两条异面直线，经过空间任点作直线，，把与所成的叫做异面直线，所成的角或夹角范围，平行相交任何锐角或直角直线与平面的位置关系有三种情况平面与平面的位置关系有两种情况公理平行于的两条直线互相平行定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角平行相交在平面内平行相交同条直线相等或互补双基自测下列结论正确的打，错误的打“”导学号两个不重合的平面只能把空间分成四个部分两个平面，有个公共点，就说，相交于点，记作∩已知，是异面直线，直线平行于直线，那么与不可能是平行直线没有公共点的两条直线是异面直线如果两个不重合的平面，有条公共直线，就说平面，相交，并记作∩答案广东若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是导学号与，都不相交与，都相交至多与，中的条相交至少与，中的条相交答案解析可用反证法假设与，都不相交，因为与都在平面内，于是，同理，于是，与已知矛盾，故至少与，中的条相交如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中则异面直线与所成角的余弦值为导学号答案解析连接，易证，则即为异面直线与所成的角连接，由，则，故必修练习改编直线两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为导学号答案必修练习改编两两相交的三条直线最多可确定个平面导学号答案考点突破互动探究平面的基本性质厦门模拟下列四个命题中，真命题的个数为导学号如果两个平面有三个不在条直线上的公共点，那么这两个平面重合两条直线可以确定个平面空间中，相交于同点的三条直线在同平面内若，，∩，则已知在正方体中分别为，的中点，∩，∩导学号求证，四点共面若交平面于点，则三点共线三线交于点解析对于来说，过不共线的三点有且只有个平面，因此正确对于来说，若两直线异面则不能确定个平面，因此不正确对于来说，正方体中个顶点引出的三条棱，不在同平面内，因此不正确由公理可知正确，故选如图所示因为是的中位线，所以在正方体中，，所以所以，确定个平面，即，四点共面在正方体中，设确定的平面为，又设平面为因为，所以又，所以所以是与的公共点同理，是与的公共点所以∩又∩，所以，，且则，故三点共线且，与相交设交点为，则由，⊂平面，得平面，同理，点平面又平面∩平面，三线交于点答案规律总结证明点共面或线共面的常用方法直接法证明直线平行或相交，从而证明线共面同法先确定个平面，再证明有关点线在此平面内辅助平面法先证明有关的点线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合证明空间点共线问题的方法公理法般转化为证明这些点是两个平面的公共点，再根据基本性质证明