面面平行证明两平面的法向量平行即为共线向量转化为线面平行线线平行问题提醒用向量结论还原几何结论时，要注意书写规范，说明定理的条件利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直如图，在多面体中，四边形是正方形，綊，二面角是直二面角导学号求证⊥平面平面证明二面角是直二面角，四边形为正方形，⊥平面又，即⊥，两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设平面的个法向量，则，即即，取，则，即⊥平面易知，设平面的个法向量，则，即令，则即，⊥又⊄平面，平面利用向量求空间角已知单位正方体分别是棱，的中点试求导学号与所成角的大小与平面所成角的余弦值二面角的正切值分析解析建立如图所示的空间直角坐标系，则因为所以，，即与所成的角为，由图可得,为平面的个法向量，设与平面所成的角为，则，，所以设平面的法向量为，由⊥，⊥，得，令，则同理，可得平面的个法向量为则，所以，点拨本题中需注意直线与平面的夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值的绝对值，利用平面的法向量求二面角的正切值时需注意二面角是锐角规律总结向量法求线面角的两大途径分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角或其补角通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角提醒在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成个法向量利用向量法确定二面角大小的常用方法找法向量法分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小找与棱垂直的方向向量法分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小向量法应用二面角大小范围的技巧建立恰当的空间直角坐标系，将两平面的法向量用与待求相关的参数字母表示，利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数，进而求解已知直四棱柱中，底面为正方形为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为导学号如图，在四棱锥中，⊥底面，⊥，，点为棱的中点导学号证明⊥求直线与平面所成角的正弦值若为棱上点，满足⊥，求二面角的余弦值答案略分析建系利用线线面公式求值解析如图，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设，则依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，可得,由为棱的中点，得向量故所以，⊥向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的个法向量于是有，所以，直线与平面所成角的正弦值为向量,由点在棱上，设，故由⊥，得，因此解得即设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的个法向量取平面的法向量，则易知，二面角是锐二面角，所以其余弦值为利用向量求距离已知正方形的边长为，⊥平面，分别是，的中点，求点到平面的距离导学号解析如图建立空间直角坐标系，则设平面的个法向量是，则由⊥，⊥，得，，即与所成的角为，由图可得,为平面的个法向量，设与平面所成的角为，则，，所以设平面的法向量为，由⊥，⊥，得，令，则同理，可得平面的个法向量为则，所以，点拨本题中需注意直线与平面的夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值的绝对值，利用平面的法向量求二面角的正切值时需注意二面角是锐角规律总结向量法求线面角的两大途径分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角或其补角通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角提醒在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成个法向量利用向量法确定二面角大小的常用方法找法向量法分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小找与棱垂直的方向向量法分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小向量法应用二面角大小范围的技巧建立恰当的空间直角坐标系，将两平面的法向量用与待求相关的参数字母表示，利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数，进而求解已知直四棱柱中，底面为正方形为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为导学号如图，在四棱锥中，⊥底面，⊥，，点为棱的中点导学号证明⊥求直线与平面所成角的正弦值若为棱上点，满足⊥，求二面角的余弦值答案略分析建系利用线线面公式求值解析如图，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设，则依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图，可得,由为棱的中点，得向量故所以，⊥向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的个法向量于是有，所以，直线与平面所成角的正弦值为向量,由点在棱上，设，故由⊥，得，因此解得即设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的个法向量取平面的法向量，则易知，二面角是锐二面角，所以其余弦值为利用向量求距离已知正方形的边长为，⊥平面，分别是，的中点，求点到平面的距离导学号解析如图建立空间直角坐标系，则设平面的个法向量是，则由⊥，⊥，得，⇒，⇒，所以则点到平面的距离为答案点拨空间中的距离问题般都可以转化成点到点的距离点到线的距离和点到面的距离其中点到点的距离点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解规律总结空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模因此，要求两点间的距离除了使用距离公式外，还可转化为求向量的模求点到平面的距离的三个步骤在平面内取点，确定向量的坐标确定平面的法向量代入公式求解如图所示，与都是边长为的正三角形，平面⊥平面，⊥平面，求点到平面的距离导学号答案解析方法取中点，连接则，⊥，⊥又平面⊥平面，则⊥平面，所以，平面，到平面的距离相等作⊥于，连接，则⊥求得，，设点到平面的距离为，由，得即，解得方法二取中点，连接则⊥，⊥又平面⊥平面，则⊥平面取为原点，直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示则各点坐标分别为，设是平面的个法向量，则，由⊥，得由⊥，得取则用向量法求立体几何中的探索性问题原创题如图所示，四边形是边长为的正方形，⊥平面，⊥平面，且，为的中点导学号求异面直线与所成角的余弦值在线段上是否存在点，使得⊥平面若存在，求线段的长若不存在，请说明理由分析建立空间直角坐标系求出和求出和的夹角的余弦值的绝对值得出异面直线与所成角的余弦值假设存在得出关于变量的方程求出的值验证得出结论解析如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系依题意得，所以因为所以异面直线与所成角的余弦值为假设在线段上存在点，使得⊥平面连接，如图所示因为，可设，又，所以由⊥平面，得，即，，解得，此时，经检验，当时，⊥平面故线段上存在点，使得⊥平面，此时如图，在四棱锥中，⊥平面，底面为直角梯形，，，且分别为线段，上的点端点除外，满足，当实数的值为时，为直角导学号答案分析建立空间直角坐标系假设为直角求得的值解析因为⊥平面，，故可建立如图所示的空间直角坐标系因为所以,设，则，因为，所以所以所以,所以同理可得，所以因为，要使为直角，即，则，所以，解得走向高考数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索新课标版高考总复习立体几何第七章第七讲立体几何中的向量方法理第七章知识梳理双基自测考点突破互动探究课时作业知识梳理双基自测直线的方向向量与平面的法向量直线上的向量以及与的向量叫做直线的方向向量如果表示非零向量的有向线段所在直线平面，那么称向量垂直于平面，记作此时把叫做平面的法向量知识梳理共线垂直于⊥向量线面关系的判定设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为如果，那么⇔⇔如果⊥，那么⊥⇔⇔若，则⊥⇔⇔若⊥，则⇔⇔若，则⇔⇔若⊥，则⊥⇔⇔利用空间向量求空间角两条异面直线所成的角范围两条异面直线所成的角的取值范围是向量求法设异面直线，的方向向量为直线与的夹角为，与的夹角为，则有直线与平面所成的角范围直线和平面所成的角的取值范围是向量求法设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则有或二面角二面角的取值范围是二面角的向量求法若，分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角如图，设，分别是二面角的两个面，的法向量，则图中向量与的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小而图中向量与的夹角的大小就是二面角的平面角的大小利用空间向量求距离两点间的距离设点，点，则点到平面的距离如图，已知为平面的条斜线段，为平面的法向量，则到平面的距离为双基自测下列结论正确的打，错误的打“”导学号直线的方向向量是唯确定的两条不重合的直线和的方向向量分别为则与的位置关系是平行已知则平面的单位法向量是若，分别是平面，的法向量，则⇔两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角已知向量，分别是直线和平面的方向向量法向量，若则与所成的角为已知两平面的法向量分别为则两平面所成的二面角的大小为答案选修练习改编设，分别是平面，的法向量当时，与的位置关系为当时，与的位置关系为导学号答案⊥选修练习改编如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是导学号答案垂直选修练习改编正三棱柱底面是正三角形的直棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角为导学号答案选修例改编已知个平行六面体的各棱长都等于，并且以顶点为端点的各棱间的夹角都等于，则该平行六面体中平面与平面夹角的余弦值为导学号答案考点突破互动探究利用向量证明平行与垂直问题如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点导学号求证平面⊥平面证明如图，建立空间直角坐标系，令，则取中点，则，又在平面内，故平面⊥，即⊥，⊥，即⊥，又∩，⊥平面点拨证明面也可证明与面的法向量垂直证明⊥面也可证明与面的法向量平行规律总结用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的法向量垂直证明直线的方向向量与平