所以二项展开式的通项是令，得，故二项展开式中的常数项是二项展开式的通项是，令，得，„故当时，有最小值点拨解决此类问题的关键是利用通项公式找到二项展开式中般项的形式，出现根式时先将根式转化为分数指数幂，然后利用分数指数幂的运算性质进行运算规律总结求二项展开式中的特定项或项的系数的方法展开式中常数项有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数解决这类问题时，先要合并通项中同字母的指数，再根据上述特征进行分析有关求二项展开式中的项系数参数值或取值范围等，般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式组求取值范围安徽的展开式中的系数是用数字填写答案导学号陕西二项式的展开式中的系数为，则导学号的展开式中的有理项共有项导学号答案解析由题意知，展开式的通项为，令，则，所以，故的系数为由„，知，，解得或舍去故选的展开式的通项为，„为使为有理项，必须是的倍数，所以，故共有个有理项二项式系数和或各项系数和的问题若且„，则„导学号在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为导学号分析由组合数的性质求出的值利用赋值法求和令即可得到的值列式求出的值再令二项展开式的通项中的幂指数为得常数项解析由，得无整数解或，解得，问题即转化为求的展开式中各项系数和的问题，只需在中令即得„令，得各项系数的和为，而各项的二项式系数的和等于，根据已知，得方程，解得所以二项展开式的通项，显然当时，是常数项，值为点拨对于，求的是„的值，因此直接令中的即可如果求„的值，要注意先求，令即可规律总结赋值法的应用形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可对形如，的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可若„，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为„，偶数项系数之和为„湖北已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为导学号新课标全国Ⅱ的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则导学号答案点拨注意区分二项式的展开式中项的系数与二项式系数解析因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数和为解法直接将展开得，由题意得，解得解法二展开式的通项为，由题意可知解得二项式定理的应用求证且时，求证能，知，，解得或舍去故选的展开式的通项为，„为使为有理项，必须是的倍数，所以，故共有个有理项二项式系数和或各项系数和的问题若且„，则„导学号在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为导学号分析由组合数的性质求出的值利用赋值法求和令即可得到的值列式求出的值再令二项展开式的通项中的幂指数为得常数项解析由，得无整数解或，解得，问题即转化为求的展开式中各项系数和的问题，只需在中令即得„令，得各项系数的和为，而各项的二项式系数的和等于，根据已知，得方程，解得所以二项展开式的通项，显然当时，是常数项，值为点拨对于，求的是„的值，因此直接令中的即可如果求„的值，要注意先求，令即可规律总结赋值法的应用形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可对形如，的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可若„，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为„，偶数项系数之和为„湖北已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为导学号新课标全国Ⅱ的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则导学号答案点拨注意区分二项式的展开式中项的系数与二项式系数解析因为的展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数和为解法直接将展开得，由题意得，解得解法二展开式的通项为，由题意可知解得二项式定理的应用求证且时，求证能被整除计算精确到导学号答案略略解析时，„，原式„„„„，均为自然数，上式各项均为的整数倍能被整除„„规律总结二项式定理的个重要用途是做近似计算当不很大，比较小时，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式数展开后的每项都含有除式的因式由于的展开式共有项，故可以通过对些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的答案江西八中学等三校联考„除以的余数是导学号浙江在的展开式中，记项的系数为则导学号解析„„为正整数，所以可知余数为由题意知因此，选纠错笔记状元秘籍易错点混淆项的系数与二项式系数致误若在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数相等，则其展开式中所有项的系数之和等于导学号错因分析本题可能出现的错误主要是由于审题不细，急于求成，不注意题目中的关键信息，误解题意，得第项与第项的二项式系数分别理解为和，从而得出的错解正解在的展开式中，第项的二项式系数是，第项的二项式系数是，依题意，得，于是所以在的展开式中，所有项的系数之和等于，故选状元秘籍在二项式的展开式中，其通项是指展开式的第项，因此展开式中第，„，项的二项式系数分别是，„而不是，„，若的展开式中，项的系数为，则展开式中第三项的系数是导学号或答案解析依题意，得展开式的通项为„所以项的系数为，即，这时只有，或因此展开式中第三项的系数是走向高考数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索新课标版高考总复习计数原理概率随机变量及其分布理第十章第三讲二项式定理第十章知识梳理双基自测考点突破互动探究纠错笔记状元秘籍课时作业知识梳理双基自测知识梳理二项式定理„„这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数，„，叫做，式中的叫做二项展开式的，用表示，即通项为展开式的第项二项式系数通项二项展开式形式上的特点项数为各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为字母按排列，从第项开始，次数由逐项减小直到零字母按排列，从第项起，次数由零逐项增加直到降幂升幂二项式系数的性质时，与的关系是二项式系数先增后减，中间项最大当为偶数时，第项的二项式系数最大当为奇数时，第项和项的二项式系数最大各二项式系数的和„，„„双基自测下列结论正确的打，错误的打“”导学号是的展开式中的第项在二项展开式中，系数最大的项为中间项或中间两项在的展开式中，系数最大的项是第项和第项在的展开式中，每项的二项式系数与无关若„，则„的值为展开式中项的系数与该项的二项式系数相同答案答案新课标全国Ⅰ的展开式中，的系数为导学号解析易知，令，则，对于二项式，由，令，所以的系数为答案福建的展开式中，的系数等于用数字作答导学号解析的展开式的通项为，令，得，所以的系数为答案选修习题改编展开式中的常数项为导学号解析，令选修习题改编化简„的值为导学号答案解析由„„由得„答案学年河南省许昌市长葛中高三月考题求展开式的项的系数是导学号分析先求出展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，可得展开式的项的系数的值解析由于展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的项的系数是，故答案为点评本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中项的系数，属于中档题考点突破互动探究求二项展开式的特定项或系数的展开式中，项的系数为导学号设，则二项式的展开式中的常数项是导学号二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为导学号分析解析二项展开式的通项是，令，解得，故展开式中的系数为，所以二项展开式的通项是令，得，故二项展开式中的常数项是二项展开式的通项是，令，得，„故当时，有最小值点拨解决此类问题的关键是利用通项公式找到二项展开式中般项的形式，出现根式时先将根式转化为分数指数幂，然后利用分数指数幂的运算性质进行运算规律总结求二项展开式中的特定项或项的系数的方法展开式中常数项有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数解决这类问题时，先要合并通项中同字母的指数，再根据上述特征进行分析有关求二项展开式中的项系数参数值或取值范围等，般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式组求取值范围安徽的展开式中的系数是用数字填写答案导学号陕西二项式的展开式中的系数为，则导学号的展开式中的有理项共有项导学号答案解析由题意知，