理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。群群的相关概念群是满足特殊条件的代数体系。如果给定了个非空集合和法则，看关于能否作成群，首先必须检验是否为的运算。如果中任二元素,其积仍在中，即对封闭，又常说关于满足闭合律。所以看个集合关于是否作成群，必须检验下列四条闭合律结合律恒等元素的存在逆元素的存在。这里需要指出的是结合律是对中任意三个元素来说的，对于无限群必须作般性验证。对于有限群则需讨论所有情形而无遗漏。恒等元是对的所有元素左乘右乘都不变的元素，不只是对的些元素来说的。逆元素是对每个元素来说的。综合上述对群的定义，总结出群的定义设是个非空的集合，是它的个代数运算，如果满足下条件Ⅰ结合律成立，即对中任意元素都有Ⅱ中有元素，叫做的左单位元，它对中的每个元素都有福建农林大学本科毕业论文Ⅲ对于中每个元素，在中都有元素，叫做的左逆元，使则称对代数运算作成个群群中元素的阶设是个群,是的单位元,,若存在正整数,使得,而对于小于的任意正整数,都有,则称元的阶是或元的周期是若对任意的正整数,都有,则称元的阶是群的阶群中元素的个数称为群的阶，记为，如果是有限数，则称为有限群，否则称为无限群子群设是个群，是的个非空子集，如果本身对的乘法也作成个群，则称为群的个子群群的相关性质设与是两个群，是与的对应，使,则称为群到的个同构映射，简称为同构并称群与同构，记作群到它自身的同构映射称为群的自同构注在群同构的定义中，我们虽然使用了同个符号表示与的运算，但这仅仅是为了方便式与分别是在群与群中进行的运算，般来说它们是不相同的在讨论具体的群时，应该把用它们各自的运算符号来代替例设是群，是的恒等映射,显然是对应又对任意的,，福建农林大学本科毕业论文所以是的个自同构，这个同构称为恒等同构有限群有限群的定义及其性质定义若群中只有有限个元素,则称是有限群而群中所含元素的个数叫群的阶若群中有无限多个元素,则称是无限阶群定义若个群的每个元都是的个固定元的乘方，而且的阶是有限整数，则称是有限循环群定义任集合到自身的映射都叫做的个变换，如果是有限集且变换是换双射，那么这个变换为的个置换。有限集合的若干个置换若作成群，就叫做置换群。含有个元素的有限群的全体置换作成的群，叫做次对称群。通常记为。定理假定是个有限群的个子群，那么的阶和它在里的指数都能整除的阶，并且证明首先证明个子群与它的每个右陪集之间都存在个映射事实上，设是个子群，定义则为到间的映射这是因为的每个元有个唯的象，故为映射的每个元是中的象，故为满射假设，那么，故为到的映射从而子群的阶等于它的陪集的阶的阶既是有限，的阶和它的指数也都是有限正整数的个元被分成个右陪集，每个右陪集都有个元，所以推论个有限群的任意元的阶都能整除群的阶证明设为有限群，任取，设的阶为，由生成个阶是的子群由定理知，整除的阶推论设为个阶是的有限群，则对中任元定有福建农林大学本科毕业论文证明由推论知，的阶能整除，设的阶为，即有，从而存在整数使得故推论有限群中商群的阶整除群的阶证明设为有限群，为的不变子群，则商群中元的个数等于的指数，从而由定理知，的阶整除群的阶注定理的逆命题设是有限群，若正整数，整除的阶，则有阶子群不成立例如设,由对于的乘法封闭知称为次交换群,又，但没有阶子群事实上，若有阶子群，则单位元因中有且只有个二阶元，故阶子群中必有循环置换,,于是的逆元因而在中，循环置换成对出现又，于是中至少有个阶元，不妨设为因此验证码,用户名或者密码，请重新输入,进货及退货查询代码哈尔滨工业大学华德应用技术学院本科毕业设计论文进货信息进货退货添加进货代码进货信息计算输入的金额是否正确应付金额填写哈尔滨工业大学华德应用技术学院本科毕业设计论文,添加成功用户修改代码密码中不能含有非法字符,密码修改成功论文题目关于有限群的若干问题的研究学院专业年级学号姓名指导教师职称年月日目录摘要引言群的发展群群的相关概念群的相关性质有限群有限群的定义及其性质有限群的阶数的特点对般有限群的研究对有限群其他情况的分析对有限循环群的研究对有限群的置换群的研究有限群的运用结论参考文献致谢福建农林大学本科毕业论文摘要本文介绍了群发展状况以及群论的些基础知识，并在其基础上介绍了有限群的定义以及有限群的相关性质，文中还从同构的角度分析了有限群的阶数的特点，从阶数变化的结果找出并归纳其规律，然后从般的有限群的性质的探讨延伸到有限群的些特殊情况的探讨，分别重点探讨了有限循环群置换群的性质,它们都是有限群研究中比较重要的部分，也是了解有限群的基础。同时还介绍了有限群的个应用来让我们更加深入的了解有限群的相关性质及特点。关键字群有限群循环群置换群群的阶数应用福建农林大学本科毕业论文福建农林大学本科毕业论文引言群的发展群论是法国传奇式人物伽罗瓦，年的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之后柯西,年，阿贝尔，年等人也对群论作出了发展。最先产生的是个文字的些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由拉格朗日鲁菲尼阿贝尔和伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。个数域上元次多项式方程,它的根之间的些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，年伽罗瓦证明了元次多项式方程能用根式求解的个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为可解群见有限群。由于般的元次方程的伽罗瓦群是个文字的对称群，而当时不是可解群，所以般的五次以上元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构正规子群等重要概念。应当指出，柯西早在年就发表了有关置换群的第篇论文，并在年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在若尔当的名著置换和代数方程专论中得到很好的介绍和进步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第个最主要的来源。在数论中，拉格朗日和高斯研究过由具有同判别式的二次型类,即,其中为整数，取整数值，且为固定值，对于两个型的复合乘法,构成个交换群。戴德金于年和克罗内克于年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源。在若尔当的专著影响下，克莱因于年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和庞加莱在对自守函数的研究中曾用到其他类型的无限群即离散群或不连续群。在年前后，李开始研究连续变换群即解析变换李群,用来阐明微分方程的解,并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。凯莱于年年和年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。弗罗贝尼乌斯于年和内托于年以及迪克于年的工作也推进了这方面认识。世纪年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在年已得到公认。世纪初，亨廷顿，莫尔，迪克森等都给出过抽象群的种种公理系统，这些公理系统和现代的定义福建农林大学本科毕业论文致。在年期间，伯恩赛德的有限群论先后两版,颇多增益。弗罗贝尼乌斯伯恩赛德舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在世纪初，也有专著,如年Ο施米特的著作。群论的发展导致世纪年代抽象代数学的兴起。尤其是近年来,有限群论取得了巨大的进展,年初，有限单群分类问题的完全解决是个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之。它不但渗透到诸如几何学代数拓扑学函数论泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了些新学科如拓扑群李群代数群算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑解析流形代数簇等，并在结晶学理论物理量子化学以至代数编码学自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广群的概念的产物半群和幺半群理论及其近年来对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。今天，群论经常应用于物理领域。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在种变化下的些变化量的性质。它也跟物理方程联系在起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。群群的相关概念群是满足特殊条件的代数体系。如果给定了个非空集合和法则，看关于能否作成群，首先必须检验是否为的运算。如果中任二元素,其积仍在中，即对封闭，又常说关于满足闭合律。所以看个集合关于是否作成群，必须检验下列四条闭合律结合律恒等元素的存在逆元素的存在。这里需要指出的是结合律是对中任意三个元素来说的，对于无限群必须作般性验证。对于有限群则需讨论所有情形而无遗漏。恒等元是对的所有元素左乘右乘都不变的元素，不只是对的些元素来说的。逆元素是对每个元素来说的。综合上述对群的定义，总结出群的定义设是个非空的集合，是它的个代数运算，如果满足下条件Ⅰ结合律成立，即对中任意元素都有Ⅱ中有元素，叫做的左单位元，它对中的每个元素都有福建农林大学本科毕业论文Ⅲ对于中每个元素，在中都有元素，叫做的左逆元，使则称对代数运算作成个群群中元素的阶设是个群,是的单位元,,若存在正整数,使得,而对于小于的任意正整数,都有,则称元的阶是或元的周期是若对任意的正整数,都有,则称元的阶是群的阶群中元素的个数称为群的阶，记为，如果是有限数，则称为有限群，否则称为无限群子群设是个群，是的个非空子集，如果本身对的乘法也作成个群，则称为群的个子群群的相关性质设与是两个群，是与的对应，使,则称为群到的个同构映射，简称为同构并称群与同构，记作群到它自身的同构映射称为群的自同构注在群同构的定义中，我们虽