越函数。若有数为方程的根，或称函数的零点。设函数在,内连续，且。根据连续函数的性质知道，方程在区间,内至少有个实根我们又知道，方程的根，除了极少简单方程的根可以用解析式表达外，般方程的根很难用个式子表达。即使能表示成解析式的，往往也很复杂，不便计算。所以，具体求根时，般先寻求根的个初始近似值，然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止。如何寻求根的初始值呢简单述之，为了明确起见，不妨设在区间,内有个实的单根，且,。我们从左端出点出发，按预定的步长步步地向右跨，每跨步进行次根的搜索，即检查每步的起点和即，的函数值是否同号。若有那么所求的根必在,内，这时可取或作为根的初始近似值。这种方法通常称为定步长搜索法。另外，还是图解法近似方程法和解析法。迭代法迭代法的般概念迭代法是数值计算中类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。迭代法的基本思想是种逐次逼近的方法。首先取个精糙的近似值，然后用同个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。对于迭代法，般需要讨论的基本问题是迭代法的构造迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。这里，主要看看解方程迭代式的构造。对方程，在区间,内，可改写成为取,，用递推公式,,可得到序列当时，序列有极限，且在附近连续，则在式两边极限，得，即，为方程的根。由于方式和方程等价，所以，即，式称为迭代式，也称为迭代公式可称为迭代函数。称求得的序列为迭代序列。程序和实例下面是基于的迭代法程序，用迭代格式，求解方程，其中初始值为。是给定的迭代函数。是给定的初始值。是给定的误差界。是所允许的最大迭代次数。是所进行的迭代次数加。是不动点的近似值。是误差。,计算结果如下。二分法二分法原理二分法是方程求解最直观最简单的方法。二分法以连续函数的介值定理为基础的。由介值定理知道，若函数区间,上连续，且，即和负号相反，则在,内定有实根。二分法的基本思想是用对分区间的方法根据分点处函数的符号逐步将有限区间缩小，使在足够小的区间内，方程有且仅有根。下面简述其基本步骤。首先记,。用中点将区间,等分成个小区间,和,。然后分析可能存在的三种情况如果，则是零点，也就是方程的根。如果，则区间,内存在零点。如果，则区间,内存在零点。对有根的新区间施行同样的操作，于是得到系列有空的区间其中每个区间的长度都是前区间长度的半，最后个区间的长度为如果取最后个区间,的中点作为根的近似值，则有误差估计式对于所给精度，若取使得则有，程序与实例用二分法求解方程在有根区间,内的个根，其中在,只有个根的情形。,是所，又因为对于任何矩阵范数恒有，故又可得到收敛的个充分条件。迭代法若为的对角素构成的对角矩阵,且对角线元素全不为零,系数矩阵的个分解这里为的对角素构成的对角矩阵，为严格下三角阵，为严格上三角矩阵。于是迭代法公式的矩阵形式为定理若种向量范数导出的矩阵范数，则解的迭代法收敛。定理设为严格对角占优或不可约弱对角占优矩阵，则解的迭代法收敛迭代法对于非奇异方程组，若为的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零系数矩阵的个分解定理法收敛的充要条件是其迭代矩阵的谱半径定理若种向量范数导出的矩阵范数，则解的迭代法收敛。迭代法对于非奇异方程组,若为的对角素构成的对角矩阵,且对对角线元素全不为零,系数矩阵的个分解这里为的对角素构成的对角矩阵,为严格下三角阵,为严格上三角阵。迭代法的矩阵形式为定理对任意的，设其对角元皆为零，则对所有实数，有推论如果解的方法收敛，则有定理设，对称正定，且，则解的法收敛。定理设，为对称阵，且对角元，若的方法收敛，则正定，且迭代法迭代法的矩阵形式为三种迭代法的比较般情况下，法与法比较并无优劣，收敛情况与速度均不定。但是，具有相容次序的矩阵，在相同精度要求下，法比法快倍，而法的收敛速度可提高个数量级。若线性方程组系数是严格对角占优或不可约对角占优矩阵，则法和法都收敛当时，法收敛。二子空间方法子空间方法是解决大型线性方程组的类十分有效的方法,其主要代表是对称正定线性方程组的共轭梯度法和非对称线性方程组的方法。世纪年代初期由和首先提出共轭梯度法或简称法，近年来的有关研究取得了前所未有的发展，目前有关的方法和理论已经相互成熟，并且成为求解大型稀疏线性方程组十分有效的类方程。共轭梯度法方法通过对经典迭代法的总结，发现迭代法在松弛因子取最优松弛因子的情况下，迭代收敛很快。但是，计算还需要求得对应的迭代矩阵的谱半径，这常常比较困难的。考虑线性方程组的求解问题，其中是给定的阶对称正定阵，是给定的维向量，是待求的维向量。为此定义二次泛函则可以证明求方程组的解等价于二次泛函的极小点。由此，给定了初始向量，按方向去求式的极小值点，就得到下个迭代值，再由出发，求等等。这样来逼近精确解。若取求最小值的方向为处的负梯度方向，就是所谓的最速下降法。然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在处的梯度方向和这步的修正方向所构成的二维平面内，寻找使减少最快的方向作为下步的修正方向，即求最小值的方向其第步仍取负梯度方向。计算公式为再逐次计算从而，形成共轭向量组，形成正交向量组。后者说明若没有舍入误差的话，至少次迭代就可以得到线性方程组的精确解。然而，在实际计算中般都有舍入误差，所以并不是真正相交，而等也只是逐步逼近式的真解，故我们将共轭梯度法作为迭代法来使用。迭代法。线性方程组求解的迭代法要求对系数矩阵进行有效的分裂，例如迭代法和迭代法把系数矩阵分裂为对角阵，严格上三角阵和严格下三角阵对于线性方程组若系数矩阵为非矩阵，且为正定的。那么我们有简称分裂。由于,所以又有以下两种分裂为给定正常数，基于式的分裂，我们得到迭代法的迭代公式解线性方程组的迭代法是层出不穷的，但是没有种是通用的，对于具体的问题必须根据所得到的线性方程组和算法的特点来进行选择。参考文献许树方，高立数值线性代数，北京北京大学出版社，刘新国数值代数基础，青岛青岛大学出版社，李维国，黄炳家，刘新海等数值计算方法，北京石油大学出版社，戴华求解大规模矩阵问题的子空间方法，南京南京航天航空大学出版社，李庆杨，王能超，易大义数值分析，武汉华中科技大学出版社，关治，陆金甫数值分析基础高等教育出版摘要时滞神经网络的稳定性与同步研究摘要神经网络是高度复杂的大规模的非线性动力学系统,具有丰富的动力学行为众所周知,在神经网络的电路实现中,时滞是不可避免的时滞的存在常常会造成系统不稳定或性能变差由于时滞神经网络在模式识别联想记忆以及组合优化等领域中的重要应用,近年来,时滞神经网络的动力学问题引起了学术界的广泛关注另外,时滞神经网络的混沌同步问题也引起众多学者的注意,取得了不少理论成果本文基于泛函和矩阵理论等方法,对时滞递归神经网络的动力学行为进行了深入系统地研究,包括时滞神经网络平衡点的存在性稳定性以及混沌时滞神经网络的同步等等本文的工作具体如下研究了具有多个离散时滞和分布时滞的递归神经网络的鲁棒稳定性基于稳定性理论,提出了保证系统全局鲁棒渐近稳定的充分性判据研究的系统中考虑了由于建模误差工作条件或环境变化带来的系统参数的不确定性所得的结果用线性矩阵不等式表示,容易验证所得判据推广了前人文献的结果,具有更广泛的应用意义二建立了类变时滞区间神经网络系统,并研究了该系统的全局鲁棒稳定性在不需要假设激励函数的有界性和可微性,也不需要假设连接权矩阵对称性的条件下,建立了使得系统平衡点全局鲁棒指数稳定的充分性判据所得的判据容易应用到现有的几类区间神经网络模型中,改进了已有文献中的神经网络的鲁棒稳定结果,并给出了数值仿真,验证了所得结论研究了混沌时滞神经网络的同步控制问题,主要包括混沌时滞神经网络的鲁棒同步问题与耦合时滞神经网络的自适应同步问题利用驱动响应同步方法,研究了类混沌时滞神经网络的鲁棒同步问题利用稳定性理论和线性矩阵不等式方法,建立了混沌时滞神经网络全局渐近同步的充分性判据与控制器的设计方法讨论了由多个相同时滞神经网络模型组成的耦合神经网络的同步控制问题应用泛函方法和自适应同步的方法,给出了该耦合神经网络全局同步的充分性判据所研究的网络模型不要求耦合构造矩阵是对称的,并考虑了系统中的耦合时滞,具有较小的保守性,通过数值仿真,验证了所得判据的有效性目录正文目录绪论课题背景及研究的目的和意义国内外研究现状同步的研究现状时滞神经网络的研究现状神经网络的混沌动力学特性研究神经网络的基本理论神经网络的基本概念神经网络的应用混沌的特征及度量混沌的定义及特征判断产生混沌现象的依据神经网络系统的同步研究同步的基本内容混沌同步的定义同步的判别方法参数已知的传统同步算法研究驱动响应法仿真主动被动法仿真相互耦合法仿真反馈控制法仿真状态观测器同步方法仿真几种同步方案的比较参数已知的同步方法的改进基于主动控制和单向反馈的改进算法提出改进状态观测器法的提出参数未知的传统同步算法的研究基于单向耦合自适应同步法基于主动控制自适应同步法参数未知的混沌同步方法的改进混沌同步在保密通信上的应用研究混沌同步保密通信混沌遮掩混沌键控混沌调制参数已知的混沌同步通信系统设计基于驱动响应的混沌遮掩通信系统仿真基于主动被动的混沌调制通信系统仿真基于单向耦合的混沌调制通信系统仿真基于主动控制的混沌调制通信系统仿真基于观测器的混沌调制通信系统仿真基于主动控制和单向耦合的混沌调制通信系统仿真基于改进观测器的混沌调制通信系统仿真各种混沌调制保密通信系统方案的性能比较参数未知的混沌同步通信系统设计正文绪论课题背景及研究的目的和意义参考文献附录非线性方程的解法引言数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题，即，这里，可以是代数多项式，也可以是超越函数。若有数为方程的根，或称函数的零点。设函数在,内连续，且。根据连续函数的性质知道，方程在区间,内至少有个实根我们又知道，方程的根，除了极少简单方程的根可以用解析式表达外，般方程的根很难用个式子表达。