，“抽到的不是等品”的概率是故选人投篮次，其中投中次是事件抛掷枚硬币，其落地时正面朝上是事件三角形的内角和为是事件答案不可能随机必然解析共投篮次，不可能投中次硬币落地时正面和反面朝上都有可能三角形的内角和等于答案解析在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下排队人数人以上概率则至少有两人排队的概率为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克调研北京模拟下列命题将枚硬币抛两次，设事件“两次出现正面”，事件“只有次出现反面”，则事件与互为对立事件若事件与互为对立事件，则事件与为互斥事件若事件与为互斥事件，则事件与互为对立事件若事件与互为对立事件，则事件为必然事件其中，真命题是考点随机事件间的关系自主练透型答案解析对，将枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件与是互斥事件，但不是对立事件，故错对，对立事件首先是互斥事件，故正确对，互斥事件不定是对立事件，如中两个事件，故错对，事件，互为对立事件，则这次试验中，定有个要发生，故正确绍兴模从„，中任取两数，其中恰有个偶数和恰有个奇数至少有个奇数和两个数都是奇数至少有个奇数和两个数都是偶数至少有个奇数和至少有个偶数在上述事件中，是对立事件的是答案解析从„，中任取个数字包括奇偶二奇二偶，共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对立的县城有甲乙两种报纸供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为“至少订种报”，事件为“至多订种报”，事件为“不订甲报”，事件为“种报也不订”在与，与，与，与中，互斥事件有对立事件有答案解析由于事件“至多订种报”中有可能“只订甲报”，即事件与事件有可能同时发生，故与不是互斥事件事件“至少订种报”与事件“种报也不订”是不可能同时发生的，故与是互斥事件由于事件发生可导致事件定不发生，且事件发生会导致事件定不发生，故与还是对立事件事件“至少订种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件发生，事件也可能发生，故与不是互斥事件事件“至少订种报”中有如下可能“只订甲报”“只订乙报”“订甲乙两种报”，事件“至多订种报”中有如下可能“种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故与不是互斥事件大连模拟件瓷器中，有件正品，件次品，从中任意取出件，有以下事件件都是正品至少有件是次品件都是次品至少有件是正品其中随机事件是必然事件是不可能事件是填上相应的序号答案解析从件瓷器中任意取出件所包含的基本事件有“个正品个正品，个次品个正品，个次品”三种情况因此“件,共种选拔的位校长中恰有位女竞选者的情况有共种故选拔的位校长中恰有位女竞选者的概率为选拔的位校长中至少有位男竞选者包括位男竞选者位女竞选者，位男竞选者两种情况，选拔的位校长都是男竞选者的情况只有则其概率为，由知选拔的位校长中恰有位女竞选者的概率为故选拔的位校长中至少有位男竞选者的概率热点破解通关预练高考指数重点题型破解策略根据互斥事件有个发生求概率确定好哪些事件是互斥事件，利用互斥事件概率加法公式求得相应事件的概率利用对立事件求概率有些事件直接求不好求，可以利用对立事件求得，要确定好哪些事件是对立的好题研习医院天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下医生人数人及以上概率若派出医生不超过人的概率为，求的值若派出医生最多人的概率为，最少人的概率为，求，的值解由派出医生不超过人的概率为，得，由派出医生最多人的概率为，得，由派出医生最少人的概率为，得，名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优易错易误互斥与对立相混致误典例郑州毕业质检甲乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是甲获胜的概率是甲不输的概率是乙输了的概率是乙不输的概率是答案解析“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是设事件为“甲不输”，则是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以乙输了即甲胜了，所以乙输了的概率为乙不输的概率为易错分析没有分析透整个事件的分类应有三种甲胜和棋乙胜，彼此互斥，乙获胜的对立事件是“乙不胜”，但不等于“乙输”，错选为的较多防范措施对立事件和互斥事件都不可能同时发生，但对立事件必有个要发生，而互斥事件可能都不发生，所以两个事件对立，则两个事件必是互斥事件反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件跟踪训练只袋子中装有个红玻璃球，个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为至少取得个红球的概率为答案解析由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有个发生即可，因而取得两个同色球的概率为由于事件“至少取得个红球”与事件“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得个红球的概率为名师指导必明个易误点易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是个常数互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之必须有个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件必会种方法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件所含的结果组成的集合的补集第十章计数原理概率随机变量及其分布第四节随机事件的概率考情展望互斥事件和对立事件的概率是高考重点考查的内容，其中对立事件的概率是“正难则反”思想的具体应用，在高考中经常考查多以选择题填空题的形式考查，有时也渗透在解答题中，属容易题主干回顾基础通关固本源练基础理清教材基础梳理随机事件的概率事件的频率在相同的条件下重复次实验，观察事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率概率的统计定义般地，如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即事件间的关系与运算，分别代表事件，名称条件结论符号表示包含关系发生⇒发生事件事件事件事件⊇或⊆相等关系若事件与事件相等并和事件发生或发生事件与事件的并事件或和事件或包含包含于⊇且⊇名称条件结论符号表示交积事件发生且发生事件与事件的交事件或积事件或互斥事件∩为事件事件与事件互斥∩∅对立事件∩为事件，为必然事件事件与事件互为对立事件∩∅，∩不可能不可能条件概率及其性质对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则如果和是两个互斥事件，则概率的两个基本性质如果事件与事件互斥，则若事件与事件互为对立事件，则条件概率判断正误，正确的打，错误的打“”随机事件和随机试验是回事在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值两个事件的和事件是指两个事件都得发生互斥事件的概念可以推广到多个事件的互斥，即如果事件„，中的任何两个都是互斥的，那么就说事件„，彼此互斥，有概率计算公式„„基础训练答案甲，是互斥事件乙，是对立事件，那么甲是乙的充分但不必要条件甲是乙的必要但不充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析两个事件是对立条件，则它们定互斥，反之不定成立合肥模拟从箱产品中随机抽取件，设事件抽到等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，则事件“抽到的不是等品”的概率为解析“抽到的不是等品”的对立事件是“抽到等品”，事件抽到等品“抽到的不是等品”的概率是故选人投篮次，其中投中次是事件抛掷枚硬币，其落地时正面朝上是事件三角形的内角和为是事件答案不可能随机必然解析共投篮次，不可能投中次硬币落地时正面和反面朝上都有可能三角形的内角和等于答案解析在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下排队人数人以上概率则至少有两人排队的概率为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克调研北京模拟下列命题将枚硬币抛两次，设事件“两次出现正面”，事件“只有次出现反面”，则事件与互为对立事件若事件与互为对立事件，则事件与为互斥事件若事件与为互斥事件，则事件与互为对立事件若事件与互为对立事件，则事件为必然事件其中，真命题是考点随机事件间的关系自主练透型答案解析对，将枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件与是互斥事件“抽到的不是等品”的概率是故选人投篮次，其中投中次是事件抛掷枚硬币，其落地时正面朝上是事件三角形的内角和为是事件答案不可能随机必然解析共投篮次，不可能投中次硬币落地时正面和反面朝上都有可能三角形的内角和等于答案解析在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下排队人数人以上概率则至少有两人排队的概率为试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克调研北京模拟下列命题将枚硬币抛两次，设事件“两次出现正面”，事件“只有次出现反面”，则事件与互为对立事件若事件与互为对立事件，则事件与为互斥事件若事件与为互斥事件，则事件与互为对立事件若事件与互为对立事件，则事件为必然事件其中，真命题是考点随机事件间的关系自主练透型答案解析对，将枚硬币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件与是互斥事件，但不是对立事件，故错对，对立事件首先是互斥事件，故正确对，互斥事件不定是对立事件，如中两个事件，故错对，事件，互为对立事件，则这次试验中，定有个要发生，故正确绍兴模从„，中任取两数，其中恰有个偶数和恰有个奇数至少有个奇数和两个数都是奇数至少有个奇数和两个数都是偶数至少有个奇数和至少有个偶数在上述事件中，是对立事件的是答案解析从„，中任取个数字包括奇偶二奇二偶，共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对立的县城有甲乙两种报纸供居民订阅，记事件为“只订甲报”，事件为“至少订种报”，事件为“至多订种报”，事件为“不订甲报”，事件为“种报也不订”在与，与，与，与中，互斥事件有对立事件有答案解析由于事件“至多订种报”中有可能“只订甲报”，即事件与事件有可能同时发生，故与不是互斥事件事件“至少订种报”与事件“种报也不订”是不可能同时发生的，故与是互斥事件由于事件发生可导致事件定不发生，且事件发生会导致事件定不发生，故与还是对立事件事件“至少订种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件发生，事件也可能发生，故与不是互斥事件事件“至少订种报”中有如下可能“只订甲报”“只订乙报”“订甲乙两种报”，事件“至多订种报”中有如下可能“种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故与不是互斥事件大连模拟件瓷器中，有件正品，件次品，从中任意取出件，有以下事件件都是正品至少有件是次品件都是次品至少有件是正品其中随机事件是必然事件是不可能事件是填上相应的序号答案解析从件瓷器中任意取出件所包含的基本事件有“个正品个正品，个次品个正品，个次品”三种情况因此“件