物的利润，求的分布列若在这块地上连续季种植此作物，求这季中至少有季的利润不少于元的概率解析设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为元”，由题设知因为利润产量市场价格成本，所以所有可能的取值为，所以的分布列为设表示事件“第季利润不少于元”，由题意知相互，由知季的利润均不少于元的概率为季中有季的利润不少于元的概率为，所以这季中至少有季的利润不少于元的概率为湖北黄冈质检“蛟龙号”从海底中带回的种生物，甲乙两个生物小组分别开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率如果乙小组成功了次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率若甲乙两小组各进行次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望解析甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率为乙小组在第次成功前，共进行了次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能的情况种数为，因此所求的概率由题意ξ的取值为ξξξξξ故ξ的分布列为ξ故ξ自我感悟解题规律求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值求ξ取每个值的概率写出ξ的分布列由均值的定义求ξ由方差的定义求ξ提醒ξξ，但注意ξξ，ξξ与二项分布有关的期望方差的求法求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ则用公式ξ，ξ求解，可大大减少计算量有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用ξξ以及ξ求出ξ，同样还可求出ξ考情从近几年的高考试题来看，离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，题型为填空题或解答题，属中档题常与排列组合概率等知识综合命题，既考查基本概念，又注意考查基本运算能力和逻辑推理理解能力考点二期望均值与方差的创新应用高频考点型调研江苏盒中共有个球，其中有个红球个黄球和个绿球，这些球除颜色外完全相同从盒中次随机取出个球，求取出的个球颜色相同的概率从盒中次随机取出个球，其中红球黄球绿球的个数分别记为，随机变量表示中的最大数，求的概率分布和数学期望解析取到的个颜色相同的球可能是个红球个黄球或个绿球，所以随机变量所有可能的取值为表示的随机事件是“取到的个球是个红球”，故表示的随机事件是“取到的个球是个红球和个其他颜色的球，或个黄球和个其他颜色的由知，从而由知，件产品的质量指标值位于区间，的概率为，依题意知所以提醒在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是，而不定是名师归纳类题练熟关于正态总体在个区间内取值的概率的求法熟记的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上的概率相同江西重点中学联考已知次月考的数学成绩ξ，统计结果显示，ξ，则ξ好题研习解析由题意ξξ，所以ξξ答案市有人参加高考且数学成绩近似地服从正态分布则该市数学成绩在分以上的考生人数估计为人对正态分布有ξ所以分以上的考生人数为名师叮嘱素养培优学方法提能力启智培优近年来高考概率知识的考查有些新动向，即概率与统计知识的交叉融合，使问题考查更全面而新颖典例辽宁家面包房根据以往种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示创新探究期望方差与统计知识的交汇将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另天的日销售量低于个的概率用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差思路点拨由频率分布直方图，我们可以求出相应的频率，由事件概率公式容易计算出结果，但应注意，天里有连续天日销量不低于，且另天的销量低于的情形有种情况天里日销量不低于个的天数服从二项分布，期望，方差按公式容易求得规范解答解设表示事件“日销售量不低于个”，表示事件“日销售量低于个”，表示事件“在未来连续天里有连续天的日销售量不低于个且另天销售量低于个”因此可能取的值为且，的分布列为因为所以期望，方差创新点拨本题概念性强，知识相互融合，难度适中，对于事件的概率，应分析事件有几种情形，做到不重不漏第问中对事件本质的把握是关键，即服从二项分布是解题的突破点，而高考试题主要以考查二项分布，超几何分布为主，希望引起同学们的重视跟综训练河南模拟甲乙两位同学参加省高中数学联赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次成绩，记录如下甲乙用茎叶图表示这两组数据若将频率视为概率，对乙同学在今后的次数学联赛成绩进行预测，记这次成绩中高于分的次数为，求的分布列及数学期望解作出茎叶图如下解法记“乙同学在次数学联赛中成绩高于分”为事件，则由题设知，随机变量的可能取值为且，，所以随机变量的分布列为故解法二记“乙同学在次数学联赛中成绩高于分”为事件，则由题设知，随机变量的可能取值为且从而所以随机变量的分布列为故名师指导必明个易误点理解均值易失误，均值是个实数，由的分布列唯确定，即作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述值的取值平均状态注意，易错必会种方法求离散型随机变量均值方差的基本方法已知随机变量的分布列求它的均值方差和标准差，可直接按定义公式求解已知随机变量ξ的均值方差，求ξ的线性函数ηξ的均值方差和标准差，可直接用ξ的均值方差的性质求解如能分析所给随机变量是服从常用的分布如两点分布二项分布等，可直接利用它们的均值方差公式求解第十章计数原理概率随机变量及其分布第九节离散型随机变量的均值与方差正态分布考情展望以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值方差的求解利用离散型随机变量的均值方差解决些实际问题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义主干回顾基础通关固本源练基础理清教材基础梳理离散型随机变量的均值若离散型随机变量的分布列为„„„„则称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的若，其中，为常数，则也是随机变量，且若服从两点分布，则若则„„平均水平离散型随机变量的方差设离散型随机变量的分布列为„„„„则称为随机变量的方差，其为随机变量的标准差，记作若服从两点分布，则若则算术平方根均值的理解均值是算术平均数的概念的推广，是概率意义下的平均值是个实数，由的分布列唯确定即作为随机变量是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态„„直接给出了的求法，即随机变量的取值与相应的概率值分别相乘后相加正态分布正态曲线的定义函数其中实数和为参数，称，的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线正态分布的定义及表示如果对于任何实数，随机变量满足则称随机变量服从正态分布，记作，正态曲线的特点曲线位于轴的，与轴不相交曲线是单峰的，它关于直线对称曲线在处达到峰值曲线与轴之间的面积为当定时，曲线随着的变化而沿着轴平移上方当定时，曲线的形状由确定越小，曲线越，表示总体的分布越越大，曲线越，表示总体的分布越正态分布的三个常用数据瘦高集中矮胖分散基础训练答案判断正误，正确的打，错误的打“”期望值就是算术平均数，与概率无关随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是回事随机变量的方差是常数，样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本方差是随机变量在正态分布函数，中是正态分布的期望值，是正态分布的标准差广东已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望解析由已知条件可知，故选已知随机变量ξ满足ξ，ξ，则ξ和ξ的值分别是和和和和解析由期望和方差的定义知，ξ，ξ已知分布列为且设，则的均值是答案解析由分布列性质有，即，如果随机变量ξ且ξ，则ξ等于答案解析因为ξξ，所以ξξξ试题调研考点突破精研析巧运用全面攻克考点离散型随机变量的期望与方差自主练透型调研浙江已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球从乙盒中随机抽取,个球放入甲盒中放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为,则，ξξ，ξξ，ξξ答案解析解法特值法取进行计算比较即可解法二标准解法从乙盒中取个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为则ξξ，ξξ，所以ξξξ，所以ξ从乙盒中取个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为，则ηξ，ηξ，ηξ，所以ξξξξ，所以ξ，所以，ξξ故选陕西在块耕地上种植种作物，每季种植成本为元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表作物产量概率作物市场价格元概率设表示在这块地上种植季此作物的利润，求的分布列若在这块地上连续季种植此作物，求这季中至少有季的利润不少于元的概率解析设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为元”，由题设知因为利润产量市场价格成本，所以所有可能的取值为，所以的分布列为设表示事件“第季利润不少于元”，由题意知相互，由知季的利润均不少于元的概率为季中有季的利润不少于元的概率为，所以这季中至少有季的利润不少于元的概率为湖北黄冈质检“蛟龙号”从海底中带回的种生物，甲乙两个生物小组分别开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率如果乙小组成功了次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率若甲乙两小组各进行次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望解析甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率为乙小组在第次成功前，共进行了次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能的情况种数为，因此所求的概率由题意ξ的取值为ξξ