，如果是单位向量，则非零向量⊥⇔或交换律分配律数乘向量结合律向量数量积的坐标运算与度量公式两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若则设则⊥⇔设向量则若则，所以，三典例精析题型向量的模及夹角问题例已知求与的夹角求若求的面积解又又与的夹角，又借题发挥已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值为已知，为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为解，展开得的最大值是，且不同向即，得且且例已知且的长度是的长度的倍求证与垂直用表示求的最小值以及此时与的夹角题型二两向量的平行与垂直问题解由题意得，借题发挥在三角形中，角所对的边分别为，且求角的大小若向量向量⊥求的值解，或⊥，又即由可得，又，即，向量数量积的定义向量与的夹角已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积或内积，记作，并规定零向量与任向量的数量积为向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，则课时小结⊥课时小结些常见的错误结论若，则若，则若，，则若，则或若，则课时小结证明直线平行垂直线段相等等问题的基本方法有要证两线段⊥，只需证要证两线段，只要证存在唯实数，使等式成立即可要证，可转化证明或题型向量的模及夹角问题题型三向量与三角函数的综合应用题型二两向量的平行与垂直问题考题题型已知向量，求证⊥若存在不等于的实数和，使满足⊥，试求此时的最小值四巩固与拓展证明⊥解由⊥得，即，又，故当时，有最小值，设两向量满足的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围解向量与向量的夹角为钝角假设⇒当时，的取值范围是，，⇒⇒与的夹角为，不符合题意平面向量的数量积江苏设向量则的值为高考原题赏析解析因为所以江苏如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是解析根据题意，所以点评本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决设法找到，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目从而得到，又因为高考原题赏析所以学习目标理解平面向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，会用向量方法解决些简单的平面几何问题二基础回顾在中，则解因为，所以，所以已知向量，满足，则解二基础回顾已知⊥，则解由得，设向量为锐角若，则的值是解，即故又为锐角，所以，二基础回顾若等边的边长为，平面内点满足，则解合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设这样利用向量关系式，求得然后求得所以知识梳理向量的夹角已知两个非零向量和，作则叫做向量与的向量夹角的范围是，与同向时，夹角与反向时，夹角如果向量与的夹角是，我们说与垂直，记作夹角，⊥向量数量积的性质向量数量积的运算律向量数量积的定义向量数量积的定义，如果是单位向量，则非零向量⊥⇔或交换律分配律数乘向量结合律向量数量积的坐标运算与度量公式两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若则设则⊥⇔设向量则若则，如果是单位向量，则非零向量⊥⇔或交换律分配律数乘向量结合律向量数量积的坐标运算与度量公式两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若则设则⊥⇔设向量则若则，所以，三典例精析题型向量的模及夹角问题例已知求与的夹角求若求的面积解又又与的夹角，又借题发挥已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值为已知，为互相垂直的单位向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为解，展开得的最大值是，且不同向即，得且且例已知且的长度是的长度的倍求证与垂直用表示求的最小值以及此时与的夹角题型二两向量的平行与垂直问题解由题意得