至少有个不大于答案解析假设都小于，则，而矛盾应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用结论的否定，即假设原命题的条件公理定理定义等原结论答案如图所示，在中，为边上的高，是边上的中线，求证点不在线段上解析假设点在线段上，则矛盾，故假设错误所以点不在线段上典例探究学案求证若两条平行直线中的条与平面相交，则另条也与平面相交分析直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止种，需驳倒，才能推出命题结论正确用反证法证明直接证明不易入手的问题解析不妨设直线与平面相交，与平行，从而要证也与平面相交假设不与平面相交，则必有下面两种情况在平面内由，⊄平面，得平面，与题设矛盾平面则平面内有直线，使而，故，因为⊄平面，所以平面，这也与题设矛盾综上所述，与平面只能相交方法规律总结用反证法证明数学命题的步骤第步审题，分清命题的条件和结论第二步反设，做出与命题结论相矛盾的假设第三步归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果第四步下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真已知，求证解析假设，那么，所以，将代入消去，得，即这与矛盾，故假设错误所以点评本题已知条件为的三次幂，而结论中只有的次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法求证，中至少有个小于已知，且这与矛盾，故假设错误所以点评本题已知条件为的三次幂，而结论中只有的次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法求证，中至少有个小于已知，且分析明确“至少”的含义对结论作出假设得出矛盾用反证法证明“至多”“至少”类命题解析假设，都不小于，即即，这与已知矛盾，中至少有个小于方法规律总结当命题中出现“至少„„”“至多„„”“不都„„”“都不„„”“没有„„”“唯”等指示性词语时，宜用反证法用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大常用反设词如下结论词反设词结论词反设词至少有个个也没有对所有成立存在个不成立至多有个至少有两个对任意不成立存在个成立至少有个至多有个或且至多有个至少有个且或设都是小于的正数，求证三个数不可能同时大于解析假设三个数都大于，即，三个数相乘，得又因为，所以这与假设矛盾，因此假设不成立所以不可能同时大于求证方程有且只有个根分析本题中“有且只有”含有两层含义层为“有”即存在另层为“只有”即唯性，证明唯性常用反证法解析显然是方程的根，假设方程有两个根则,两式相除，得用反证法证明存在性唯性命题，如果，则，这与相矛盾如果，则，这与相矛盾所以假设不成立从而的根是唯的故有且只有个根方法规律总结证明“有且只有个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯性当证明结论以“有且只有”“只有个”“唯存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况驳倒，才能推断结论成立已知直线与直线和分别交于且，求证过有且只有个平面解析，过有个平面又∩，∩，，，，，又，，⊂即过有个平面假设过还有个平面异于平面则⊂，⊂，⊂，⊂这与，过有且只有个平面相矛盾因此，过有且只有个平面已知函数用反证法证明方程没有负数根分析本题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法证题的关键是应注意分类讨论后，再找矛盾用反证法证明否肯定式命题解析假设为方程的负根，则有，即，显然当时而的解当，矛盾，即不存在的解综上所述方程没有负数根方法规律总结应用反证法的注意事项用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少不易入手时常用的方法注意否定命题时，要准确无误用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法有时在证明命题“若，则”的过程中，虽然否定了结论，但是在证明过程中没有把“”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法用反证法证题，最后要产生个矛盾命题，常见的主要矛盾有与数学公理定理公式定义或已被证明了的结论相矛盾与假设矛盾与已知条件矛盾与公认的简单事实矛盾矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的已知三个正数成等比数列，但不成等差数列，求证不成等差数列解析假设成等差数列，则，即而，即，则有即所以，从而，与不成等差数列矛盾，故不成等差数列准确写出反设已知，求证错解假设，则，与题设条件矛盾假设不成立，原命题成立辨析错解没有弄清原题待证的结论是什么导致反设错误“求证”的含义是“求证三数都是正数”，故反设应为“假设中至少有个不大于”正解假设中至少有个不大于，不妨设，若，得得矛盾又若，则与矛盾故不成立，同理可证成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修推理与证明第二章直接证明与间接证明第二章反证法典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案了解反证法是间接证明的种基本方法了解反证法的思考过程特点感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用重点反证法概念的理解以及反证法的解题步骤难点应用反证法解决问题思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢反证法新知导学反证法的定义般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的种基本方法矛盾错误成立反证法证题的原理反证法的原理是“否定之否定等于肯定”用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与矛盾，或与矛盾，或与事实矛盾等已知条件假设定义公理定理反证法的适用对象作为种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题直接证明需分多种情况的结论本身是以否定形式出现的类命题否定性命题关于唯性存在性的命题以“至多”“至少”等形式出现的命题条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，的反面是比原结论更具体更容易研究的命题结论结论牛刀小试用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有个实根”时，要做的假设是方程没有实根方程至多有个实根方程至多有两个实根方程恰好有两个实根答案解析至少有个实根的否定为没有实根设都是正数，则三个数都大于至少有个大于至少有个不小于至少有个不大于答案解析假设都小于，则，而矛盾应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用结论的否定，即假设原命题的条件公理定理定义等原结论答案如图所示，在中，为边上的高，是边上的中线，求证点不在线段上解析假设点在线段上，则矛盾，故假设错误所以点不在线段上典例探究学案求证若两条平行直线中的条与平面相交，则另条也与平面相交分析直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止种，需驳倒，才能推出命题结论正确用反证法证明直接证明不易入手的问题解析不妨设直线与平面相交，与平行，从而要证也与平面相交假设不与平面相交，则必有下面两种情况在平面内由，⊄平面，得平面，与题设矛盾平面则平面内有直线，使而，故，因为⊄平面，所以平面，这也与题设矛盾综上所述，与平面只能相交方法规律总结用反证法证明数学命题的步骤第步审题，分清命题的条件和结论第二步反设，做出与命题结论相矛盾的假设第三步归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果第四步下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真已知，求证解析假设，那么，所以至少有个不大于答案解析假设都小于，则，而矛盾应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用结论的否定，即假设原命题的条件公理定理定义等原结论答案如图所示，在中，为边上的高，是边上的中线，求证点不在线段上解析假设点在线段上，则矛盾，故假设错误所以点不在线段上典例探究学案求证若两条平行直线中的条与平面相交，则另条也与平面相交分析直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止种，需驳倒，才能推出命题结论正确用反证法证明直接证明不易入手的问题解析不妨设直线与平面相交，与平行，从而要证也与平面相交假设不与平面相交，则必有下面两种情况在平面内由，⊄平面，得平面，与题设矛盾平面则平面内有直线，使而，故，因为⊄平面，所以平面，这也与题设矛盾综上所述，与平面只能相交方法规律总结用反证法证明数学命题的步骤第步审题，分清命题的条件和结论第二步反设，做出与命题结论相矛盾的假设第三步归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果第四步下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真已知，求证解析假设，那么，所以，将代入消去，得，即这与矛盾，故假设错误所以点评本题已知条件为的三次幂，而结论中只有的次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法求证，中至少有个小于已知，且