相等名师点拨过圆外点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,称为这点到圆的切线长切线长定理的拓展从圆外点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这点的连线平分两条切线的夹角知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航做做从☉外点引☉的切线和,切点分别是若,则解析和是☉的切线,答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航与圆的切线有关的知识剖析切线和圆只有个公共点切线和圆心的距离等于圆的半径切线垂直于过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必过切点经过切点且垂直于切线的直线必过圆心知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航判定切线的方法剖析判定切线通常有三种方法定义法和圆有唯个公共点的直线是圆的切线距离法到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线定理法过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线“过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的具体化在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法若已知要证的切线经过圆上点,则需把这点与圆心相连,证明这条直线与此半径垂直,即用定理法若不能确定要证明的切线与圆有公共点,则需先向这条直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明通常不用定义法证明知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三题型圆的切线的性质的应用例如图所示,在中以为直径的☉交于点,过点作☉的切线交于点求证⊥分析由于是☉的切线,则⊥,故要证明⊥,只需要证明即可知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三证明连接如图所示为☉直径,⊥,即为等腰三角形,为边上的中线,即又,为的中位线切☉于点,⊥⊥反思利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常作的辅助线知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三变式训练如图所示,是☉的直径,点在的延长线上,切☉于点,⊥,垂足为点,连接求证平分知识梳理知识梳理知识梳理知识梳理重难聚焦重难聚焦重难聚焦重难聚焦随堂演练随堂演练随堂演练随堂演练典例透析典例透析典例透析典例透析目标导航目标导航目标导航目标导航题型题型二题型三证明如图所示,连接切☉于点,⊥又⊥,又,平分如图所示,连接是☉的直径,⊥,又,知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三题型二判断或证明圆的切线例如图所示,是☉的直径,平分交☉于点,过点作直线与垂直,交的延长线于点,且交的延长线于点求证是☉的切线分析只需证明⊥即可知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三证明如图所示,连接,又平分,⊥,⊥与☉相切于点即是☉的切线反思用定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法这种方法的步骤是连接圆心和公共点转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段由此看来,证明圆的切线可转化为证明直线垂直知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三变式训练如图所示,是典例透析典例透析典例透析典例透析目标导航目标导航目标导航目标导航题型题型二题型三解设的内切圆与三边相切于点连接,则⊥,⊥,⊥☉与的三边都相切,设,则有解得即的内切圆半径为知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航已知是☉的切线,在下列给出的条件中,能判定⊥的是与☉相切于直线上的点经过圆心是直线与☉相切于点,过圆心知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航解析由图可知,根据选项中的条件都不能判定⊥因为圆的切线垂直于经过切点的半径,所以选项正确如图所示答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航如图所示,为☉的直径,是的延长线上的点,且,,则与☉的位置关系是相离相切相交不确定知识梳理知识梳理知识梳理知识梳理重难聚焦重难聚焦重难聚焦重难聚焦随堂演练随堂演练随堂演练随堂演练典例透析典例透析典例透析典例透析目标导航目标导航目标导航目标导航解析如图所示,连接,又,是等边三角形,又即⊥,则与☉相切答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航如图所示分别为☉的切线,切点分别为,在劣弧𝐴𝐵上任取点,过点作☉的切线,分别交,于点则的周长是知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航解析,为☉的切线,同理的周长答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航如图所示,是☉的直径,点在的延长线上,切☉于点,连接,若,则知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航解析如图所示,连接与☉相切,⊥,为的外角,,答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航如图所示,是☉的直径,点在的延长线上,弦⊥,垂足为,连接且求证是☉的切线分析转化为证明⊥即可知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航证明连接⊥,,,即,⊥故是☉的切线圆的切线的判定和性质知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航复习回顾直线与圆的位置关系及其判断方法理解并掌握切线的判定定理性质定理及推论理解切线长定理知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航直线与圆的位置关系位置关系相离相切相交图示定义当直线与☉没有公共点时,称为直线和☉相离当直线与☉有唯公共点时,称为直线和☉相切,直线称为☉的切线,唯的公共点称为切点当直线与☉有两个公共点时,称为直线和☉相交,直线称为☉的割线判断方法☉的半径为,圆心到直线的距离为知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航做做直线经过☉内点,则直线与☉的位置关系是相离相切相交以上都有可能解析如图所示,直线与☉始终有两个公共点,则直线与☉相交答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航切线的判定定理文字语言经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线符号语言是☉的半径,直线⊥,且,则是☉的切线图形语言作用证明直线与圆相切知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航名师点拨在切线的判定定理中,“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺不可,否则就不是圆的切线,如图图所示知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航做做如图所示,是☉上的点,是☉外点,且,则直线与☉的位置关系是相离相切相交不确定解析在中⊥,与☉相切答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航切线的性质定理文字语言圆的切线垂直于经过切点的半径符号语言直线与☉相切于点,则⊥图形语言作用证明两直线垂直知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航做做如图所示,直线与☉相切于点,是上任点与不重合,则是等边三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形解析与☉相切,且切点为,⊥⊥是直角三角形答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航推论文字语言经过圆心且垂直于切线的直线经过切点符号语言直线与☉相切于点,过圆心作直线⊥,则图形语言作用证明点在直线上知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航做做直线与☉相切,是上任点,当⊥时,则点不在☉上点在☉上点不可能是切点大于☉的半径解析由于⊥,则是与☉的切点,则点在☉上答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航推论文字语言经过切点且垂直于切线的直线经过圆心符号语言直线与☉相切于点,过点作直线⊥,则图形语言作用证明点在直线上归纳总结由性质定理及其两个推论的条件和结论间的关系可知,如果条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个垂直于切线过切点过圆心于是在利用切线性质时,过切点的半径是常作的辅助线知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航做做直线与☉相切于点,在经过点的所有直线中,经过点的直线有条条条无数条解析过点且垂直于的直线仅有条,此时圆心在该垂线上,故选答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航切线长定理文字语言过圆外点作圆的两条切线,这两条切线长相等符号语言过☉外点作☉的两条切线,切点分别为和,则有图形语言作用判定两条线段相等名师点拨过圆外点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,称为这点到圆的切线长切线长定理的拓展从圆外点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这点的连线平分两条切线的夹角知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航做做从☉外点引☉的切线和,切点分别是若,则解析和是☉的切线,答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航与圆的切线有关的知识剖析切线和圆只有个公共点切线和圆心的距离等于圆的半径切线垂直于过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必过切点经过切点且垂直于切线的直线必过圆心知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航判定切线的方法剖析判定切线通常有三种方法定义法和圆有唯个公共点的直线是圆的切线距离法到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线定理法过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线“过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的具体化在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法若已知要证的切线经过圆上点,则需把这点与圆心相连,证明这条直线与此半径垂直,即用定理法若不能确定要证明的切线与圆有公共点,则需先向这条直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明通常不用定义法证明知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三题型圆的切线的性质的应用例如图所示,在中以为直径的☉交于点,过点作☉的切线交于点求证⊥分析由于是☉的切线,则⊥,故要证明⊥,只需要证明即可知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三证明连接如图所示为☉直径,⊥,即为等腰三角形,为边上的中线,即又,为的中位线切☉于点,⊥⊥反思利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常作的辅助线知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三变式训练如图所示,是☉的直径,点在的延长线上,切☉于点,⊥,垂足为点,连接求证平分知识梳理知识梳理知识梳理知识梳理重难聚焦重难聚焦重难聚焦重难聚焦随堂演练随堂演练随堂演练随堂演练典例透析典例透析相等名师点拨过圆外点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,称为这点到圆的切线长切线长定理的拓展从圆外点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这点的连线平分两条切线的夹角知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航做做从☉外点引☉的切线和,切点分别是若,则解析和是☉的切线,答案知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航与圆的切线有关的知识剖析切线和圆只有个公共点切线和圆心的距离等于圆的半径切线垂直于过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必过切点经过切点且垂直于切线的直线必过圆心知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航判定切线的方法剖析判定切线通常有三种方法定义法和圆有唯个公共点的直线是圆的切线距离法到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线定理法过半径外端且和该半径垂直的直线是圆的切线“过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线”是“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的具体化在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法若已知要证的切线经过圆上点,则需把这点与圆心相连,证明这条直线与此半径垂直,即用定理法若不能确定要证明的切线与圆有公共点,则需先向这条直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明通常不用定义法证明知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三题型圆的切线的性质的应用例如图所示,在中以为直径的☉交于点,过点作☉的切线交于点求证⊥分析由于是☉的切线,则⊥,故要证明⊥,只需要证明即可知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三证明连接如图所示为☉直径,⊥,即为等腰三角形,为边上的中线,即又,为的中位线切☉于点,⊥⊥反思利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时,连接圆心和切点的半径是常作的辅助线知识梳理重难聚焦随堂演练典例透析目标导航题型题型二题型三变式训练如图所示,是☉的直径,点在的延长线上,切☉于点,⊥,垂足为点,连接求证平分知识梳理知识梳理知识梳理知识梳理