轴轴对称中心原点顶点轴长长轴长，短轴长实轴长虚轴长离心率对称中心双曲线上两个重要的三角形实轴端点虚轴端点及构成个直角三角形，边长满足，称为双曲线的特征三角形焦点过作渐近线的垂线，垂足为，则，亦是直角三角形，满足，也称为双曲线的特征三角形实轴长与虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率为，其两条渐近线互相相等垂直牛刀小试双曲线的顶点坐标是,或,或答案解析双曲线的顶点在轴上，又，选双曲线的渐近线方程为答案解析双曲线的渐近线方程为，故选已知中心在原点的双曲线的右焦点为离心率等于，则的方程是答案解析即双曲线的标准方程为石家庄期末测试已知双曲线的右焦点为则该双曲线的离心率等于答案解析由条件知浙江理双曲线的焦距是，渐近线方程是答案解析，焦距为，渐近线方程为典例探究学案求双曲线的顶点坐标焦点坐标实轴长虚轴长离心率和渐近线方程，并作出草图分析将双曲线方程化成标准方程，求出的值，然后依据各几何量的定义作答已知双曲线的方程，研究其几何性质解析将变形为，即因此顶点为焦点坐标为实轴长是，虚轴长是，离心率，渐近线方程作草图如图方法规律总结由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是先将双曲线方程化为标准形式或，再根据它确定的值注意它们的分母分别为，而不是，进而求出，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线即以为两邻边的矩形对角线和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图以双曲线的个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是答案解析双曲线的焦点为故选求适合下列条件的双曲线的标准方程利用几何性质求双曲线的标准方程实轴长为，离心率为已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点，解析设双曲线的标准方程为或，由题意知且标准方程为或由得所以可设双曲线方程为双曲线过点，即双曲线方程为双曲线的标准方程为，所以在以为焦点的双曲线的右支上易得，建立如图所示的平面直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为故运土时，在双曲线左侧的土沿运到处，右侧的土沿运到处最省工方法规律总结解决实际问题的主要方法是抽象出数学模型，用数学知识解决，最后再回归到实际问题中要注意实际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义如图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向距离处，河流沿岸曲线上任意点到的距离比到的距离远现要在曲线上选处建座码头，向两地转运货物经测算，从到两地修建公路的费用都是万元求河流沿岸所在的曲线方程修建这两条公路的总费用的最小值解析如图，以所在直线为轴，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，根据题意，曲线上任意点到的距离比到的距离远由此知河流沿岸所在的曲线为双曲线靠近点的分支所以，所以河流沿岸所在的曲线的方程为因为从到两地修建公路的费用都是万元，所以，要使修建这两条公路的总费用最小，只需最小，由双曲线定义，有，也即最小由图易知，当三点共线时，最小即因为地在地的北偏东方向距离处，所以，又因为所以所以故修建这两条公路的总费用的最小值为万元已知曲线和直线若与有两个不同的交点，求实数的取值范围若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值直线与双曲线的位置关系解题思路探究第步，审题审结论明确解题方向，求的值或的取值范围，应利用条件建立的方程或不等式求解审条件发掘解题信息，直线与曲线交于不同两点，可利用判别式法求解，的面积为，可利用割补法和根与系数的关系求解第二步，建立联系，探寻解题途径第问，可将与的方程联立，消元利用求的取值范围第问可由向轴作垂线，将三角形面积转化为梯形与三角形面积的差或和用直线与轴的交点，分割为两个三角形面积的和，利用根与系数的关系求解第三步，规范解答解析由消去整理，得由题意知，，解得且所以实数的取值范围为，,，设由得，又直线恒过点则所以，即解得或，由知上述的值符合题意，所以或注意双曲线的焦点位置已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率错解由题意得，辨析错解的原因是审题不认真，误认为双曲线的渐近线方程为而导致错误正解由题意得，成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修圆锥曲线与方程第二章椭圆的简单几何性质第二章双曲线的简单几何性质典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质能运用双曲线的性质解决些简单的问题重点双曲线的几何性质难点双曲线性质的应用，渐近线的理解双曲线的几何性质思维导航类比椭圆几何性质及其研究方法，结合图象，你能得到双曲线的哪些几何性质新知导学在双曲线方程中，以代替方程不变，因此双曲线是以轴轴为对称轴的图形也是以原点为对称中心的图形，这个对称中心叫做轴对称中心对称双曲线的中心双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的，双曲线的顶点是，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的，它的长等于同时在另条对称轴上作点线段叫做双曲线的，它的长等于，分别是双曲线的和设，是双曲线上点，则或，顶点,实轴虚轴实半轴长虚半轴长思维导航椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢新知导学双曲线的半焦距与实半轴长的比值叫做双曲线的，其取值范围是越大，双曲线的张口越离心率，大思维导航在双曲线的右支上位于第象限的部分上任取点计算到直线的距离，利用在双曲线上及消去可得关于的函数，研究函数的单调性，你发现了什么新知导学双曲线位于第象限部分上点，到直线的距离用表示，随的增大而这表明，随着的增大，点到直线的距离越来越，称直线为双曲线的条，由对称性知，直线也是双曲线的条减小小渐近线渐近线过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成个矩形，其两条所在直线即为双曲线的渐近线“渐近”两字的含义当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线接近，接近的程度是无限的对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，渐近线是刻画双曲线的个重要概念，画双曲线时应先画出它的渐近线对角线逐渐椭圆双曲线方程图形范围，对比是数学研究的重要方法，双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下，椭圆双曲线对称性对称轴轴轴对称中心原点对称轴轴轴对称中心原点顶点轴长长轴长，短轴长实轴长虚轴长离心率对称中心双曲线上两个重要的三角形实轴端点虚轴端点及构成个直角三角形，边长满足，称为双曲线的特征三角形焦点过作渐近线的垂线，垂足为，则，亦是直角三角形，满足，也称为双曲线的特征三角形实轴长与虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率为，其两条渐近线互相相等垂直牛刀小试双曲线的顶点坐标是,或,或答案解析双曲线的顶点在轴上，又，选双曲线的渐近线方程为答案解析双曲线的渐近线方程为，故选已知中心在原点的双曲线的右焦点为离心率等于，则的方程是轴轴对称中心原点顶点轴长长轴长，短轴长实轴长虚轴长离心率对称中心双曲线上两个重要的三角形实轴端点虚轴端点及构成个直角三角形，边长满足，称为双曲线的特征三角形焦点过作渐近线的垂线，垂足为，则，亦是直角三角形，满足，也称为双曲线的特征三角形实轴长与虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率为，其两条渐近线互相相等垂直牛刀小试双曲线的顶点坐标是,或,或答案解析双曲线的顶点在轴上，又，选双曲线的渐近线方程为答案解析双曲线的渐近线方程为，故选已知中心在原点的双曲线的右焦点为离心率等于，则的方程是答案解析即双曲线的标准方程为石家庄期末测试已知双曲线的右焦点为则该双曲线的离心率等于答案解析由条件知浙江理双曲线的焦距是，渐近线方程是答案解析，焦距为，渐近线方程为典例探究学案求双曲线的顶点坐标焦点坐标实轴长虚轴长离心率和渐近线方程，并作出草图分析将双曲线方程化成标准方程，求出的值，然后依据各几何量的定义作答已知双曲线的方程，研究其几何性质解析将变形为，即因此顶点为焦点坐标为实轴长是，虚轴长是，离心率，渐近线方程作草图如图方法规律总结由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是先将双曲线方程化为标准形式或，再根据它确定的值注意它们的分母分别为，而不是，进而求出，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线即以为两邻边的矩形对角线和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图以双曲线的个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是答案解析双曲线的焦点为故选求适合下列条件的双曲线的标准方程利用几何性质求双曲线的标准方程实轴长为，离心率为已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点，解析设双曲线的标准方程为或，由题意知且标准方程为或由得所以可设双曲线方程为双曲线过点，即双曲线方程为双曲线的标准方程为