的极值分析首先对函数求导，然后求方程的根，再检查在方程根左右的值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值如果左负右正，那么在这个根处取得极小值利用导数求函数的极值解析，令，解得，当变化时，和的变化情况如下表，单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值而当时，有极小值，并且极小值方法规律总结当函数在点处连续时，判断是否为极大小值的方法是如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值如果在点的左右两侧符号不变，则不是函数的极值利用导数求函数极值的步骤确定函数的定义域求导数解方程得方程的根利用方程的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号确定函数的极值，如果的符号在处由正负变负正，则在处取得极大小值只是可导函数在取得极值的必要条件，不是充分条件例如函数，但不是的极值点设函数的导函数为，且求函数的图象在处的切线方程求函数的极值解析，函数在处的切线方程为令，得或当变化时，与的变化情况如下表，即函数在，上递增，在,上递减，在，上递增，当时，有极大值，当时，有极小值已知函数在点处的极小值为，试确定的值，并求的单调区间分析在处的极小值为包含以下的含义是，二是已知函数极值求参数解析由已知又，由解得这时由此得，令，得，令，在处取得极小值，故且它的单调递增区间是，和，单调递减区间是，方法规律总结已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点根据极值点的导数为和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性设函数，若为的极值点，求实数解析求导得，因为是的极值点，所以，解得或经检验，符合题意，所以或右图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论在区间,内是增函数合题意，所以或右图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论在区间,内是增函数在区间,内是减函数时，取到极大值在时，取到极小值其中正确的是将你认为正确的序号填在横线上图象信息问题分析给出了的图象，应观察图象找出使与，单调增，只有正确函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数无极大值点有四个极小值点有个极大值点两个极小值点有两个极大值点两个极小值点有四个极大值点无极小值点答案解析设与轴的个交点，从左至右依次为，当，为增函数，当时，为减函数，则为极大值点，同理，为极大值点为极小值点解题思路探究第步，审题审结论明确解题方向，求函数的单调区间与极值，需求，然后按单调性和极值与导数的关系求解分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用若，试求函数的单调区间与极值审条件，发掘解题信息，是三次函数，是二次函数，由二次方程的根探求极值点和单调区间解析式中含参数，应分类讨论第二步，建联系，找解题途径先求，解方程找分界点，再按的符号讨论单调性求极值第三步，规范解答解析，令，可得或若，当变化时的变化情况如下表，单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以在区间，内为减函数，在区间，内为增函数函数在处取得极小值，在处取得极大值若，当变化时的变化情况如下表，单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以在区间，内为增函数，在区间，内为减函数函数在处取得极大值，在处取得极小值注意极大值点与极小值点的区别已知在时有极值，求常数的值错解因为在时有极值，且所以，即，解得，或辨析根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证时函数两侧的单调性，导致错误正解在上述解法之后继续当，时所以在上为增函数，无极值，故舍去当，时，当，时，为减函数当，时，为增函数，所以在时取得极小值因此，成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版选修导数及其应用第三章导数在研究函数中的应用第三章函数的极值与导数典例探究学案课时作业自主预习学案自主预习学案结合函数的图象，了解函数在点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值极小值体会导数方法在研究函数性质中的般性和有效性重点利用导数的知识求函数的极值难点函数的极值与导数的关系新知导学函数的极值与导数的关系如图是函数的图象，在邻近的左侧单调递右侧单调递在邻近的函数值都比小，且在邻近情形恰好相反，图形上与类似的点还有，与类似的点还有我们把点叫做函数的极值点，是函数的个极值把点叫做函数的极值点，是函数的个极值增减大大小小般地，已知函数及其定义域内点，对于包含在内的开区间内的所有点，如果都有，则称函数在点处取得，并把称为函数的个如果都有，则称函数在点处取得，并把称为函数的个极大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为极小值极小值点极值极值点理解极值概念时需注意的几点函数的极值是个局部性的概念，是仅对点的左右两侧的点而言的极值点是函数的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点若在定义域，内有极值，那么在，内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数极值附近定义域内没有极大值与极小值没有必然的大小关系个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在点的极小值可能大于另点的极值如图大牛刀小试函数的极大值是不存在答案解析在上恒成立，函数在上是单调增函数，函数无极值下列说法正确的是函数在闭区间上的极大值定比极小值大函数在闭区间上的极大值定比极小值小函数只有个极小值函数在区间，上定存在极值答案解析函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间，上没有极值，故错误，正确，函数只有个极小值为函数的极大值为答案解析，令，得或，令，得函数在，上递增，在，上递减，当时，函数取得极大值函数的极大值为，极小值为答案解析，即，令，得或，经判断知极大值为，极小值为典例探究学案求函数的极值分析首先对函数求导，然后求方程的根，再检查在方程根左右的值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值如果左负右正，那么在这个根处取得极小值利用导数求函数的极值解析，令，解得，当变化时，和的变化情况如下表，单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值而当时，有极小值，并且极小值方法规律总结当函数在点处连续时，判断是否为极大小值的方法是如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值如果在点的左右两侧符号不变，则不是函数的极值利用导数求函数极值的步骤确定函数的定义域求导数解方程得方程的根利用方程的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号确定函数的极值，如果的符号在处由正负变负正，则在处取得极大小值只是可导函数的极值分析首先对函数求导，然后求方程的根，再检查在方程根左右的值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值如果左负右正，那么在这个根处取得极小值利用导数求函数的极值解析，令，解得，当变化时，和的变化情况如下表，单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值而当时，有极小值，并且极小值方法规律总结当函数在点处连续时，判断是否为极大小值的方法是如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值如果在点的左右两侧符号不变，则不是函数的极值利用导数求函数极值的步骤确定函数的定义域求导数解方程得方程的根利用方程的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号确定函数的极值，如果的符号在处由正负变负正，则在处取得极大小值只是可导函数在取得极值的必要条件，不是充分条件例如函数，但不是的极值点设函数的导函数为，且求函数的图象在处的切线方程求函数的极值解析，函数在处的切线方程为令，得或当变化时，与的变化情况如下表，即函数在，上递增，在,上递减，在，上递增，当时，有极大值，当时，有极小值已知函数在点处的极小值为，试确定的值，并求的单调区间分析在处的极小值为包含以下的含义是，二是已知函数极值求参数解析由已知又，由解得这时由此得，令，得，令，在处取得极小值，故且它的单调递增区间是，和，单调递减区间是，方法规律总结已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点根据极值点的导数为和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性设函数，若为的极值点，求实数解析求导得，因为是的极值点，所以，解得或经检验，符合题意，所以或右图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论在区间,内是增函数