路径尝试解答由已知共调查了人，其中分钟内不能赶到火车站有人，用频率估计相应概率为设，分别表示甲选择和时，在分钟内赶到火车站，分别表示乙选择和时，在分钟内赶到火车站由频数分布表知，分钟赶往火车站，选择不同路径，频率分别为，估计则，因此，甲应该选择路径，同理，分钟赶到火车站，乙选择路径，频率分别为估计，因此乙应该选择路径规律方法解题关键是正确计算选择不同路径时，事件发生频率，并用频率估计概率第问实质是比较选择不同路径概率大小概率是频率稳定值，它从数量上反映了随机事件发生可能性大小，它是频率科学抽象，当试验次数越来越多时，频率越稳定于个常数，可用频率来估计概率对点训练假设甲乙两种品牌同类产品在地区市场上销售量相等，为了解它们使用寿命，现从这两种品牌产品中分别随机抽取个进行测试，结果统计如图所示估计甲品牌产品寿命小于小时概率这两种品牌产品中，个产品已使用了小时，试估计该产品是甲品牌概率图解甲品牌产品寿命小于小时频率为，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于小时概率为根据抽样结果，寿命大于小时产品共有个，其中甲品牌产品是个所以在样本中，寿命大于小时产品是甲品牌频率是用频率估计概率，所以已使用了小时该产品是甲品牌概率为考向三互斥事件与对立事件概率国家射击队队员为在第届射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，队员射击次命中环概率如下表所示命中环数环环环环概率求该射击队员射击次射中环或环概率命中不足环概率尝试解答记事件“射击次，命中环”为则事件彼此互斥记“射击次，射中环或环”为事件，那么当，之发生时，事件发生，由互斥事件加法公式得设“射击次，至少命中环”事件为，则表示事件“射击次，命中不足环”又，由互斥事件概率加法公式得因此，射击次，命中不足环概率为规律方法解答本题时，首先应正确判断各事件关系，然后把所求事件用已知概率事件表示，最后用概率加法公式求解求复杂互斥事件概率般有两种方法是直接求解法，将所求事件概率分解为些彼此互斥事件概率和二是间接法，先求该事件对立事件概率，再由求解当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法对点训练储蓄所个营业窗口等候人数及相应概率如下排队人数人及人以上概率至多人排队等候概率是多少至少人排队等候概率是多少解记“在窗口等候人数”为事件它们彼此互斥，则至多人排队等候概率为至少人排队等候概率为思想方法之二十五互斥事件概率求解妙招正难则反思想若个事件正面情况比较多，反面情况较少，则般利用对立事件进行求解对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解个示范例湖南高考超市为了解顾客购物量及结算时间等信息，安排名员工随机收集了在该超市购物位顾客相关数据，如下表所示次购物量至件至件至件至件件及以上顾客数人结算时间分钟人已知这位顾客中次购物量超过件顾客占确定，值，并估计顾客次购物结算时间平均值求位顾客次购物结算时间不超过分钟概率将频率视为概率解由题意，，该超市所有顾客次性购物结算时间组成个总体，位顾客次购物结算时间视为总体个容量为简单随机抽样，顾客次购物结算时间平均值可用样本平均数估计，其估计值为又估计顾客次购物结算时间为分钟设分别表示事件“位顾客次购物结算时间分别为分钟分钟”将频率视为概率，得，互斥，且因此位顾客次购物结算时间不超过分概率为个对点练名师寄语准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义正确判定事件间关系，善于将转化为互斥事件和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式盒中装有个球，其中个红球个黑球个白球个绿球从中随机取出球，求取出球是红球或黑球概率解法利用互斥事件求概率记事件任取球为红球，任取球概率大小概率是频率稳定值，它从数量上反映了随机事件发生可能性大小，它是频率科学抽象，当试验次数越来越多时，频率越稳定于个常数，可用频率来估计概率对点训练假设甲乙两种品牌同类产品在地区市场上销售量相等，为了解它们使用寿命，现从这两种品牌产品中分别随机抽取个进行测试，结果统计如图所示估计甲品牌产品寿命小于小时概率这两种品牌产品中，个产品已使用了小时，试估计该产品是甲品牌概率图解甲品牌产品寿命小于小时频率为，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于小时概率为根据抽样结果，寿命大于小时产品共有个，其中甲品牌产品是个所以在样本中，寿命大于小时产品是甲品牌频率是用频率估计概率，所以已使用了小时该产品是甲品牌概率为考向三互斥事件与对立事件概率国家射击队队员为在第届射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，队员射击次命中环概率如下表所示命中环数环环环环概率求该射击队员射击次射中环或环概率命中不足环概率尝试解答记事件“射击次，命中环”为则事件彼此互斥记“射击次，射中环或环”为事件，那么当，之发生时，事件发生，由互斥事件加法公式得设“射击次，至少命中环”事件为，则表示事件“射击次，命中不足环”又，由互斥事件概率加法公式得因此，射击次，命中不足环概率为规律方法解答本题时，首先应正确判断各事件关系，然后把所求事件用已知概率事件表示，最后用概率加法公式求解求复杂互斥事件概率般有两种方法是直接求解法，将所求事件概率分解为些彼此互斥事件概率和二是间接法，先求该事件对立事件概率，再由求解当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法对点训练储蓄所个营业窗口等候人数及相应概率如下排队人数人及人以上概率至多人排队等候概率是多少至少人排队等候概率是多少解记“在窗口等候人数”为事件它们彼此互斥，则至多人排队等候概率为至少人排队等候概率为思想方法之二十五互斥事件概率求解妙招正难则反思想若个事件正面情况比较多，反面情况较少，则般利用对立事件进行求解对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解个示范例湖南高考超市为了解顾客购物量及结算时间等信息，安排名员工随机收集了在该超市购物位顾客相关数据，如下表所示次购物量至件至件至件至件件及以上顾客数人结算时间分钟人已知这位顾客中次购物量超过件顾客占确定，值，并估计顾客次购物结算时间平均值求位顾客次购物结算时间不超过分钟概率将频率视为概率解由题意，，该超市所有顾客次性购物结算时间组成个总体，位顾客次购物结算时间视为总体个容量为简单随机抽样，顾客次购物结算时间平均值可用样本平均数估计，其估计值为又估计顾客次购物结算时间为分钟设分别表示事件“位顾客次购物结算时间分别为分钟分钟”将频率视为概率，得，互斥，且因此位顾客次购物结算时间不超过分概率为个对点练名师寄语准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义正确判定事件间关系，善于将转化为互斥事件和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式盒中装有个球，其中个红球个黑球个白球个绿球从中随机取出球，求取出球是红球或黑球概率解法利用互斥事件求概率记事件任取球为红球，任取球为黑球，任取球为白球，任取球为绿球，则根据题意知，事件彼此互斥，由互斥事件概率公式，得取出球为红球或黑球概率为取出球为红球或黑球或白球概率为法二利用对立事件求概率由法知，取出球为红球或黑球对立事件为取出球为白球或绿球，即对立事件为，所以取出球为红球或黑球概率为因为对立事件为，所以第四节随机事件概率考情展望互斥事件和对立事件概率是高考重点考查内容，其中对立事件概率是“正难则反”思想具体应用，在高考中经常考查多以选择题填空题形式考查，有时也渗透在解答题中，属容易题概率和频率在相同条件下重复次试验，观察事件是否出现，称次试验中事件出现次数为事件出现频数，称事件出现比例为事件出现频率对于给定随机事件，由于事件发生频率随着试验次数增加稳定于概率，因此可以用来估计概率频率二事件关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件，则事件，这时称事件包含事件或称事件包含于事件或相等关系若⊇，且，那么称事件与事件相等⊇发生定发生⊇⊆并事件和事件事件发生当且仅当或，则称此事件为事件与事件并事件或和事件或交事件积事件事件发生当且仅当且，则称此事件为事件与事件交事件或积事件或事件发生事件发生∩事件发生事件发生互斥事件若∩为事件，那么称事件与事件互斥∩∅对立事件若∩为事件，为，那么称事件与事件互为对立事件必然事件不可能不可能互斥事件与对立事件区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件关系，互斥事件是不可能同时发生两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之必须有个发生，因此，对立事件是互斥事件特殊情况，而互斥事件未必是对立事件三概率几个基本性质概率取值范围必然事件概率不可能事件概率概率加法公式如果事件与事件互斥，则对立事件概率若事件与事件互为对立事件，则总数为万张彩票，中奖率是，下列说法中正确是买张定不中奖买张定有张中奖买张定中奖买张不定中奖答案袋中装有个白球，个黑球，从中任取个球，则恰有个白球和全是白球至少有个白球和全是黑球至少有个白球和至少有个白球至少有个白球和至少有个黑球在上述事件中，是对立事件为答案从箱产品中随机地抽取件，设事件抽到等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，则事件“抽到不是等品”概率为答案若随机事件互斥，发生概率均不等于，且分别为则实数取值范围为答案，从装有个红球个白球袋中任取个球，则所取个球中至少有个白球概率是答案课标全国卷Ⅱ甲乙两名运动员各自等可能地从红白蓝种颜色运动服中选择种，则他们选择相同颜色运动服概率为答案考向互斥事件与对立事件判定下列说法正确是掷枚硬币，出现正面朝上概率是，因此掷枚硬币次，恰好出现次正面向上连续四次掷颗骰子，都出现点是不可能事件个射手射击次，命中环数大于与命中环数小于是互斥事件若，则事件与为对立事件从装有除颜色外完全相同个红球和个白球口袋内任取个球，那么对立两个事件是至少有个白球，至少有个红球至少有个白球，都是红球恰有个白球，恰有个白球至少有个白球，都是白球答案,规律方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解对立事件是互斥事件中特殊情况，但互斥事件不定是对立事件，“互斥”是“对立”必要不充分条件对点训练从张扑克牌红桃黑桃方块梅花点数从各张中，任取张判断下列给出每对事件，互斥事件为，对立事件为“抽出红桃”与“抽出黑桃”“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”“抽出牌点数为倍数”与“抽出牌点数大于”答案考向二随机事件频率与概率如图所示，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取位从地到达火车站人进行调查，调查结果如下图所用时间分钟选择人数选择人数试估计分钟内不能赶到火车站概率现甲乙两人分别有分钟和分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自路径尝试解答由已知共调查了人，其中分钟内不能赶到火车站有人，用频率估计相应概率为设，分别表示甲选择和时，在分钟内赶到火车站，分别表示乙选择和时，在分钟内赶到火车站由频数分布表知