离心率焦点坐标和顶点坐标答案长轴长短轴长离心率焦点，顶点解析将方程变形为，得所以，故椭圆长轴和短轴长分别为离心率，焦点坐标顶点坐标为,利用椭圆几何性质求标准方程求适合下列条件椭圆标准方程椭圆过点离心率在轴上个焦点，与短轴两个端点连线互相垂直，且焦距为分析求椭圆标准方程要先确定椭圆焦点位置，不能确定要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定中由离心率，及可知椭圆标准方程中只有个待定系数，再由过点,可求之设短轴端点为，为个焦点，由条件知为等腰直角三角形，于是可求之解析若焦点在轴上，则，椭圆方程为若焦点在轴上，则解得椭圆方程为综上可知椭圆方程为或设椭圆方程为如图所示，为等腰直角三角形，为斜边中线高，且故所求椭圆方程为方法规律总结已知椭圆几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为确定焦点所在位置，以确定椭圆方程形式确立关于方程组，求出参数写出标准方程离心率为，长轴长为椭圆方程为或或答案解析由题意得，当焦点在轴上时，椭圆方程为当焦点在轴上时，椭圆方程为，故选求椭圆离心率如图所示分别为椭圆左右焦点，椭圆上点横坐标等于右焦点横坐标，其纵坐标等于短半轴长，求椭圆离心率解析设椭圆长半轴短半轴半焦距长分别为则焦点为点坐标为则为直角三角形在中即而，整理得又，所以所以，方法规律总结求椭圆离心率方法直接求出和，再求，也可利用求解若和不能直接求出，则看是否可利用条件得到和齐次等式关系，然后整理成形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率方程，进而求解如图，已知为椭圆左焦点为椭圆两个顶点，为椭圆上点，当⊥，为原点时，则椭圆离心率为答案解析由已知设椭圆方程为，焦点为,⊥，点坐标为，即，方法规律总结求离心率时，般是先找出标准方程中关系，然后，由条件转化出含有，关系式，进而求出椭圆实际应用年月日时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于时分秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球中心为个焦点椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点，近地点距地面，远地点距地面已知地球半径求飞船飞行椭圆轨道方程飞船绕地球飞行了十四圈后，于日时分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约，问飞船巡天飞行平均速度是多少结果精确到解析建立如图所示直角坐标系，设椭圆方程由题设条件得，解得，所以所以椭圆方程为从日时到日时共个，合，减去开始分秒，即，再减去最后多计分钟，共计，飞船巡天飞行时间是，平均速度是所以飞船巡天飞行平均速度是方法规律总结实际应用题中明确告诉是椭圆，关键是将文字叙述椭圆几何性质找出来，转化为关系，求出椭圆标准方程再讨论其他问题文字语言没明确是椭圆，先依据椭圆定义和文字表述判明曲线为椭圆，再求出有关几何量，写出椭圆标准方程，再求解其他问题如图所示，“嫦娥号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近点变轨进入以月球球心为个焦点椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为个焦点椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心圆形轨道Ⅲ绕月飞行若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ长轴长，给出下列式子，即正确直线与椭圆位置关系若直线与焦点在轴上椭圆总，整理得又，所以所以，方法规律总结求椭圆离心率方法直接求出和，再求，也可利用求解若和不能直接求出，则看是否可利用条件得到和齐次等式关系，然后整理成形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率方程，进而求解如图，已知为椭圆左焦点为椭圆两个顶点，为椭圆上点，当⊥，为原点时，则椭圆离心率为答案解析由已知设椭圆方程为，焦点为,⊥，点坐标为，即，方法规律总结求离心率时，般是先找出标准方程中关系，然后，由条件转化出含有，关系式，进而求出椭圆实际应用年月日时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于时分秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球中心为个焦点椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点，近地点距地面，远地点距地面已知地球半径求飞船飞行椭圆轨道方程飞船绕地球飞行了十四圈后，于日时分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约，问飞船巡天飞行平均速度是多少结果精确到解析建立如图所示直角坐标系，设椭圆方程由题设条件得，解得，所以所以椭圆方程为从日时到日时共个，合，减去开始分秒，即，再减去最后多计分钟，共计，飞船巡天飞行时间是，平均速度是所以飞船巡天飞行平均速度是方法规律总结实际应用题中明确告诉是椭圆，关键是将文字叙述椭圆几何性质找出来，转化为关系，求出椭圆标准方程再讨论其他问题文字语言没明确是椭圆，先依据椭圆定义和文字表述判明曲线为椭圆，再求出有关几何量，写出椭圆标准方程，再求解其他问题如图所示，“嫦娥号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近点变轨进入以月球球心为个焦点椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为个焦点椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心圆形轨道Ⅲ绕月飞行若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ长轴长，给出下列式子，即正确直线与椭圆位置关系若直线与焦点在轴上椭圆总有公共点，求取值范围分析第步，审题审结论明确解题方向，求取值范围，需利用条件建立关于不等式求解审条件，发掘解题信息，直线与椭圆有公共点，则联立方程组有解，焦点在轴上，则项分母较大第二步，建联系，找解题突破口，确定解答步骤由直线过定点，若定点在椭圆上或椭圆内，则直线与椭圆有公共点将直线与椭圆方程联立消元，当时，直线与椭圆有公共点第三步，规范解答解析由消去，得，直线与椭圆总有公共点，对任意都成立，恒成立即又椭圆焦点在轴上方法规律总结研究直线与椭圆位置关系，联立方程组消元后用判别式讨论求直线被椭圆截得弦长，是求出两交点坐标，用两点间距离公式二是用，其中为直线斜率有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式限制河北衡水中学二调已知椭圆对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且，点，在该椭圆上求椭圆方程过直线与椭圆相交于，两点，若面积为，求以为圆心且与直线相切圆方程答案解析椭圆方程为当直线⊥轴时，可得面积为，不符合题意当直线与轴不垂直时，设直线方程为代入椭圆方程得，显然成立，设则可得又圆半径，面积，化简得，得圆方程为忽视焦点位置致误已知椭圆中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率，且过点求此椭圆标准方程错解设椭圆标准方程为，由题意知，解得，所以所求椭圆标准方程为辨析上述解法没有讨论焦点位置，而默认了椭圆焦点在轴上正解当焦点在轴上时，解法同上，所求椭圆标准方程为当焦点在轴上时，设椭圆方程为，由题意得，解得所以所求椭圆标准方程为综上，所求椭圆标准方程为或分析下题解答过程看有无错误，若有错误请订正椭圆焦点在轴上，长轴长和短轴长和为，焦距为，求该椭圆方程解设椭圆方程为，由题意得又故所求椭圆方程为答案解答有错误椭圆方程为解析上述解答有错误误把长半轴长，短半轴长，与长轴长短轴长混淆，正确解答如下设椭圆方程为，由题意得又，故所求椭圆方程为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修圆锥曲线与方程第二章椭圆椭圆简单几何性质第二章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习理解椭圆简单几何性质利用椭圆简单几何性质解决些简单问题椭圆简单几何性质观察椭圆图形可以发现，椭圆是对称图形，也是对称图形事实上，在椭圆方程中以分别代替，方程不变，椭圆既关于对称，又关于对称，从而关于对称，椭圆对称中心叫作椭圆中心轴轴轴坐标原点中心如图，椭圆与它对称轴共有四个交点，即和，这四个点叫作椭圆，线段叫作椭圆，它长等于线段叫作椭圆，它长等于显然，椭圆两个焦点在它上椭圆焦距与长轴长比叫作椭圆顶点长轴短轴长轴离心率依据椭圆几何性质填写下表标准方程图形标准方程焦点焦距范围对称性关于对称顶点轴长轴长，短轴长性质离心率轴轴和原点直线与椭圆位置关系点与椭圆位置关系点，与椭圆位置关系点在椭圆上⇔点在椭圆内部⇔点在椭圆外部⇔直线与椭圆位置关系直线与椭圆位置关系判断方法由，消去或得到个元二次方程位置关系解个数取值相交两解相切解相离无解弦长公式设直线方程为，椭圆方程为或，直线与椭圆两个交点为则，，或其中或，值，可通过由曲线方程与椭圆方程联立消去或后得到关于或元二次方程得到椭圆对称性观察椭圆形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形对于椭圆标准方程，把换成，方程并不改变，这说明当点，在椭圆上时，它关于轴对称点，也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称同理把换成，或把，同时换成方程都不变，所以椭圆关于轴和原点都是对称这时，坐标轴是椭圆对称轴，原点是椭圆对称中心椭圆对称中心叫作椭圆中心离心率与椭圆扁圆程度之间关系椭圆焦距与长轴长比叫作椭圆离心率越接近，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁反之，越接近于，就越接近，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆当且仅当时这时两个焦点重合，椭圆就变为圆了，此时方程为椭圆离心率范围即,佛山质检已知椭圆两个焦点和短轴两个端点恰好为个正方形四个顶点，则该椭圆离心率为答案解析依题意椭圆焦距和短轴长相等，故广东执信中学期中已知椭圆对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为或或或答案解析由条件知故选已知椭圆焦点在轴上，它与轴个交点为，且为正三角形，且焦点到椭圆上点最短距离为，则椭圆方程为答案解析椭圆焦点在轴上，则设方程为，两焦点，不妨设轴与椭圆个交点为，由为正三角形可知，又焦点到椭圆上点最短距离为，于是由可得从而所求椭圆方程为直线过椭圆左焦点和个顶点，则该椭圆离心率为答案解析令，得，令，得，由题意知椭圆半焦距，短半轴长离心率若直线和没有交点，则过点，直线与椭圆交点个数为个至多个个个答案解析由题意得，点，在椭圆内，故过点，直线与椭圆有个交点求椭圆长轴长短轴长焦点坐标顶点坐标和离心率答案长轴长短轴长焦点，顶点，离心率解析将化为标准方程，椭圆长轴在轴上，其中，长轴长，短轴长，焦点坐标为，顶点坐标为离心率为课堂典例探究求椭圆长轴长短轴长离心率焦点和顶点坐标分析由题目可获取以下主要信息已知椭圆方程研究椭圆几何性质解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质椭圆几何性质解析把已知方程化成标准方程，于是，椭圆长轴长和短轴长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是四个顶点坐标分别是,方法规律总结由椭圆方程讨论其几何性质步骤化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上由标准形式求，写出其几何性质求椭圆长轴长短轴长离心率焦点坐标和顶点坐标答案长轴长短轴长离心率焦点，顶点解析将方程变形为，得所以，故椭圆长轴和短轴长分别为离心率，焦点坐标顶点坐标为,利用椭圆几何性质求标准方程求适合下列条件椭圆标准方程椭圆过点离心率在轴上个焦点，与短轴两个端点连线互相垂直，且焦距为分析求椭圆标准方程要先确定椭圆焦点位置，不能确定要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定中由离心率，及可知椭圆标准