1、弦定理求出解析由双曲线方程知，设，如图所示由双曲线定义，有，两边平方得若，在中，由余弦定理得，而于是同理可求得若时，方法规律总结在椭圆研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上点到焦点距离问题中作用，同样在双曲线中也应注意定义应用已知双曲线上点与两焦点构成三角形问题，往往利用正弦定理余弦定理以及双曲线定义列出关系式若是双曲线两个焦点，在双曲线上，且，求大小解析由双曲线对称性，可设点在第象限，由双曲线方程，知由双曲线定义，得上式两边平方，得，由余弦定理，得方法规律总结双曲线焦点三角形是常见命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理余弦定理双曲线定义等是经常使用知识点另外，还经常结合，运用平方方法，建立它与联系，请同学们多加注意分类讨论思想应用已知方程，其中为实数，对于不同范围值分别指出方程所表示曲线类型分析解答本题可依据所学各种曲线标准形。
2、迹是以为端点条射线当时，动点轨迹是以为端点条射线若，即，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在特别地当时根据线段垂直平分线性质，动点轨迹是线段垂直平分线双曲线上点到个焦点距离为，则到另个焦点距离为或答案解析由双曲线定义可得，由题意知或在方程中，若，方程曲线是焦点在轴上双曲线山师大附中高二期中双曲线焦点为且经过点则其标准方程为答案解析由条件知，焦点在轴上，排除又双曲线经过点故选满足下列条件点，轨迹是什么图形答案以,为焦点双曲线以,为焦点双曲线右支课堂典例探究待定系数法求双曲线标准方程已知双曲线焦点在轴上，并且双曲线经过点，和求双曲线标准方程求与双曲线有公共焦点，且过点，双曲线方程分析可先设出双曲线标准方程，再构造关于方程组，求得，从而求得双曲线标准方程注意对平方关系运用解析由已知可设所求双曲线方程。
3、方方法，建立它与联系，请同学们多加注意分类讨论思想应用已知方程，其中为实数，对于不同范围值分别指出方程所表示曲线类型分析解答本题可依据所学各种曲线标准形式系数应满足条件进行分类讨论解析当时表示两条与轴平行直线当时，方程为，表示圆心在原点，半径为圆当时，方程为，表示焦点在轴上椭圆方法规律总结解决这类题基本方法是分类讨论，在分类讨论过程中应做到不重不漏，选择适当分界点在讨论过程中应说出该方程表示是哪种曲线及其特征讨论方程，此时方程表示焦点在轴上椭圆注意参数取值范围对解题影响已知双曲线个焦点为求值错解将双曲线方程化为标准方程因为焦点在轴上，所以所以，即，所以辨析上述解法有两处错误是确定错误，应该是二是关系式用错了在双曲线中应为正解将双曲线方程化为，即因为个焦点是所以焦点在轴上，所以，所以所以已知定点,和定圆，动圆和圆相外切，并且过定点。
4、在解题中应用已知双曲线方程是，点在双曲线上，且到其中个焦点距离为，点是中点，求大小为坐标原点解析设双曲线另个焦点为，连接，是三角形中位线，所以，因为所以或，或在双曲线中，是两焦点，在双曲线上，若，，则答案解析因为在双曲线上，且，所以是直角三角形又因为，所以根据双曲线定义有，所以于是，即，所以，于是，故双曲线焦点三角形设双曲线是其两个焦点，点在双曲线右支上若，求面积若时，面积是多少若为，则有所求双曲线方程为双曲线定义在解题中应用已知双曲线方程是，点在双曲线上，且到其中个焦点距离为，点是中点，求大小为坐标原点解析设双曲线另个焦点为，连接，是三角形中位线，所以，因为所以或，或在双曲线中，是两焦点，在双曲线上，若，，则答案解析因为在双曲线上，且，所以是直角三角形又因为，所以根据双曲线定义有，所以于是，即，所以，于是，故双曲线焦。
5、此时方程表示焦点在轴上椭圆注意参数取值范围对解题影响已知双曲线个焦点为求值错解将双曲线方程化为标准方程因为焦点在轴上，所以所以，即，所以辨析上述解法有两处错误是确定错误，应该是二是关系式用错了在双曲线中应为正解将双曲线方程化为，即因为个焦点是所以焦点在轴上，所以，所以所以已知定点,和定圆，动圆和圆相外切，并且过定点，则动圆圆心轨迹方程为答案解析设设动圆与圆切点为则所以，即所以由双曲线定义知，点轨迹是以，为焦点双曲线左支，且所以所以所求圆心轨迹方程是方法规律总结求解中易把动点轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离差绝对值是常数”这条件，动点轨迹实际上是双曲线支若分别为双曲线左右焦点即时，点轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线右支，取负号时为双曲线左支为，但这里应有求适合下列条件双曲线标准方程双曲线个焦点坐标是经过点与椭圆共焦点，且。
6、为，则，解得双曲线标准方程为解法设双曲线方程为，由题意易求得又双曲线过点又故所求双曲线方程为解法二设双曲线方程为，将点，代入得，所求双曲线方程为方法规律总结利用待定系数法求双曲线标准方程步骤如下定位置根据条件判定双曲线焦点在轴上还是在轴上，还是两坐标轴都有可能设方程根据焦点位置，设方程为或，焦点不定时，亦可设为以简化运算，同理求经过两定点双曲线方程也可设为，但这里应有求适合下列条件双曲线标准方程双曲线个焦点坐标是经过点与椭圆共焦点，且过点答案解析解法由已知得且焦点在轴上，则另焦点坐标是,因为点,在双曲线上，所以点与两焦点距离差绝对值是常数，即，得，因此，所求双曲线标准方程是解法二由焦点坐标知双曲线方程为双曲线过点双曲线方程为由知焦点为,设双曲线方程为，则有所求双曲线方程为双曲线定。
7、式系数应满足条件进行分类讨论解析当时表示两条与轴平行直线当时，方程为，表示圆心在原点，半径为圆当时，方程为，表示焦点在轴上椭圆方法规律总结解决这类题基本方法是分类讨论，在分类讨论过程中应做到不重不漏，选择适当分界点在讨论过程中应说出该方程表示是哪种曲线及其特征讨论方程，此时方程表示焦点在轴上椭圆注意参数取值范围对解题影响已知双曲线个焦点为求值错解将双曲线方程化为标准方程因为焦点在轴上，所以所以，即，所以辨析上述解法有两处错误是确定错误，应该是二是关系式用错了在双曲线中应为正解将双曲线方程化为，即因为个焦点是所以焦点在轴上，所以，所以所以已知定点,和定圆，动圆和圆相外切，并且过定点，则动圆圆心轨迹方程为答案解析设设动圆与圆切点为则所以，即所以由双曲线定义知，点轨迹是以，为焦点双曲线左支，且所以所以所求圆心轨迹方程是方法规律总结求解。
8、中易把动点轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离差绝对值是常数”这条件，动点轨迹实际上是双曲线支若分别为双曲线左右焦点即时，点轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线右支，取负号时为双曲线左支成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修圆锥曲线与方程第二章双曲线双曲线及其标准方程第二章课堂典例探究课时作业课前自主预习课前自主预习了解双曲线定义，会推导双曲线标准方程会用待定系数法求双曲线标准方程类比椭圆定义我们可以给出双曲线定义在平面内到两个定点距离之绝对值等于定值大于且小于点轨迹叫作双曲线这两个定点叫作双曲线，两焦点之间距离叫作双曲线双曲线定义差焦点焦距焦点在轴上双曲线标准方程为，焦点在轴上双曲线标准方程为在双曲线标准方程中关系为双曲线标准方程定义中为何强调“绝对值”和“，则动点轨迹是不存在双曲线定义中应注意关键词“绝对值”。
9、利用正弦定理余弦定理以及双曲线定义列出关系式若是双曲线两个焦点，在双曲线上，且，求大小解析由双曲线对称性，可设点在第象限，由双曲线方程，知由双曲线定义，得上式两边平方，得，由余弦定理，得方法规律总结双曲线焦点三角形是常见命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理余弦定理双曲线定义等是经常使用知识点另外，还经常结合，运用平方方法，建立它与联系，请同学们多加注意分类讨论思想应用已知方程，其中为实数，对于不同范围值分别指出方程所表示曲线类型分析解答本题可依据所学各种曲线标准形式系数应满足条件进行分类讨论解析当时表示两条与轴平行直线当时，方程为，表示圆心在原点，半径为圆当时，方程为，表示焦点在轴上椭圆方法规律总结解决这类题基本方法是分类讨论，在分类讨论过程中应做到不重不漏，选择适当分界点在讨论过程中应说出该方程表示是哪种曲线及其特征讨论方程，。
10、过点答案解析解法由已知得且焦点在轴上，则另焦点坐标是,因为点,在双曲线上，所以点与两焦点距离差绝对值是常数，即，得，因此，所求双曲线标准方程是解法二由焦点坐标知双曲线方程为双曲线过点双曲线方程为由知焦点为,设双曲线方程为，则有所求双曲线方程为双曲线定义在解题中应用已知双曲线方程是，点在双曲线上，且到其中个焦点距离为，点是中点，求大小为坐标原点解析设双曲线另个焦点为，连接，是三角形中位线，所以，因为所以或，或在双曲线中，是两焦点，在双曲线上，若，，则答案解析因为在双曲线上，且，所以是直角三角形又因为，所以根据双曲线定义有，所以于是，即，所以，于是，故双曲线焦点三角形设双曲线是其两个焦点，点在双曲线右支上若，求面积若时，面积是多少若时，面积又是多少分析由于三角形面积，所以只要求出即可因此可考虑用双曲线定义及。
11、点三角形设双曲线是其两个焦点，点在双曲线右支上若，求面积若时，面积是多少若时，面积又是多少分析由于三角形面积，所以只要求出即可因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出解析由双曲线方程知，设，如图所示由双曲线定义，有，两边平方得若，在中，由余弦定理得，而于是同理可求得若时，方法规律总结在椭圆研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上点到焦点距离问题中作用，同样在双曲线中也应注意定义应用已知双曲线上点与两焦点构成三角形问题，往往利用正弦定理余弦定理以及双曲线定义列出关系式若是双曲线两个焦点，在双曲线上，且，求大小解析由双曲线对称性，可设点在第象限，由双曲线方程，知由双曲线定义，得上式两边平方，得，由余弦定理，得方法规律总结双曲线焦点三角形是常见命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理余弦定理双曲线定义等是经常使用知识点另外，还经常结合，运用平。
12、若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线支对比是学习数学中常用有效学习方法，应用对比学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识理解作用，也能有效避免知识混淆在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比椭圆双曲线标准方程区别和联系椭圆双曲线定义定义因为，所以令因为或或，不定大于通过比较两种不同类型双曲线方程和，可以看出，如果项系数是正，那么焦点在轴上如果项系数是正，那么焦点在轴上对于双曲线，不定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母大小来判定焦点在哪条坐标轴上已知两定点，在满足下列条件平面内动点轨迹中，是双曲线是解析中，动点轨迹不存在中即，根据线段垂直平分线性质，动点轨迹是线段垂直平分线，故选答案方法规律总结注意双曲线定义中“小于”这限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”实际上，若，即，根据平面几何知识，当时，动点轨。
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高中数学2.3.1双曲线及其标准方程课件北师大版选修1_1PPT文档（ 45页）