述如果试验结果构成区域几何度量可用长度表示，则其概率计算公式为构成事件区域长度试验全部结果所构成区域长度将每个基本事件理解为从个特定几何区域内随机地取点，该区域中每点被取到机会都样，而个随机事件发生则理解为恰好取到上述区域内个指定区域中点，这样概率模型就可以用几何概型来求解几何概型计算步骤判断是否为几何概型确定并计算基本事件空间计算事件所含基本事件对应区域几何度量代入公式计算在求解与长度有关几何概型时，首先找到几何区域，这时区域可能是条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件发生对应区域，在找过程中，确定边界点是问题关键，但边界点是否取到却不影响事件概率特别提醒解几何概型问题时，常常需要寻找不等关系要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不等关系湖北在区间,上随机地取个数，若满足概率为，则辽宁高考在长为线段上任取点现作矩形，邻边长分别等于线段，长，则该矩形面积小于概率为答案解析由几何概型如⇒设其中段长为，则另段长为，其中由题意⇒或，则点选取长度为，故概率为与面积有关几何概型问题陕西如图，在矩形区域，两点处各有个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常若在该矩形区域内随机地选地点，则该地点无信号概率是探究将两个四分之圆补成半圆求出面积，除以矩形面积即得概率解析由题意知，将两个四分之圆补成半圆其面积为，矩形面积为，则所求概率为答案规律总结与面积有关几何概型问题解法如果试验结果所构成区域几何度量可用面积表示，则其概率计算公式为构成事件区域面积试验全部结果所构成区域面积解几何概型问题关键点根据题意确认是否是与面积有关几何概型问题找出或构造出随机事件对应几何图形，利用图形几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件概率湖北如图，在圆心角为直角扇形中，分别以为直径作两个半圆在扇形内随机取点，则此点取自阴影部分概率是答案探究符合几何概型阴影部分面积与扇形面积之比即为所求概率解析解题关键是求出空白部分面积，用几何概型求解解析设分别以为直径两个半圆交于点，中点为，如图，连接不妨令，则在以为直径半圆中，空白部分面积，所以整体图形中空白部分面积又因为扇形，所以阴影部分面积为所以扇形解析二连接，由弓形弓形弓形可求出空白部分面积如图，连接，由题意知且弓形弓形弓形，所以空白又因为扇形，所以阴影所以阴影扇形规律总结此类几何概型问题，关键是构造出随机事件对应几何图形，利用图形几何特征找出两个“面积”，套用几何概型概率计算公式，从而求得随机事件概率个多面体直观图和三视图如下图所示，是中点，只蜻蜓在几何体内自由飞翔，则它飞入几何体内概率为与体积有关几何概型求法解析由三视图可知两两垂直，且，梯形又，蜻蜓飞入几何体内概率为答案规律总结体积型几何概型问题解法探秘如果试验全部结果所构成区域可用体积来度量，我们要结合问题背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占体积及事件占体积其概率计算公式为构成事件体积试验全部结果构成体积解决此类问题定要注意几何概型条件，并且要特别注意所求概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆已知正方体棱长为，在正方体内随机取点，求使四棱锥体积不超过事件概率探究解析设到平面距离为，则底又底，所以只要即可所有满足点组成以四边形为底面，为高长方体，其体积为又正方体体积为，所以使四棱锥体积不超过事件概率为甲乙两人约定在时到时之间在处会面，并约定先到者应等候另人刻钟，过时即可离去求两人能会面概率几何概型综合应用探索延拓探究已知甲乙两人约定在时到时之间会面，先到者等候另人刻钟再离去，故存在两个随机变量，即两人到达时刻是随机，这是个测度为面积二维几何概型，要求是两人能会面概率设甲乙两人到达时刻分别为把，所满足关系表示区域找出来，再把所求事件表示区域找出来，分别计算面积解析以轴和轴分别表示甲乙两人到达约定地点时间，则两人能够会面条件是在如图所示平面直角坐标系下，所有可能结果是边长为正方形区域，而事件“两人能够会面”可能结果由图中阴影部分表示由几何概型概率公式得所以两人能会面概率是总结归纳本题难点是把两个时间分别用，两个坐标表示，构成平面内点从而把时间这维长度问题转化为平面图形二维面积问题，转化成面积型几何概型问题“面积比”求几何概型概率是常见题型，通常利用图形几何特征度量来求随机事件概率把长度为线段随机分为三段，求这三段能构成三角形概率解析设分得两段长分别为则第三段长为，需满足，设它表示平面区域为，如右图，即直角边长为等腰直角三角形要能构成三角形须满足，设它表示平面区域为，即图中阴影区域，则能构成三角形概率为在等腰中，过直角顶点在已知甲乙两人约定在时到时之间会面，先到者等候另人刻钟再离去，故存在两个随机变量，即两人到达时刻是随机，这是个测度为面积二维几何概型，要求是两人能会面概率设甲乙两人到达时刻分别为把，所满足关系表示区域找出来，再把所求事件表示区域找出来，分别计算面积解析以轴和轴分别表示甲乙两人到达约定地点时间，则两人能够会面条件是在如图所示平面直角坐标系下，所有可能结果是边长为正方形区域，而事件“两人能够会面”可能结果由图中阴影部分表示由几何概型概率公式得所以两人能会面概率是总结归纳本题难点是把两个时间分别用，两个坐标表示，构成平面内点从而把时间这维长度问题转化为平面图形二维面积问题，转化成面积型几何概型问题“面积比”求几何概型概率是常见题型，通常利用图形几何特征度量来求随机事件概率把长度为线段随机分为三段，求这三段能构成三角形概率解析设分得两段长分别为则第三段长为，需满足，设它表示平面区域为，如右图，即直角边长为等腰直角三角形要能构成三角形须满足，设它表示平面区域为，即图中阴影区域，则能构成三角形概率为在等腰中，过直角顶点在内部任作条射线，与线段交于点，求概率误区警示错解在上取点，使在内作射线看作在线段上任取点，过作射线，则概率为错因分析虽然在线段上任取点是等可能，但过点和任取点所作射线是不均匀，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，尽管点与射线是对应，因此在确定基本事件时，定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生等可能性正解在内射线是均匀分布，所以射线在任何位置都是等可能在上取，则，故满足条件概率为点评如图在角内任意作射线，则射线落在内概率是定，但值是变化向面积为矩形内任投点，试求面积小于概率错解如图所示，设边上高为，线段所在直线交于，则当点到底边距离小于时，即，有，则设“面积小于”为事件，则表示范围是所以由几何概型求概率公式得所以面积小于概率是错因分析如图所示，为矩形内任意点，边上高为矩形内任意线段，但应满足面积小于当面积等于时，即，所以过点作平行于交于，交于点轨迹是线段，满足条件“面积小于”点应落在矩形区域内，而不是三角形区域内出错原因是不能正确构造出随机事件对应几何图形正解如图所示，设边上高为，线段所在直线交于，当面积等于时，即，有过点作平行于交于，交于则满足点轨迹是线段所以满足条件“面积小于”点应落在矩形区域内，设“面积小于”为事件，则表示范围是，所以由几何概型求概率公式，得当堂检测在区间,内所有实数中，随机取个实数，则这个实数概率是答案解析要使实数，则要实数概率为济南市高数学月考在长为线段上任取点，并以线段为边作正方形，这个正方形面积介于与之间概率为答案解析在线段上任取点，事件“正方形面积介于与之间”等价于事件，则所求概率为湖南如图，是以为圆心，半径为圆内接正方形将颗粒子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，则答案解析豆子落在正方形内是随机，故可以认为豆子落在正方形内任点是等可能，属于几何概型因为圆半径为，所以正方形边长是，则正方形面积是，又圆面积是，所以故选在腰长为等腰直角三角形内任取点，使得该点到此三角形直角顶点距离不大于概率为答案解析如图，在等腰直角三角形直角边上分别取中点，则，则事件“点到此三角形直角顶点距离不大于”概率为扇形在个大型商场门口，有种游戏是向个画满边长为均匀方格大桌子上掷直径为硬币，如果硬币完全落入个方格中，则掷硬币者赢得瓶洗发水，请问随机掷个硬币正好完全落入方格概率有多大探究因为硬币能否完全落入个方格中，关键看硬币中心落在方格中哪个位置，若要使硬币完全落入方格中，则其中心必须距方格边界至少有个硬币半径长度即，因此，要使硬币完全落在方格内，硬币中心必须落在以正方形中心为中心，以为边长小正方形表示区域内。解析如下图，边长为正方形形成区域表示试验所有基本事件构成区域，当硬币中心落入图中以为边长正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投个硬币正好完全落入方格概率为成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修概率第三章几何概型第三章几何概型高效课堂课时作业优效预习当堂检测优效预习下列试验中是古典概型有种下粒大豆观察它是否发芽从规格直径为批合格产品中任意抽根，测量其直径抛枚硬币，观察其出现正面或反面情况人射击中靶或不中靶答案知识衔接掷枚均匀硬币两次，事件次正面向上，次反面向上事件至少次正面向上，则下列结果正确是答案解析基本事件为正，正，正，反，反，正，反，反，打开软件，选定格，键入，按键，则在此格中数是从整数到整数取整数值随机数答案，抛掷甲乙两枚质地均匀且四面上分别标有正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为，则为整数概率是答案解析所有结果共有,共种能使为整数有,种，为整数概率为几何概型定义如果每个事件发生概率只与构成该事件区域面积或体积成，则称这样概率模型为几何概率模型，简称为几何模型归纳总结几何概型两个特点，是无限性，即在次试验中，基本事件个数可以是无限二是等可能性，即每个基本事件发生可能性是均等自主预习长度比例计算公式在几何概型中，事件概率计算公式是破疑点几何概型概率计算公式中“长度”并不是实际意义上长度，它意义取决于试验全部结果构成区域，当区域分别是线段平面图形和几何体时，相应“长度”分别是线段长度平面图形面积和几何体体积构成事件区域长度或面积或体积试验全部结果构成区域长度或面积或体积均匀分布当为区间，上任意实数，并且是，我们称服从，上均匀分布，为，上均匀几何概型与古典概型异同概率类型不同点相同点几何概型试验中所有可能出现结果基本事件有无限多个每个基本事件出现可能性样，即满足等可能性古典概型试验中所有可能出现结果只有有限个等可能随机数下列概率模型中，是几何概型有从区间,内任取出个数，求取到概率从区间,内任取出个数，求取到绝对值不大于数概率从区间,内任取出个数，求取到大于而小于数概率向个边长为正方形内投点，求点离中心不超过概率个个个个预习自测答案探究判断个概率模型是否为几何模型，关键是看它是否具备几何概型两个特点解析中概率模型不是几何概型，因为虽然区间,有无限多个点，但取到只是个数字不能构成区域中概率模型是几何模型中概率模型是几何概型