从该袋子中任取每球取到机会均等个球，记随机变量η为取出此球所得分数若η，η，求听课记录由题意得ξ故ξ，ξ，ξ，ξξ所以ξ分布列为ξ由题意知η分布列为η所以η，η化简得解得故规律方法求离散型随机变量ξ均值与方差步骤理解ξ意义，写出ξ可能全部值求ξ取每个值概率写出ξ分布列由均值定义求ξ由方差定义求ξ变式思考有甲乙两个建材厂，都想投标参加重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量样品检查它们抗拉强度指标，其分布列如下其中和分别表示甲乙两厂材料抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数材料，越稳定越好试从均值与方差指标分析该用哪个厂材料解，由此可知，从而两厂材料抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂材料考点二二项分布均值与方差例联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲乙两种抽奖方案，方案甲中奖率为，中奖可以获得分方案乙中奖率为，中奖可以获得分未中奖则不得分每人有且只有次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们累计得分为，求概率若小明小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问他们选择何种方案抽奖，累计得分数学期望较大听课记录由已知得，小明中奖概率为，小红中奖概率为，且两人中奖与否互不影响记“这人累计得分”事件为，则事件对立事件为，因为，所以，即这人累计得分概率为设小明小红都选择方案甲抽奖中奖次数为，都选择方案乙抽奖中奖次数为，则这两人选择方案甲抽奖累计得分数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分数学期望为由已知可得，，所以因此，因为所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分数学期望较大规律方法求离散型随机变量均值与方差方法先求随机变量分布列，然后利用均值与方差定义求解若随机变量则可直接使用公式，求解变式思考人投弹命中目标概率求投弹次，命中次数均值和方差求重复次投弹时命中次数均值和方差解随机变量分布列为因为服从两点分布，故，由题意知，命中次数服从二项分布，即，考点三均值与方差在决策中应用例四川卷款击鼓小游戏规则如下每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现次音乐，要么不出现音乐每盘游戏击鼓三次后，出现次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现三次音乐获得分，没有出现音乐则扣除分即获得分设每次击鼓出现音乐概率为，且各次击鼓出现音乐相互设每盘游戏获得分数为，求分布列玩三盘游戏，至少有盘出现音乐概率是多少玩过这款游戏许多人都发现，若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计相关知识分析分数减少原因听课记录可能取值为，根据题意，有，，，所以分布列为设“第盘游戏没有出现音乐”为事件，则所以，“三盘游戏中至少有次出现音乐”概率为因此，玩三盘游戏至少有盘出现音乐概率是数学期望为这表明，获得分数均值为负，因此，多次游戏之后分数减少可能性更大规律方法解决此类题目关键是正确理解随机变量取每个值所表示具体事件，求得该事件发生概率，列出分布列随机变量期望反映了随机变量取值平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍重要理论依据变式思考投资公司在年年初准备将万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择项目新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生概率分别为和项目二通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生概率分别为，和针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择个合理项目，并说明理由若市场预期不变，该投资公司按照你选择项目长期投资每年利润和本金继续用作投资，问大约在哪年年底总资产利润本金可以翻番参考数据,解若按“项目”投资，设获利为万元则分布列为万元若按“项目二”投资，设获利万元，则分布列为万元所以，这说明虽然项目项目二获利相等，但项目更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目投资假设年后总资产可以翻番，依题意，，即，两边取对数得所以大约年后，即在年年底总资产可以翻番考点四正态分布例为了了解地区高三男生身体发育状况，抽查了该地区名年龄在岁至岁高三男生体重情况，抽查结果表明他们体重服从正态分布且正态分布密度曲线如下图所示若体重大于小于等于属于正常情况，则这名男生中属于正常情况人数是思维启迪解决本题关键是求听课记录由题意，可知故，从而属于正常情况人数是答案规律方法解此类问题定要把握服从，随机变量在三个特殊区间取值少原因听课记录可能取值为，根据题意，有，，，所以分布列为设“第盘游戏没有出现音乐”为事件，则所以，“三盘游戏中至少有次出现音乐”概率为因此，玩三盘游戏至少有盘出现音乐概率是数学期望为这表明，获得分数均值为负，因此，多次游戏之后分数减少可能性更大规律方法解决此类题目关键是正确理解随机变量取每个值所表示具体事件，求得该事件发生概率，列出分布列随机变量期望反映了随机变量取值平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍重要理论依据变式思考投资公司在年年初准备将万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择项目新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生概率分别为和项目二通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生概率分别为，和针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择个合理项目，并说明理由若市场预期不变，该投资公司按照你选择项目长期投资每年利润和本金继续用作投资，问大约在哪年年底总资产利润本金可以翻番参考数据,解若按“项目”投资，设获利为万元则分布列为万元若按“项目二”投资，设获利万元，则分布列为万元所以，这说明虽然项目项目二获利相等，但项目更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目投资假设年后总资产可以翻番，依题意，，即，两边取对数得所以大约年后，即在年年底总资产可以翻番考点四正态分布例为了了解地区高三男生身体发育状况，抽查了该地区名年龄在岁至岁高三男生体重情况，抽查结果表明他们体重服从正态分布且正态分布密度曲线如下图所示若体重大于小于等于属于正常情况，则这名男生中属于正常情况人数是思维启迪解决本题关键是求听课记录由题意，可知故，从而属于正常情况人数是答案规律方法解此类问题定要把握服从，随机变量在三个特殊区间取值概率，将所求问题向转化，然后利用特定值求出相应概率同时，要充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为这些特殊性质变式思考若随机变量ξ服从正态分布已知ξ，则ξ随机变量ξ服从正态分布已知ξ，则ξ解析由随机变量ξ服从正态分布得ξξ，所以ξξξξξξ由题意，可知正态曲线关于直线对称，所以ξξξξ，又ξξ，所以ξ答案拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高大题巧突破系列之十二离散型随机变量均值综合应用典例新课标全国卷Ⅰ从企业生产种产品中抽取件，测量这些产品项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值样本平均数和样本方差同组中数据用该组区间中点值作代表由直方图可以认为，这种产品质量指标值服从正态分布其中近似为样本平均数，近似为样本方差利用该正态分布，求用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间,产品件数利用结果，求附若则，规范解答抽取产品质量指标值样本平均数和样本方差分别为，由知，从而由知，件产品质量指标值位于区间,概率为，依题意知所以名师点评本题综合较强，将众多知识综合在起考查，特别是将正态分布与二项分布有机结合在起，不失为个新突破点对应训练随机抽取厂种产品件，经质检，其中有等品件二等品件三等品件次品件已知生产件二三等品获得利润分别为万元万元万元，而件次品亏损万元设件产品利润单位万元为ξ求ξ分布列求件产品平均利润即ξ均值经技术革新后，仍有四个等级产品，但次品率降为，等品率提高为如果此时要求件产品平均利润不小于万元，那么三等品率最多是多少解由于件产品利润为ξ，则ξ所有可能取值为由题意知ξ，ξ，ξ，ξ故ξ分布列为ξ件产品平均利润为ξ万元设技术革新后三等品率为，则此时件产品平均利润为ξ由ξ，得，解得，所以三等品率最多为第十章计数原理概率随机变量及其分布理概率文第九节离散型随机变量均值与方差理基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向理解取有限个值离散型随机变量均值方差概念能计算简单离散型随机变量均值方差，并能解决些实际问题利用实际问题直方图，了解正态分布曲线特点及曲柄线所表示意义备考知考情从近几年高考试题来看，离散型随机变量均值与方差是高考热点题型，以解答题为主，也有选择题填空题，属中档题，常与排列组合概率等知识综合命题，以实际问题为背景考查离散型随机变量均值与方差在实际问题中应用，是高考对本专题考查命题方向，如陕西理福建理考查逻辑思维能力辨识转化能力和计算能力理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点离散型随机变量均值若离散型随机变量分布列为„„„„则称为随机变量均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值若，其中，为常数，则也是随机变量，且若服从两点分布，则若则„„平均水平知识点二离散型随机变量方差设离散型随机变量分布列为„„„„则称为随机变量方差，其为随机变量标准差，记作算术平方根若服从两点分布，则若则知识点三正态分布正态分布定义及表示如果对于任何实数，随机变量满足则称随机变量服从正态分布，记为，正态曲线特点曲线位于轴，与轴曲线是单峰，它关于直线对称曲线在处达到峰值曲线与轴之间面积为当定时，曲线随着变化而沿轴平移上方不相交当定时，曲线形状由确定，曲线越“瘦高”，表示总体分布，曲线越“矮胖”，表示总体分布越正态分布三个常用数据越小集中越大分散对点自测知识点离散型随机变量均值已知离散型随机变量分布列为则数学期望解析，选答案甲乙两人参加高校自主招生考试，若甲乙能通过面试概率都为，且甲乙两人能否通过面试相互，则面试结束后通过人数ξ数学期望ξ值为解析由题意可知，ξ服从二项分布所以ξ答案知识点二离散型随机变量方差已知离散型随机变量ξ分布列为ξ则ξ等于解析由于ξ，所以ξ答案已知随机变量ξ满足ξ，ξ，则ξ和ξ值分别是和和和和解析由期望和方差定义知，ξ，ξ答案知识点三正态分布设随机变量服从正态分布若，则解析，由正态分布定义知其函数图