数原函数与求个函数导数是互逆运算，因此应注意掌握些常见函数导数根据积分几何意义可利用面积求积分变式思考求下列定积分解考点二利用定积分求曲边梯形面积例如图所示，求由抛物线及其在点，和点,处切线所围成图形面积思维启迪求出两切线交点坐标将积分区间分为两段，，听课记录由题意，知抛物线在点处切线斜率是，在点处切线斜率是因此，抛物线过点切线方程为，过点切线方程为设两切线相交于点，由，消去，得，即点横坐标为在区间，上，曲线在曲线上方在区间，上，曲线在曲线上方因此，所求图形面积是规律方法利用定积分求解曲边图形面积，关键要把握住两点是准确确定被积函数，般原则是“上”“下”，即根据曲边图形结构特征，用上方曲线对应函数解析式减去下方曲线对应函数解析式二是准确确定定积分上下限，本例中应为曲边图形左右两端对应点横坐标，上下限顺序不能颠倒变式思考山东卷直线与曲线在第象限内围成封闭图形面积为求曲线所围成图形面积解析由解得或或，所以直线与曲线在第象限内围成封闭图形面积应为答案解由得交点由得交点，故所求面积考点三定积分在物理中应用例物体以速度在直线上运动，物体在直线上，且在物体正前方处，同时以速度与同向运动，出发后物体追上物体所用时间为答案规律方法利用定积分解决变速直线运动路程问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动速度函数和变力与位移之间函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求变式思考设变力作用在质点上，使沿轴正向从运动到，已知且方向和轴正向相同，则变力对质点所做功为单位，力单位解析变力使质点沿轴正向从运动到所做功为∫∫答案拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高易错警示系列之五定积分几何意义不明致误典例由曲线，直线，所围成平面图形面积为思维启迪利用定积分求曲边形面积时，易弄错积分上下限，或不能结合图形选择合适积分变量规范解答画出草图，如图所示根据定积分几何意义把曲边形面积转化为区间上定积分曲边形面积为故选答案名师点评定积分主要应用是求曲边形面积，般地，由曲线直线所围成曲边形面积，被积函数中绝对值是不可少，在具体解题中就是根据两个函数，图象位置高低，用分段形式将面积表示出来对应训练如图所示，直线与抛物线所围成阴影部分面积是解析答案如图边长为正方形内点在曲线上方区域概率为解析题图中阴影部分面积由几何概型概率计算公式可知，所求概率选答案若定积分，则等于江西卷若，则听课记录因为所以根据定积分几何意义知，定积分值就是函数图象与轴及直线，所围成图形面积，是个半径为半圆，其面积等于，而，即在区间，上该函数图象应为个圆，于是得，故选，故选答案规律方法利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数原函数，求个函数原函数与求个函数导数是互逆运算，因此应注意掌握些常见函数导数根据积分几何意义可利用面积求积分变式思考求下列定积分解考点二利用定积分求曲边梯形面积例如图所示，求由抛物线及其在点，和点,处切线所围成图形面积思维启迪求出两切线交点坐标将积分区间分为两段，，听课记录由题意，知抛物线在点处切线斜率是，在点处切线斜率是因此，抛物线过点切线方程为，过点切线方程为设两切线相交于点，由，消去，得，即点横坐标为在区间，上，曲线在曲线上方在区间，上，曲线在曲线上方因此，所求图形面积是规律方法利用定积分求解曲边图形面积，关键要把握住两点是准确确定被积函数，般原则是“上”“下”，即根据曲边图形结构特征，用上方曲线对应函数解析式减去下方曲线对应函数解析式二是准确确定定积分上下限，本例中应为曲边图形左右两端对应点横坐标，上下限顺序不能颠倒变式思考山东卷直线与曲线在第象限内围成封闭图形面积为求曲线所围成图形面积解析由解得或或，所以直线与曲线在第象限内围成封闭图形面积应为答案解由得交点由得交点，故所求面积考点三定积分在物理中应用例物体以速度在直线上运动，物体在直线上，且在物体正前方处，同时以速度与同向运动，出发后物体追上物体所用时间为答案规律方法利用定积分解决变速直线运动路程问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动速度函数和变力与位移之间函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求变式思考设变力作用在质点上，使沿轴正向从运动到，已知且方向和轴正向相同，则变力对质点所做功为单位，力单位解析变力使质点沿轴正向从运动到所做功为∫∫答案拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高易错警示系列之五定积分几何意义不明致误典例由曲线，直线，所围成平面图形面积为思维启迪利用定积分求曲边形面积时，易弄错积分上下限，或不能结合图形选择合适积分变量规范解答画出草图，如图所示根据定积分几何意义把曲边形面积转化为区间上定积分曲边形面积为故选答案名师点评定积分主要应用是求曲边形面积，般地，由曲线直线所围成曲边形面积，被积函数中绝对值是不可少，在具体解题中就是根据两个函数，图象位置高低，用分段形式将面积表示出来对应训练如图所示，直线与抛物线所围成阴影部分面积是解析答案如图边长为正方形内点在曲线上方区域概率为解析题图中阴影部分面积由几何概型概率计算公式可知，所求概率选答案第二章函数导数及其应用第十三节定积分与微积分基本定理理基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向了解定积分实际背景，了解定积分基本思想，了解定积分概念了解微积分基本定理含义备考知考情从近几年高考试题来看，对本节内容要求较低，定积分简单计算与应用是高考热点，题型均为小题，难度中低档，主要考查微积分基本定理进行定积分计算，利用定积分几何意义求平面图形面积理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点定积分定义及几何意义定积分定义如果函数在区间，上，当时，和式ξ无限接近，叫做函数在区间，上定积分，记作，即ξ分别叫做，区间，叫，函数叫，叫积分变量，叫被积式连续个常数这个常数积分下限与积分上限积分区间被积函数定积分几何意义如果在区间，上连续且恒有，那么几何意义是如图表示由直线，，和曲线所围成曲边梯形面积知识点二微积分基本定理微积分基本定理般地，如果在区间，上连续，且，那么这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式也可表示为定积分性质为常数其中提示定积分性质其含义有两层，如性质若定积分，存在，则定积分存在，且定积分性质可推广到任意有限个函数情况对点自测知识点定积分定义及几何意义判判定积分概念中对区间，分割具有任意性当时，和式ξξ无限趋近于确定常数设函数在区间，上连续，则答案求曲线与所围成图形面积，其中正确是答案解析表示与，及所围成图形面积由得，又，与，及所围成图形为个圆，其面积为答案知识点二微积分基本定理若，，则解析，答案由直线与曲线所围成封闭图形面积为解析答案汽车以作变速直线运动时，在第至第间内经过路程是解析答案研考点知规律通法悟道热点命题深度剖析问题探究问题如下图所示，函数与直线轴围成阴影部分面积如何表示设，，，则阴影部分面积是问题求定积分方法是什么利用微积分基本定理求定积分步骤如下求被积函数个原函数计算利用定积分几何意义求定积分高频考点考点定积分计算例陕西卷定积分值为若定积分，则等于江西卷若，则听课记录因为所以根据定积分几何意义知，定积分值就是函数图象与轴及直线，所围成图形面积，是个半径为半圆，其面积等于，而，即在区间，上该函数图象应为个圆，于是得，故选，故选答案规律方法利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数原函数，求个函数原函数与求个函数导数是互逆运算，因此应注意掌握些常见函数导数根据积分几何意义可利用面积求积分变式思考求下列定积分解考点二利用定积分求曲边梯形面积例如图所示，求由抛物线及其在点，和点,处切线所围成图形面积思维启迪求出两切线交点坐标将积分区间分为两段，，听课记录由题意，知抛物线在点处切线斜率是，在点处切线斜率是因此，抛物线过点切线方程为，过点切线方程为设两切线相交于点，由，消去，得，即点横坐标为在区间，上，曲线在曲线上方在区间，上，曲线在曲线数原函数与求个函数导数是互逆运算，因此应注意掌握些常见函数导数根据积分几何意义可利用面积求积分变式思考求下列定积分解考点二利用定积分求曲边梯形面积例如图所示，求由抛物线及其在点，和点,处切线所围成图形面积思维启迪求出两切线交点坐标将积分区间分为两段，，听课记录由题意，知抛物线在点处切线斜率是，在点处切线斜率是因此，抛物线过点切线方程为，过点切线方程为设两切线相交于点，由，消去，得，即点横坐标为在区间，上，曲线在曲线上方在区间，上，曲线在曲线上方因此，所求图形面积是规律方法利用定积分求解曲边图形面积，关键要把握住两点是准确确定被积函数，般原则是“上”“下”，即根据曲边图形结构特征，用上方曲线对应函数解析式减去下方曲线对应函数解析式二