面内两个测点与，现测得，并在点测得塔顶仰角为，求塔高解在中，，由正弦定理得，所以在中，考点三角度问题例浙江卷如图，人在垂直于水平地面墙面前点处进行射击训练已知点到墙面距离为，目标点沿墙面上射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点仰角大小仰角为直线与平面所成角若，则最大值是听课记录由于⊥所以过点作⊥交于，连接如图，则，设，则于是所以，令，则，当时，取最小值因此最小值为，这时最大值为此时答案规律方法解决测量角度问题注意事项明确方位角含义分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键最重要步将实际问题转化为可用数学方法解决问题后，注意正余弦定理“联袂”使用变式思考如图所示，位于处信息中心获悉在其正东方向相距海里处有艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距海里处乙船，现乙船朝北偏东方向即沿直线前往处救援，则等于解析如题图所示，在中，海里，海里，，由余弦定得，得，故海里由正弦定理，得由，知为锐角故故答案出现，属中低档题理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点距离问题知识点二高度问题知识点三角度问题仰角和俯角在同铅垂平面内水平视线和目标视线夹角，目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线时叫俯角如图上方下方方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间水平夹角叫做方位角，如点方位角为如图方向角正北或正南方向线与目标方向线所成锐角，如南偏东，北偏西等坡度坡面与水平面所成二面角度数对点自测知识点距离问题船向正北航行，看见正西方向相距海里两个灯塔恰好与它在条直线上，继续航行半小时后，看见灯塔在船南偏西，另灯塔在船南偏西，则这艘船速度是每小时海里海里海里海里解析如图所示，依题意有，，所以，从而海里在中，得海里，于是这艘船速度是海里时答案海上有三个小岛，测得，两岛相距海里，，，则，间距离是海里解析由正弦定理，知解得海里答案知识点二高度问题在米高山顶上，测得山下塔顶与塔底俯角分别为则塔高为米解析如图所示，山高度米，塔高为所以塔高米答案运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为看台上，同列上第排和最后排测得旗杆顶部仰角分别为和，第排和最后排距离为米如图所示，则旗杆高度为米解析如图，在中，，所以由正弦定理得所以在中，答案知识点三角度问题若点在点北偏东，点在点南偏东且，则点在点北偏东北偏西北偏东北偏西解析如图答案如图，两座相距建筑物，高度分别为，为水平面，则从建筑物顶端看建筑物张角为解析依题意可得又所以在中，由余弦定理得，又，所以，所以从顶端看建筑物张角为答案研考点知规律通法悟道热点命题深度剖析问题探究问题距离问题有几种类型，其解法是什么类型测量距离问题分为三种类型，两点间不可达又不可视两点间可视但不可达两点都不可达解法选择合适辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求个三角形边长问题，从而利用正余弦定理求解问题测量高度问题基本思想是什么在测量高度时，要理解仰角俯角概念，仰角和俯角都是在同铅垂面内，视线与水平线夹角准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图运用正余弦定理，有序地解相关三角形，逐步求解问题答案，注意方程思想运用问题测量角度问题基本思想是什么测量角度问题关键是要在弄清题意基础上，画出表示实际问题图形，并在图形中标出有关角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得结果转化为实际问题解高频考点考点距离问题例如图两点在河同侧，且，两点均不可到达，测出距离，测量者可以在河岸边选定两点测得，同时在，两点分别测得，，，在和中，由正弦定理分别计算出和，再在中，应用余弦定理计算出若测得，，，，求，两点间距离听课记录，，在中，，由正弦定理，得在中，由余弦定理，得，两点间距离为规律方法求距离问题注意事项选定或确定要求解三角形，即所求量所在三角形，若其它量已知则直接解若有未知量，则把未知量放在另确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算定理变式思考如图所示，要测量水塘两侧，两点间距离，其方法先选定适当位置，用经纬仪测出角，再分别测出，长则可求出，两点间距离即若测得，试计算长解在中，由余弦定理得，即，两点间距离为考点二高度问题例四川卷如图，从气球上测得正前方河流两岸，俯角分别为此时气球高是，则河流宽度约等于用四舍五入法将结果精确到个位参考数据听课记录如图所示，过作⊥且交延长线于在中，由，得在中，，由正弦定理，得，即，解得答案规律方法测量高度时，要准确理解仰俯角概念分清已知和待求，分析画出示意图，明确在哪个三角形内应用正余弦定理变式思考如图所示，测量河对岸塔高时，可以选与塔底在同水平面内两个测点与，现测得，并在点测得塔顶仰角为，求塔高解在中，，由正弦定理得，所以在中，考点三角度问题例浙江卷如图，人在垂直于水平地面墙面前点处进行射击训练已知点到墙面距离为，目标点沿墙面上射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点仰角大小仰角为直线与平面所成角若，则最大值是听课记录由于⊥所以过点作⊥交于，连接如图，则，设，则于是所以，令，则，当时，取最小值因此最小值为，这时最大值为此时答案规律方法解决测量角度问题注意事项明确方位角含义分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键最重要步将实际问题转化为可用数学方法解决问题后，注意正余弦定理“联袂”使用变式思考如图所示，位于处信息中心获悉在其正东方向相距海里处有艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距海里处乙船，现乙船朝北偏东方向即沿直线前往处救援，则等于解析如题图所示，在中，海里，海里，，由余弦定得，得，故海里由正弦定理，得由，知为锐角故故答案第三章三角函数解三角形第七节正弦定理余弦定理应用举例基础回扣自主学习热点命题深度剖析高考明方向能够运用正弦定理余弦定理等知识和方法解决些与测量和几何计算有关实际问题备考知考情高考对正弦定理和余弦定理在实际中应用考查，其常规考法为依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当公式直接计算常与角度方向距离及测量等问题有关实际问题相结合命题三种题型都有可能出现，属中低档题理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点距离问题知识点二高度问题知识点三角度问题仰角和俯角在同铅垂平面内水平视线和目标视线夹角，目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线时叫俯角如图上方下方方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间水平夹角叫做方位角，如点方位角为如图方向角正北或正南方向线与目标方向线所成锐角，如南偏东，北偏西等坡度坡面与水平面所成二面角度数对点自测知识点距离问题船向正北航行，看见正西方向相距海里两个灯塔恰好与它在条直线上，继续航行半小时后，看见灯塔在船南偏西，另灯塔在船南偏西，则这艘船速度是每小时海里海里海里海里解析如图所示，依题意有，，所以，从而海里在中，得海里，于是这艘船速度是海里时答案海上有三个小岛，测得，两岛相距海里，，，则，间距离是海里解析由正弦定理，知解得海里答案知识点二高度问题在米高山顶上，测得山下塔顶与塔底俯角分别为则塔高为米解析如图所示，山高度米，塔高为所以塔高米答案运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为看台上，同列上第排和最后排测得旗杆顶部仰角分别为和，第排和最后排距离为米如图所示，则旗杆高度为米解析如图，在中，，所以由正弦定理得所以在中，答案知识点三角度问题若点在点北偏东，点在点南偏东且，则点在点北偏东北偏西北偏东北偏西解析如图答案如图，两座相距建筑物，高度分别为，为水平面，则从建筑物顶端看建筑物张角为解析依题意可得又所以在中，由余弦定理得，又，所以，所以从顶端看建筑物张角为答案研考点知规律通法悟道热点命题深度剖析问题探究问题距离问题有几种类型，其解法是什么类型测量距离问题分为三种类型，两点间不可达又不可视两点间可视但不可达两点都不可达解法选择合适辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求个三角形边长问题，从而利用正余弦定理求解问题测量高度问题基本思想是什么在测量高度时，要理解仰角俯角概念，仰角和俯角都是在同铅垂面内，视线与水平线夹角准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图运用正余弦定理，有序地解相关三角形，逐步求解问题答案，注意方程思想运用问题测量角度问题基本思想是什么测量角度问题关键是要在弄清题意基础上，画出表示实际问题图形，并在图形中标出有关角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得结果转化为实际问题解高频考点考点距离问题例如图两点在河同侧，且，两点均不可到达，测出距离，测量者可以在河岸边选定两点测得，同时在，两点分别测得，，，在和中，由正弦定理分别计算出和，再在中，应用余弦定理计算出若测得，，，，求，两点间距离听课记录，，在中，，由正弦定理，得在中，由余弦定理，得，两点间距离为规律方法求距离问题注意事项选定或确定要求解三角形，即所求量所在三角形，若其它量已知则直接解若有未知量，则把未知量放在另确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算定理变式思考如图所示，要测量水塘两侧，两点间距离，其方法先选定适当位置，用经纬仪测出角，再分别测出，长则可求出，两点间距离即若测得，试计算长解在中，由余弦定理得，即，两点间距离为考点二高度问题例四川卷如图，从气球上测得正前方河流两岸，俯角分别为此时气球高是，则河流宽度约等于用四舍五入法将结果精确到个位参考数据听课记录如图所示，过作⊥且交延长线于在中，由，得在中，，由正弦定理，得，即，解得答案规律方法测量高度时，要准确理解仰俯角概念分清已知和待求，分析画出示意图，明确在哪个三角形内应用正余弦定理变式思考如图所示，测量河对岸塔高时，可以选与塔底在同水平面内两个测点在中，由余弦定理，得，两点间距离为规律方法求距离问题注意事项选定或确定要求解三角形，即所求量所在三角形，若其它量已知则直接解若有未知量，则把未知量放在另确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算定理变式思考如图所示，要测量水塘两侧，两点间距离，其方法先选定适当位置，用经纬仪测出角，再分别测出，长则可求出，两点间距离即若测得，试计算长解在中，由余弦定理得，即，两点间距离为考点二高度问题例四川卷如图，从气球上测得正前方河流两岸，俯角分别为此时气球高是，则河流宽度约等于用四舍五入法将结果精确到个位参考数据听课记录如图所示，过作⊥且交延长线于在中，由，得在中，，由正弦定理，得，即，解得答案规律方法测量高度时，要准确理解仰俯角概念分清已知和待求，分析画出示意图，明确在哪个