相同起点和终点正确根据向量相等定义知不正确若时，与都平行，但不定平行不正确充要条件是且，同向答案考点二向量线性运算例福建卷设为平行四边形对角线交点，为平行四边形所在平面内任意点，则等于设，分别是边，上点若，为实数，则值为听课记录因为是和中点，由平行四边形法则，得所以故选由题意，所以即答案规律方法在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则三角形法则，利用三角形中位线相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系向量来求解变式思考若是所在平面内点，为边中点，且，那么青岛模拟在中，点在线段延长线上，且，点在线段上与点，不重合，若，则取值范围是，，，，解析因为是边中点，所以有，所以⇒设，点在线段上与点，不重合，，，答案考点三共线定理及应用例设两个非零向量和不共线如果，求证三点共线如果，且三点共线，求值思维启迪三点共线⇔存在实数使三点共线⇔存在实数使听课记录又与共线又与有公共点，三点共线三点共线，，从而存在实数，使得又，是不共线非零向量，实数值为规律方法向量共线充要条件要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线其他向量，注意待定系数法运用和方程思想证明三点共线可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线区别若三点共线，则变式思考设，是两个不共线向量，已知求证三点共线若，且三点共线，求值解证明由已知得又有公共点，三点共线由可知，且，由三点共线得，即，得解得，拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高易错警示系列之六由向量共线求参数问题中易错点典例已知向量，不共线，且若与共线反向，则实数值为或或规范解答由于与共线反向，则存在实数使，于是，整理得由于，不共线，所以有整理得解得或又因为，所以，故答案误区警示下面解法中容易出现错误处忽视了与反向，从而漏掉范围限制处易忘记与关系及处对取值范围限制名师点评认真审题，挖掘题目隐含限制条件，避免产生增解做出答案后要注意检验，养成检验反思习惯对应训练已知向量，不共线，如果，那么且与同向且与反向且与同向且与反向解析由得，即不正确充要条件是且，同向答案考点二向量线性运算例福建卷设为平行四边形对角线交点，为平行四边形所在平面内任意点，则等于设，分别是边，上点若，为实数，则值为听课记录因为是和中点，由平行四边形法则，得所以故选由题意，所以即答案规律方法在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则三角形法则，利用三角形中位线相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系向量来求解变式思考若是所在平面内点，为边中点，且，那么青岛模拟在中，点在线段延长线上，且，点在线段上与点，不重合，若，则取值范围是，，，，解析因为是边中点，所以有，所以⇒设，点在线段上与点，不重合，，，答案考点三共线定理及应用例设两个非零向量和不共线如果，求证三点共线如果，且三点共线，求值思维启迪三点共线⇔存在实数使三点共线⇔存在实数使听课记录又与共线又与有公共点，三点共线三点共线，，从而存在实数，使得又，是不共线非零向量，实数值为规律方法向量共线充要条件要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线其他向量，注意待定系数法运用和方程思想证明三点共线可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线区别若三点共线，则变式思考设，是两个不共线向量，已知求证三点共线若，且三点共线，求值解证明由已知得又有公共点，三点共线由可知，且，由三点共线得，即，得解得，拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高易错警示系列之六由向量共线求参数问题中易错点典例已知向量，不共线，且若与共线反向，则实数值为或或规范解答由于与共线反向，则存在实数使，于是，整理得由于，不共线，所以有整理得解得或又因为，所以，故答案误区警示下面解法中容易出现错误处忽视了与反向，从而漏掉范围限制处易忘记与关系及处对取值范围限制名师点评认真审题，挖掘题目隐含限制条件，避免产生增解做出答案后要注意检验，养成检验反思习惯对应训练已知向量，不共线，如果，那么且与同向且与反向且与同向且与反向解析由得，即，所以所以所以向量与共线反向答案第四章平面向量数系扩充与复数引入第节平面向量概念及其线性运算基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向理解平面向量概念，理解两个向量相等含义理解向量几何表示掌握向量加法减法运算并理解其几何意义掌握向量数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线含义了解向量线性运算性质及其几何意义备考知考情平面向量线性运算共线向量定理是近几年高考命题热点常与三角平面几何知识交汇考查，有时也会命制新定义问题题型以选择题填空题为主，属中低档题理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点向量有关概念向量既有大小，又有量叫向量向量大小叫做向量零向量长度为向量，其方向是任意单位向量长度等于向量平行向量方向相同或非零向量，又叫共线向量，规定与任向量共线方向模个单位相反相等向量长度相等且相同向量相反向量长度相等且相反向量方向方向知识点二向量线性运算知识点三平行向量基本定理如果，则反之，如果，且，则定存在实数，使唯个对点自测知识点向量有关概念判判向量与有向线段是样，因此可以用有向线段来表示向量与是否相等与，方向无关答案给出下列命题两个具有公共终点向量，定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们模能比较大小为实数，则必为零，为实数，若，则与共线其中错误命题个数为解析错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们模均为实数，故可以比较大小错误，当时，不论为何值，错误，当时此时，与可以是任意向量故选答案知识点二向量线性运算如图为互相垂直单位向量，则向量可表示为解析答案新课标全国卷Ⅰ设分别为三边中点，则解析由于分别是中点，所以，故选答案知识点三共线向量定理判判若向量，共线，则向量，方向相同若，，则设与是两个不共线向量，且向量与共线，则设，为向量，则是“”充分必要条件答案研考点知规律通法悟道热点命题深度剖析问题探究问题向量平行与直线平行有什么区别向量平行包括向量共线和重合情况，而直线平行不包括重合情况因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合问题向量线性运算应注意以下几点向量线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则要素向量加法三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”向量减法三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”平行四边形法则要素是“起点重合”问题为什么共线定理中要求如何应用共线定理证明三点共线若，当时，有无数多个值，时，值不存在，所以要求证明三点共线，若存在实数，使，则三点共线这里注意与有公共点高频考点考点向量有关概念例给出下列四个命题若，则或若，则四边形为平行四边形若与同向，且，则，为实数，若，则与共线其中假命题个数为思维启迪以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确听课记录不正确但，方向不确定，故，不定相等不正确因为，可能在同条直线上，所以不定是四边形不正确两向量不能比较大小不正确当时，与可以为任意向量，满足，但与不定共线答案规律方法易忽视零向量这特殊向量，误认为是正确充分利用反例进行否定是对向量有关概念题进行判定行之有效方法准确理解向量基本概念是解决这类题目关键相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性共线向量平行向量和相等向量均与向量起点无关“向量”和“有向线段”是两个不同概念，向量只有两个要素大小方向而有向线段有三个要素起点方向长度变式思考给出下列四个命题两个向量相等，则它们起点相同，终点相同若则若，，则充要条件是且其中假命题个数为解析不正确两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等但两个向量相等，不定有相同起点和终点正确根据向量相等定义知不正确若时，与都平行，但不定平行不正确充要条件是且，同向答案考点二向量线性运算例福建卷设为平行四边形对角线交点，为平行四边形所在平面内任意点，则等于设，分别是边，上点若，为实数，则值为听课记录因为是和中点，由平行四边形法则，得所以故选由题意，所以即答案规律方法在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则三角形法则，利用三角形中位线相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系向量来求解变式思考若是所在平面内相同起点和终点正确根据向量相等定义知不正确若时，与都平行，但不定平行不正确充要条件是且，同向答案考点二向量线性运算例福建卷设为平行四边形对角线交点，为平行四边形所在平面内任意点，则等于设，分别是边，上点若，为实数，则值为听课记录因为是和中点，由平行四边形法则，得所以故选由题意，所以即答案规律方法在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则三角形法则，利用三角形中位线相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系向量来求解变式思考若是所在平面内点，为边中点，且，那么青岛模拟在中，点在线段延长线上，且，点在线段上与点，不重合，若，则取值范围是，，，，解析因为是边中点，所以有，所以⇒设，点在线段上与点，不重合，，，答案考点三共线定理及应用例设两个非零向量和不共线如果，求证三点共线如果，且三点共线，求值思维启迪三点共线⇔存在实数使三点共线⇔存在实数使听课记录又与共线又与有公共点，三点共线三点共线，，从而存在实数，使得又，是不共线非零向量，实数值为规律方法向量共线充要条件要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线其他向量，注意待定系数法运用和方程思想证明三点共线可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线区别若三点共线，则变式思考设，是两个不共线向量，已知求证三点共线若，且三点共线，求值解证明由已知得又有公共点，三点共线由可知，且，由三点共线得，即，得解得，拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高易错警示系列之六由向量共线求参数问题中易错点典例已知向量，不共线，且若与共线反向，则实数值为或或规范解答由于与共线反向，则存在实数使，于是，整理得由于，不共线，所以有整理得解得或又因为，所以，故答案误区警示下面解法中容易出现错误处忽视了与反向，从而漏掉范围限制处易忘记与关系及处