项和为，数列是等比数列，首项，且，求和通项公式令，求前项和听课记录设数列公差为，数列公比为，则则，即，因为是单调递增等差数列，所以，所以，由知，是偶数是奇数当是偶数时，„„„„当是奇数时，综上可得，，是偶数，，是奇数规律方法等差数列等比数列综合问题解题策略分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解中间问题，如为求和需要先求出通项为求出通项需要先求出首项和公差公比等，确定解题顺序注意细节在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列公比不能确定，则要看其是否有等于可能，在数列通项问题中第项和后面项能否用同个公式表示等，这些细节对解题影响也是巨大变式思考在等比数列中，公比，设，且，求证数列是等差数列求前项和及通项解证明，为常数，数列为等差数列且公差设数列公差为，解得，，考点二数列与函数综合应用例已知数列首项，前项和为，且求数列通项公式设函数„，是函数导函数，令，求数列通项公式，并研究其单调性听课记录由得，两式相减得，可得，又由已知，所以，即是个首项为，公比为等比数列，所以因为„，所以„„„令„，则„，作差得，所以即，而，所以作差得，所以是单调递增数列规律方法数列与函数综合问题主要有以下两类已知函数条件，解决数列问题，此类问题般利用函数性质图象研究数列问题已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题般要充分利用数列范围公式求和方法对式子化简变形解题时要注意数列与函数内在联系，灵活运用函数思想方法求解，在问题求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列常用解决方法有助于该类问题解决变式思考设函数所有正极小值点从小到大排成数列为求数列通项公式设前项和为，求解令，得，解得由是第个正极小值点知，由可知，„考点三数列与不等式综合应用例已知，数列前项和为，点，在曲线上，且求数列通项公式求证，听课记录，且数列是等差数列，首项，公差，证明，„„规律方法与数列有关不等式证明常用方法有比较法作差作商放缩法利用函数单调性数学归纳法等其中利用所有正极小值点从小到大排成数列为求数列通项公式设前项和为，求解令，得，解得由是第个正极小值点知，由可知，„考点三数列与不等式综合应用例已知，数列前项和为，点，在曲线上，且求数列通项公式求证，听课记录，且数列是等差数列，首项，公差，证明，„„规律方法与数列有关不等式证明常用方法有比较法作差作商放缩法利用函数单调性数学归纳法等其中利用不等式放缩证明是个热点，常常出现在高考压轴题中，是历年命题热点，利用放缩法解决“数列不等式”问题通常有两条途径是先放缩再求和，二是先求和再放缩变式思考湖北七市模拟数列是公比为等比数列，且是与等比中项，前项和为数列是等差数列其前项和满足为常数，且求数列通项公式及值比较„与大小解由题意得，即，解得，设公差为，又即，，解得，或，舍，由知，，又，，„„，由可知„考点四数列实际应用例公司下属企业从事种高科技产品生产该企业第年年初有资金万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了预计以后每年资金增长率与第年相同公司要求企业从第年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下年生产设第年年底企业上缴资金后剩余资金为万元用表示并写出与关系式若公司希望经过年使企业剩余资金为万元，试确定企业每年上缴资金值用表示思维启迪先求，再求，最后写出与关系根据递推关系式子特征利用迭代方法或构造新等比数列求出通项公式，代入已知数据解方程即可得结论听课记录由题意得，由得„„整理得由题意即解得故该企业每年上缴资金值为时，经过年企业剩余资金为万元规律方法用数列知识解相关实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论在现实生活中，人口与住房增长产量增加成本降低存贷款利息计算等，都可以考虑利用数列模型来解决变式思考商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格这里，被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数恰好使得是和等比中项据此可得，最佳乐观系数值等于解析由已知，有，把代入上式，得，即，即，解得，因为，所以最佳乐观系数值等于答案第五章数列第五节数列综合应用基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向能在具体问题情境中识别数列等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应问题备考知考情以递推为背景，考查数列通项公式与前项和公式等差数列等比数列综合考查数列基本计算考查数列与函数不等式解析几何综合问题，且以解答题形式出现理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点等差数列和等比数列综合等差数列中最基本量是其首项和公差，等比数列中最基本量是其首项和公比，在等差数列和等比数列综合问题中就是根据已知条件建立方程组求解出这两个数列基本量解决问题知识点二数列和函数不等式综合等差数列通项公式和前项和公式在公差情况下是关于次或二次函数等比数列通项公式和前项和公式在公比情况下是公比指数函数模型数列常与不等式结合，如比较大小不等式恒成立求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中相关问题知识点三数列应用题解决数列应用题基本步骤是根据实际问题要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题已知根据等差数列和等比数列知识以及实际问题要求建立数学模型求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论数列应用题常见模型等差模型如果增加或减少量是个固定量，该模型是等差数列模型，增加或减少量就是公差等比模型如果后个量与前个量比是个固定数，该模型是等比数列模型，这个固定数就是公比递推数列模型如果题目中给出前后两项之间关系不固定，随项变化而变化时，应考虑是与递推关系，或前项和与之间递推关系对点自测知识点等差数列和等比数列综合数列是各项均为正数等比数列，是等差数列，且，则有与大小不确定解析，当且仅当时，不等式取等号答案设曲线在点,处切线与轴交点横坐标为令，则„值为解析，它在点,处切线方程为，与轴交点横坐标为由得，于是„„答案知识点二数列和函数不等式综合已知等比数列各项均为不等于正数数列满足则数列前项和最大解析常数，为等差数列，可得由，知，最大答案或已知数列前项和为，对任意都有，若，则值为解析由，得当时则当时即令，得，可知故数列是以为首项，为公比等比数列则，即由，，得答案知识点三数列应用题学校高高二高三共计名学生，三个年级学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级人数是解析由题意可设高高二高三三个年级人数分别为则，解得故高二年级共有人答案有种细菌和种病毒，每个细菌在每秒钟杀死个病毒同时将自身分裂为个，现在有个这样细菌和个这样病毒假设病毒不繁殖，问细菌将病毒全部杀死至少需要秒钟秒钟秒钟秒钟解析设至少需秒钟，则„，即，解得答案研考点知规律通法悟道热点命题深度剖析问题探究问题解决等差等比数列综合问题般方法是什么对于等差等比数列综合问题，应重点分析等差等比数列通项，前项和以及等差等比数列项之间关系，往往用到转化与化归思想方法问题数列与函数不等式综合问题常见类型及解题策略是什么数列与不等式恒成立问题此类问题常构造函数，通过函数单调性极值等解决问题与数列有关不等式证明问题，解决此类问题要灵活选择不等式证明方法，如比较法综合法分析法放缩法等问题数列应用题常见模型有哪些等差模型如果增加或减少量是个固定量时，该模型是等差模型，增加或减少量就是公差等比模型如果后个量与前个量比是个固定数时，该模型是等比模型，这个固定数就是公比递推数列模型如果题目中给出前后两项之间关系不固定，随项变化而变化时，应考虑是与递推关系，还是与之间递推关系高频考点考点等差数列与等比数列综合应用例南昌模拟已知是单调递增等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项，且，求和通项公式令，求前项和听课记录设数列公差为，数列公比为，则则，即，因为是单调递增等差数列，所以，所以，由知，是偶数是奇数当是偶数时，„„„„当是奇数时，综上可得，，是偶数，，是奇数规律方法等差数列等比数列综合问题解题策略分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解中间问题，如为求和需要先求出通项为求出通项需要先求出首项和公差公比项和为，数列是等比数列，首项，且，求和通项公式令，求前项和听课记录设数列公差为，数列公比为，则则，即，因为是单调递增等差数列，所以，所以，由知，是偶数是奇数当是偶数时，„„„„当是奇数时，综上可得，，是偶数，，是奇数规律方法等差数列等比数列综合问题解题策略分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解中间问题，如为求和需要先求出通项为求出通项需要先求出首项和公差公比等，确定解题顺序注意细节在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列公比不能确定，则要看其是否有等于可能，在数列通项问题中第项和后面项能否用同个公式表示等，这些细节对解题影响也是巨大变式思考在等比数列中，公比，设，且，求证数列是等差数列求前项和及通项解证明，为常数，数列为等差数列且公差设数列公差为，解得，，考点二数列与函数综合应用例已知数列首项，前项和为，且求数列通项公式设函数„，是函数导函数，令，求数列通项公式，并研究其单调性听课记录由得，两式相减得，可得，又由已知，所以，即是个首项为，公比为等比数列，所以因为„，所以„„„令„，则„，作差得，所以即，而，所以作差得，所以是单调递增数列规律方法数列与函数综合问题主要有以下两类已知函数条件，解决数列问题，此类问题般利用函数性质图象研究数列问题已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题般要充分利用数列范围公式求和方法对式子化简变形解题时要注意数列与函数内在联系，灵活运用函数思想方法求解，在问题求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列常用解决方法