，要证当时结论成立，只需证，即证，由基本不等式得成立，故成立，所以，当时，结论成立由可知，时，不等式„成立规律方法当遇到与正整数有关不等式证明时，应用其它办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法用数学归纳法证明不等式关键是由成立，推证时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法综合法作差作商比较法放缩法等证明变式思考已知数列，求证当时证明当时，因为是方程正根，所以，得，即当时也成立根据和，可知对任何都成立考点三归纳猜想证明例已知数列中，为常数，是前项和，且是与等差中项求猜想表达式，并用数学归纳法加以证明听课记录由已知得当时当时，由„猜想证明当时，左边，右边，当时，等式成立当时，左边，右边，当时，等式成立假设，时，等式成立，即，则当时将代入，得当时，等式也成立由可知，对任何正整数，等式都成立规律方法归纳猜想证明是高考重点考查内容之，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本题从特例入手，通过观察分析归纳猜想，探索出般规律数列是定义在上函数，这与数学归纳法所运用范围是致，并且数列递推公式与归纳原理实质上是致，数列中有不少问题常用数学归纳法解决变式思考已知数列满足猜想数列单调性，并证明你结论解由及，得，由，猜想数列是递减数列下面用数学归纳法证明当时，已证命题成立假设当时命题成立，即，易知，那么，即也就是说，当时命题也成立结合知，又命题成立拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高大题巧突破系列之五数学归纳法在数列中应用典例安徽卷设实数，整数，证明当且时，数列满足证明规范解答用数学归纳法证明当时，原不等式成立假设当，时，不等式成立，则当时时，原不等式也成立综合可得，当且时，对切整数，不等式均成立先用数学归纳法证明，当时，由题设，知成立假设当，时，不等式成立，由易知，，则当时，，由，得因此，即，当时，不等式也成立综合可得，对切正整数，不等式均成立，再由，可得，名师点评本题考查数学归纳法，导数应用，不等式性质，体现了转化与化归思想，考查分析推理能力与运算能力本题重点考查数学归纳法应用，与数列相关证明题目，般会想到使用数学归纳法证明，数学归纳法证明步骤是固定，而且时假设定要在时证明过程中应用到对应训练广东卷设证当时证明当时，因为是方程正根，所以，得，即当时也成立根据和，可知对任何都成立考点三归纳猜想证明例已知数列中，为常数，是前项和，且是与等差中项求猜想表达式，并用数学归纳法加以证明听课记录由已知得当时当时，由„猜想证明当时，左边，右边，当时，等式成立当时，左边，右边，当时，等式成立假设，时，等式成立，即，则当时将代入，得当时，等式也成立由可知，对任何正整数，等式都成立规律方法归纳猜想证明是高考重点考查内容之，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本题从特例入手，通过观察分析归纳猜想，探索出般规律数列是定义在上函数，这与数学归纳法所运用范围是致，并且数列递推公式与归纳原理实质上是致，数列中有不少问题常用数学归纳法解决变式思考已知数列满足猜想数列单调性，并证明你结论解由及，得，由，猜想数列是递减数列下面用数学归纳法证明当时，已证命题成立假设当时命题成立，即，易知，那么，即也就是说，当时命题也成立结合知，又命题成立拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高大题巧突破系列之五数学归纳法在数列中应用典例安徽卷设实数，整数，证明当且时，数列满足证明规范解答用数学归纳法证明当时，原不等式成立假设当，时，不等式成立，则当时时，原不等式也成立综合可得，当且时，对切整数，不等式均成立先用数学归纳法证明，当时，由题设，知成立假设当，时，不等式成立，由易知，，则当时，，由，得因此，即，当时，不等式也成立综合可得，对切正整数，不等式均成立，再由，可得，名师点评本题考查数学归纳法，导数应用，不等式性质，体现了转化与化归思想，考查分析推理能力与运算能力本题重点考查数学归纳法应用，与数列相关证明题目，般会想到使用数学归纳法证明，数学归纳法证明步骤是固定，而且时假设定要在时证明过程中应用到对应训练广东卷设数列前项和为，满足，，且求值求数列通项公式解又，所以，又，所以，综上，知由猜想，下面用数学归纳法证明当时，结论显然成立假设当时则„又，所以，解得所以，即当时，结论成立由知，对∀，第六章不等式推理与证明第七节数学归纳法基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向了解数学归纳法原理能用数学归纳法证明些简单数学命题备考知考情高考对数学归纳法较少单独考查，般和合情推理数列不等式平面几何等知识结合，在知识交汇点处命题，题型以解答题为主，难度中等偏上理教材夯基础厚积薄发基础回扣自主学习知识梳理知识点数学归纳法数学归纳法适用对象数学归纳法是用来证明关于与有关命题种方法，若是起始值，则是正整数使命题成立最小正整数数学归纳法证题步骤证明当取时命题成立假设，时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始所有正整数都成立第个值对点自测知识点数学归纳法在应用数学归纳法证明凸边形对角线为条时，第步检验等于解析三角形是边数最少凸多边形，故第步应检验答案若„，则为非以上答案解析，故选答案已知为正偶数，用数学归纳法证明„„时，若已假设且为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证时等式成立时等式成立时等式成立时等式成立解析为偶数，则为偶数，故选答案设„，则解析„，„答案用数学归纳法证明“„”，由不等式成立，推证时，左边应增加项项数是解析由到时，不等式左端增加项为„，共增加项答案研考点知规律通法悟道热点命题深度剖析问题探究问题第个值是否定为呢数学归纳法两个步骤有何关系不定，要看题目中要求，如当时，则第个值应该为数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推依据，也叫归纳递推两者缺不可问题归纳假设有什么特征归纳假设就是已知条件在推证时，必须用上归纳假设问题数学归纳法中第二步证明有什么技巧在推证时，可以通过凑拆配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握与之间关系，在推证时，分析法综合法反证法等方法都可以应用高频考点考点用数学归纳法证明等式例设„求证„，听课记录当时，左边右边，左边右边，等式成立假设时，结论成立，即„，那么，当时，„，当时结论仍然成立由可知，„，规律方法用数学归纳法证明等式时，要注意第步中验证值，如本题要取，在第步证明中应在归纳假设基础上推证等式也成立，但必须用上归纳假设变式思考用数学归纳法证明下列等式„证明当时，等式左边，等式右边，等式成立假设时等式成立，即„成立，那么当时，„，即时等式成立由可知，对任意等式均成立考点二用数学归纳法证明不等式例潍坊模拟等比数列前项和为，已知对任意，点，均在函数且均为常数图象上求值当时，记，证明对任意，不等式„成立听课记录由题意当时，所以由于且，所以时，是以为公比等比数列又所以，即，解得由及知，因此，所证不等式为„当时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设，时结论成立，即„，则当时，„，要证当时结论成立，只需证，即证，由基本不等式得成立，故成立，所以，当时，结论成立由可知，时，不等式„成立规律方法当遇到与正整数有关不等式证明时，应用其它办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法用数学归纳法证明不等式关键是由成立，推证时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法综合法作差作商比较法放缩法等证明变式思考已知数列，求证当时证明当时，因为是方程正根，所以，得，即当时也成立根据和，可知对任何都成立考点三归纳猜想证明例已知数列中，为常数，是前项和，且是与等差中项求猜想表达式，并用数学归纳法加以证明听课记录由已知得，要证当时结论成立，只需证，即证，由基本不等式得成立，故成立，所以，当时，结论成立由可知，时，不等式„成立规律方法当遇到与正整数有关不等式证明时，应用其它办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法用数学归纳法证明不等式关键是由成立，推证时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法综合法作差作商比较法放缩法等证明变式思考已知数列，求证当时证明当时，因为是方程正根，所以，得，即当时也成立根据和，可知对任何都成立考点三归纳猜想证明例已知数列中，为常数，是前项和，且是与等差中项求猜想表达式，并用数学归纳法加以证明听课记录由已知得当时当时，由„猜想证明当时，左边，右边，当时，等式成立当时，左边，右边，当时，等式成立假设，时，等式成立，即，则当时将代入，得当时，等式也成立由可知，对任何正整数，等式都成立规律方法归纳猜想证明是高考重点考查内容之，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本题从特例入手，通过观察分析归纳猜想，探索出般规律数列是定义在上函数，这与数学归纳法所运用范围是致，并且数列递推公式与归纳原理实质上是致，数列中有不少问题常用数学归纳法解决变式思考已知数列满足猜想数列单调性，并证明你结论解由及，得，由，猜想数列是递减数列下面用数学归纳法证明当时，已证命题成立假设当时命题成立，即，易知，那么，即也就是说，当时命题也成立结合知，又命题成立拓思维提能力启智培优特色专题感悟提高大题巧突破系列之五数学归纳法在数列中应用典例安徽卷设实数，整数，证明当且时，数列满足证明规范解答用数学归纳法证明当时，原不等式成立假设当，时，不等式成立，则当时时，原不等式也成立综合可得，当且时，对切整数，不等式均成立先用数学归纳法证明，当时，由题设，知成立假设当，时，不等式成立，由易知，，则当时，，由，得因此，即，当时，不等式也成立综合可得，对切正整数，不等式均成立，再由，可得，名师点评本题考查数学归纳法，导数应用，不等式性质，体现了转化与化归思想，考查分析推理能力与运算能力本题重点考查数学归纳法应用，与数列相关证明题目，般会想到使用数学归纳法证明，数学归纳法证明步骤是固定，而且时假设定要在时证明过程中应用到对应训练广东卷设