求分段函数函数值时，应根据所给自变量大小选择相应段解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值求自变量值，应根据每段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段自变量取值范围探究提高根据统计，名工人组装第件产品所用时间单位分钟为，为常数已知工人组装第件产品用时分钟，组装第件产品用时分钟，那么和值分别是变式训练由函数解析式可以看出，组装第件产品所需时间为，故组装第件产品所需时间为，解得，将代入，得,分设函数，若求关于方程解易错警示忽略分段函数中自变量限制条件致误学生解答展示条件中所适合解析式是，对应法则，，三角形，对应法则对中三角形求面积与集合中元素对应函数与映射由于中集合中元素在集合中没有对应元素，并且中集合不是数集，所以和都不是集合上函数由题意知，正确函数是种特殊对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验定义域和对应法则是否给出根据给出对应法则，自变量在其定义域中每个值，是否都有惟确定函数值探究提高已知，为两个不相等实数，集合表示把中元素映射到集合中仍为，则变式训练由已知可得，故，⇒所以，是方程两根，故已知映射其中，对应法则，对于实数，在集合中不存在元素与之对应，则取值范围是由题意知，方程无实数根，即无实数根时满足题意，例如图，有直角墙角，两边长度足够长，在处有棵树与两墙距离分别是，不考虑树粗细现在想用长篱笆，借助墙角围成个矩形花圃设此矩形花圃面积为，最大值为，若将这棵树围在花圃内，则函数图象大致是填图象序号函数表示方法设出和边长，将用函数表示出来，用函数观点来研究最值设则，当故只有图象符合答案当时，面积最大值为定值当时，面积最大值是个以为自变量二次函数，且在区间,上是递减分类讨论思想是解决本题关键探究提高“龟兔赛跑”讲述了这样故事领先兔子看着慢慢爬行乌龟，骄傲起来，睡了觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点„„，用，分别表示乌龟和兔子所行路程，为时间，则下图与故事情节相吻合是填图象序号变式训练根据故事描述，图象与事实相吻合例定义在上函数满足，则值为分段函数及其应用注意到较大，较难代入计算求出值，所以可通过取较小数值探究函数值规律性，再求也可以先用推理方法得出规律性，再求方法由已知得„所以值以为周期重复出现，因此，方法二时两式相加得，周期为，因此，求分段函数函数值时，应根据所给自变量大小选择相应段解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值求自变量值，应根据每段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段自变量取值范围探究提高根据统计，名工人组装第件产品所用时间单位分钟为，为常数已知工人组装第件产品用时分钟，组装第件产品用时分钟，那么和值分别是变式训练由函数解析式可以看出，组装第件产品所需时间为，故组装第件产品所需时间为，解得，将代入，得,分设函数，若求关于方程解易错警示忽略分段函数中自变量限制条件致误学生解答展示条件中所适合解析式是为映射，即看中元素是否满足“每元有象”和“且象惟”但要注意中不同元素可有相同象，即允许多对，但不允许对多中元素可无原象，即中元素可有剩余求分段函数应注意问题在求分段函数值时，定要首先判断属于定义域哪个子集，然后再代入相应关系式分段函数值域应是其定义域内不同子集上各关系式取值范围并集失误与防范函数与映射概念异同函数映射两集合设是两个非空设是两个非空对应关系如果按照种确定对应关系,使对于集合中个在集合中都有数和它对应如果按个确定对应关系，使对于集合中个元素在集合中都有唯确定元素与之对应名称称为从集合到集合个函数称对应为从集合到集合个映射记法，对应是个映射数集集合数唯确定任意任意要点梳理☞用解析法表示函数关系优点是函数关系清楚，容易根据自变量值求出对应函数值，便于用解析式来研究函数性质课堂互动讲练考点函数三种表示方法☞用图象法表示函数关系优点是能直观形象地表示出函数值变化情况☞用列表法表示函数关系优点是不必通过计算就知道自变量取些值时函数对应值例已知人在年月份至月份月经济收入如下月份为元，从月份起每月月经济收入是其上个月倍，用列表图象解析式三种不同形式来表示该人月份至月份月经济收入元与月份序号函数关系，并指出该函数定义域值域和对应法则考点函数三种表示方法解列表法解图象法解解析法解析式,其中定义域为值域为,对应法则规律小结列表法图象法和解析式法是表示函数三种方法，其实质是样，只是形式上区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用在对待不同题目时，选择不同表示方法，因为有函数根本写不出其解析式考点函数三种表示方法判断对应是否为映射，即看中元素是否满足“每元有象”和“象唯”，即可以是“对”或者“多对”形成函数时，即函数定义域，但不定是值域如果中元素都有原象，则才是值域，即函数就是从定义域到值域映射考点二函数与映射已知函数，分别由下表给出则值为满足值是例解析当时，而不适合，当时，不等式成立考点二函数与映射设集合，则从到映射共有个变式变式变式总结函数定义中应注意，是两个非空数集，函数值域与关系是⊆在映射中，集合与地位是不对等，在集合中不要求每个元素在集合中都有元素与之对应，即集合中可以有空闲元素设集合那么下面个图形中，能表示集合到集合函数关系有由映射定义，要使函数在定义域上都有图象，并且个对应着个，据此排除，中值域为不合题意变式变式变式山东设函数值为则,走进高考陕西定义在上函数满足,则等于走进高考解题是种实践性技能,就象游泳滑雪弹钢琴样，只能通过模仿和实践来学到它！波利亚，对应法则，，三角形，对应法则对中三角形求面积与集合中元素对应函数与映射由于中集合中元素在集合中没有对应元素，并且中集合不是数集，所以和都不是集合上函数由题意知，正确函数是种特殊对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验定义域和对应法则是否给出根据给出对应法则，自变量在其定义域中每个值，是否都有惟确定函数值探究提高已知，为两个不相等实数，集合表示把中元素映射到集合中仍为，则变式训练由已知可得，故，⇒所以，是方程两根，故已知映射其中，函数及其表示第二讲函数及其性质之函数及其表示函数基本概念函数定义设，是两个非空，如果按照种对应法则，使对于集合中每个元素，在集合中都有元素和它对应，那么这样对应叫做从到个函数，记作函数定义域值域在函数，中，叫做自变量，取值范围叫做函数与值相对应值叫做函数值，函数值集合叫做函数忆忆知识要点数集惟，定义域值域函数三要素和定义域值域对应关系要点梳理相等函数如果两个函数和完全致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等依据函数表示法表示函数常用方法有映射概念设是两个非空集合，如果按种对应法则，对于中每个元素，在中都有确定元素与之对应，那么这样单值对应叫做集合到集合忆忆知识要点定义域对应法则列表法解析法图象法惟映射函数与映射关系由映射定义可以看出，映射是概念推广，函数是种特殊映射，要注意构成函数两个集合，必须是非空数集函数要点梳理难点正本疑点清源映射特征映射是特殊对应，其“特殊性”在于，它只能是“对”或“多对”对应，不能是“对多”对应故判断个对应是否为映射方法是首先检验集合中每个元素是否在集合中都有象然后看集合中每个元素象是否惟另外还要注意，映射是有方向性，即到映射与到映射是不同对映射定义搞清如下几点“对应法则”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中”对应法则未必都能用解析式表达中每个元素都有象，且惟中元素未必有原象，即使有，也未必惟若对应法则为，则象记为函数与映射区别与联系函数是特殊映射，其特殊性在于，集合与集合只能是非空数集，即函数是非空数集到非空数集映射映射不定是函数，从到个映射，若不是数集，则这个映射便不是函数例有以下判断与表示同函数函数图象与直线交点最多有个与是同函数若，则其中正确判断序号是函数概念及应用可从函数定义定义域和值域等方面对所给结论进行逐分析判断对于，由于函数定义域为且，而函数定义域是，所以二者不是同函数对于，与定义域值域和对应法则均相同，所以和表示同函数对于，若不是定义域值，则直线与图象没有交点，如果是定义域内值，由函数定义可知，直线与图象只有个交点，即图象与直线最多有个交点对于，由于，所以综上可知，正确判断是，答案函数三要素定义域值域对应关系这三要素不是，值域可由定义域和对应法则惟确定因此当且仅当定义域和对应法则都相同函数才是同函数特别值得说明是，对应法则是就效果而言判断两个函数对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中任意个相同自变量值，按照这两个对应法则算出函数值是否相同不是指形式上即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质若是用解析式表示，要看化简后形式才能正确判断探究提高试判断以下各组函数是否表示同函数，变式训练定义域为，定义域为且，它们不是同函数定义域为定义域为或，它们不是同函数它们定义域和对应法则都相同，它们是同函数定义域为，定义域为，它们不是同函数例下列对应法则是集合上函数是对应法则对集合中元素取绝对值与集合中元素相对应对应法则，，三角形，对应法则对中三角形求面积与集合中元素对应函数与映射由于中集合中元素在集合中没有对应元素，并且中集合不是数集，所以和都不是集合上函数由题意知，正确函数是种特殊对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验定义域和对应法则是否给出根据给出对应法则，自变量在其定义域中每个值，是否都有惟确定函数值探究提高已知，为两个不相等实数，集合表示把中元素映射到集合中仍为，则变式训练由已知可得，故，⇒所以，是方程两根，故已知映射其中，对应法则，对于实数，在集合中不存在元素与之对应，则取值范围是由题意知，方程无实数根，即无实数根时满足题意，