取值范围是或或分批阅笔记数学解题过程就是个转换过程解题质量高低，取决于每步等价转换规范程度如果每步等价转换都是正确规范，那么这个解题过程就定是规范等价转化要做到规范，应注意以下几点要有明确语言表示如等价于，变形为要写明转化条件如本例中为偶函数，不等式等价于转化结果要等价如本例由于⇒，且若漏掉，则这个转化就不等价了正确理解奇函数和偶函数定义，必须把握好两个问题定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数必要非充分条件或是定义域上恒等式奇偶函数定义是判断函数奇偶性主为偶函数例定义在,上函数ⅰ对任意，,都有ⅱ当，时，回答下列问题判断在,上奇偶性，并说明理由判断函数在,上单调性，并说明理由若，试求值函数单调性与奇偶性利用函数奇偶性单调性定义判断根据条件，恰当赋值，变换出符合定义条件解令⇒，令，则⇒⇒在,上是奇函数设，即当，在,上单调递减由于，同理，，，对于抽象函数单调性和奇偶性判断般要紧扣定义通过赋值要出现与大小关系，与关系就本题来讲要注意运用条件探究提高函数是奇函数，且当，时是增函数，若，求不等式，即，解得或若，则由，解得∅原不等式解集是或例设是定义在上奇函数，且对任意实数，恒有当,时，求证是周期函数当,时，求解析式计算„函数奇偶性与周期性只需证明，即可说明是周期函数由在,上解析式求得在,解析式，进而求在,上解析式由周期性求和证明，是周期为周期函数解，又即，,解，又是周期为周期函数，„„判断函数周期只需证明便可证明函数是周期函数，且周期为，函数周期性常与函数其他性质综合命题，是高考考查重点问题探究提高已知是定义在上偶函数，并且，当时则变式训练解析由已知，可得故函数周期为，由题意，得分函数定义域，且满足对于任意，有求值判断奇偶性并证明如果且在，上是增函数，求取值范围等价转换要规答题规范学生解答展示从联想自变量值为，进而想到赋值判断奇偶性，就是研究关系从而想到赋值，即就是要出现形式求解审题视角规范解答解令，有，解得分为偶函数，证明如下令，有，解得令有，为偶函数分，分由，变形为为偶函数，不等式等价于分又在，上是增函数且解得或或取值范围是或或分批阅笔记数学解题过程就是个转换过程解题质量高低，取决于每步等价转换规范程度如果每步等价转换都是正确规范，那么这个解题过程就定是规范等价转化要做到规范，应注意以下几点要有明确语言表示如等价于，变形为要写明转化条件如本例中为偶函数，不等式等价于转化结果要等价如本例由于⇒，且若漏掉，则这个转化就不等价了正确理解奇函数和偶函数定义，必须把握好两个问题定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数必要非充分条件或是定义域上恒等式奇偶函数定义是判断函数奇偶性主，必须把握好两个问题定义域在数轴上关于原点对称是函数为奇函数或偶函数必要非充分条件或是定义域上恒等式奇偶函数定义是判断函数奇偶性主要依据为了便于判断函数奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义等价形式⇔⇔奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于轴对称，反之也真利用这性质可简化些函数图象画法，也可以利用它去判断函数奇偶性方法与技巧判断函数奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性个必要条件判断函数是奇函数，必须对定义域内每个，均有，而不能说存在使对于偶函数判断以此类推分段函数奇偶性判定时，要以整体观点进行判断，不可以利用函数在定义域区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上奇偶性失误与防范奇函数偶函数概念般地,如果对于函数定义域内任意个,都有，那么函数就叫做偶函数般地,如果对于函数定义域内任意个,都有，那么函数就叫做奇函数忆忆知识要点要点梳理定义法利用性质函数奇偶性判定图象法画出函数图象,考查函数定义域是否关于原点对称判断之是否成立作出结论忆忆知识要点要点梳理个函数为奇函数⇔它图象关于原点对称个函数为偶函数⇔它图象关于轴对称性质奇函数在关于原点对称区间上具有相同单调性偶函数在关于原点对称区间上具有相反单调性在定义域关于原点对称公共区间内奇奇奇偶偶偶奇偶非奇非偶偶偶偶奇奇偶偶奇奇奇函数偶函数图象特点奇偶性与单调性关系设函数定义域关于原点对称,判断下列函数奇偶性任意个定义域关于原点对称函数,总可以表示成个奇函数与个偶函数和对于奇函数,若能取到零,则若为偶函数，则忆忆知识要点要点梳理此时应有,例已知定义在上奇函数，满足,且在区间,上是增函数,若方程在区间,上有四个不同根则既是偶函数,又是奇函数解函数定义域为例判断下列函数奇偶性解所以函数为奇函数定义域为,,解由且且即所以函数为奇函数,,又点评判断函数是否具有奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,其次要对解析式进行化简例定义在,上函数是奇函数,并且在,上是增函数,求满足条件取值范围解由,得是奇函数,在,上是增函数,,或故取值范围为例已知是奇函数,当时求当时,解析式,并画出此函数图象解当时当时,故即,又是奇函数,已知是定义在上奇函数,当时求函数表达式,已知是偶函数,是奇函数，,上图象如图所示，则不等式解集是是上偶函数,且在,上是增函数则不等式解集为,,,,,为偶函数例定义在,上函数ⅰ对任意，,都有ⅱ当，时，回答下列问题判断在,上奇偶性，并说明理由判断函数在,上单调性，并说明理由若，试求值函数单调性与奇偶性利用函数奇偶性单调性定义判断根据条件，恰当赋值，变换出符合定义条件解令⇒，令，则⇒⇒在,上是奇函数设，即当，在,上单调递减由于函数奇偶性与周期性第二讲函数及其性质之四奇偶函数概念般地，设函数定义域为如果对于任意，都有，那么称函数是偶函数如果对于任意，都有，那么称函数是奇函数奇函数图象关于原点对称偶函数图象关于轴对称奇偶函数性质奇函数在关于原点对称区间上单调性，偶函数在关于原点对称区间上单调性在公共定义域内，忆忆知识要点相同相反两个奇函数和是，两个奇函数积是偶函数奇函数要点梳理两个偶函数和积都是个奇函数，个偶函数积是周期性周期函数对于函数，如果存在个非零常数，使得当取定义域内任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数周期最小正周期如果在周期函数所有周期中存在个最小正数，那么这个最小正数就叫做最小正周期对称性若函数满足或，则函数关于直线对称忆忆知识要点偶函数奇函数要点梳理难点正本疑点清源函数奇偶性判断判断函数奇偶性主要根据定义般地，如果对于函数定义域内任意个，都有或，那么函数就叫做偶函数或奇函数其中包含两个必备条件定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题判断与是否具有等量关系在判断奇偶性运算中，可以转化为判断奇偶性等价关系式奇函数或偶函数是否成立函数奇偶性性质奇函数在关于原点对称区间上若有单调性，则其单调性完全相同偶函数在关于原点对称区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反若为偶函数，则若奇函数定义域中含有，则必有是为奇函数既不充分也不必要条件定义在关于原点对称区间上任意个函数，都可表示成“个奇函数与个偶函数和或差”复合函数奇偶性特点是“内偶则偶，内奇同外”既奇又偶函数有无穷多个如，定义域是关于原点对称任意个数集例判断下列函数奇偶性函数奇偶性判断确定函数奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证或其等价形式是否成立解由，得定义域为,又，即既是奇函数，又是偶函数由，得定义域,不关于原点对称既不是奇函数，也不是偶函数由，得且定义域为,关于原点对称，是奇函数判断函数奇偶性，其中包括两个必备条件定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利判断与是否具有等量关系在判断奇偶性运算中，可以转化为判断奇偶性等价等量关系式奇函数或偶函数是否成立分段函数指在定义域不同子集有不同对应关系函数，分段函数奇偶性判断，要分别从或来寻找等式或成立，只有当对称两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定奇偶性探究提高判断下列函数奇偶性，⇒，定义域关于原点对称又，故原函数是奇函数由且⇒时则当，故当时得定义域为,关于原点对称为偶函数例定义在,上函数ⅰ对任意，,都有ⅱ当，时，回答下列问题判断在,上奇偶性，并说明理由判断函数在,上单调性，并说明理由若，试求值函数单调性与奇偶性利用函数奇偶性单调性定义判断根据条件，恰当赋值，变换出符合定义条件解令⇒，令，则⇒⇒在,上是奇函数设，即当，在,上单调递减由于，同理，，，对于抽象函数单调性和奇偶性判断般要紧扣定义通过赋值要出现与大小关系，与关系就本题来讲要注意运用条件探究提高函数是奇函数，且当，时是增函数，若，求不等式，即，解得或若，则由，解得∅原不等式解集是或例设是定义在上奇函数，且对任意实数，恒有当,时，求证是周期函数当,时，求解析式计算„函数奇偶性与周期性只需证明，即可说明是周期函数由在,上解析式求得在,解析式，进而求在,上解析式由周期性求和证明，是周期为周期函数解，又