定义域关于原点对称，是奇函数抽象函数奇偶性证明已知函数，若对于任意实数，都有，求证为偶函数证明令得，令得，由得且定义域关于原点对称，函数为偶函数易错疑难辨析判断函数奇偶性错解由题意，得函数为奇函数辨析误解中没有讨论函数定义域，认为为奇函数正解函数定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数思想方法技巧判断函数奇偶性方法定义法首先判断函数定义域是否关于坐标原点对称，若关于坐标解析函数定义域为，关于原点对称函数是偶函数函数定义域为，关于原点对称函数是奇函数函数定义域为，，不关于原点对称，故函数既不是奇函数也不是偶函数用定义判断函数奇偶性分析判断分段函数奇偶性，要注意与是在不同“段”中，则与是不同关系式分段函数奇偶性判定解析解法任取，则对，，都有成立函数为奇函数解法二，，，，，即，则为奇函数点评判断分段函数奇偶性，必须分段考虑若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号函数表达式来表示判断函数时当时即时，综上所述，，有，故该函数为奇函数若是定义在上奇函数，当时，解析式求解，转化到上利用奇偶函数图象对称特征，求关于原点对称区间上解析式解析当时，当时，又为奇函数又当时，点评如果是奇函数，且在处有定义，则必有，这是因为若为奇函数，则对定义域内任意数，都有，当时，有，学年度安徽宿州市十三校高上学期期中测试已知函数是上奇函数，当时则函数解析式为答案解析令又为奇函数，又是上奇函数，已知函数，若对于任意实数都有，求证为奇函数分析因为对于任意实数都有，可以先令为些特殊值，从而得出证明令，则再令则且定义域关于原点对称，是奇函数抽象函数奇偶性证明已知函数，若对于任意实数，都有，求证为偶函数证明令得，令得，由得且定义域关于原点对称，函数为偶函数易错疑难辨析判断函数奇偶性错解由题意，得函数为奇函数辨析误解中没有讨论函数定义域，认为为奇函数正解函数定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数思想方法技巧判断函数奇偶性方法定义法首先判断函数定义域是否关于坐标原点对称，若关于坐标当时，点评如果是奇函数，且在处有定义，则必有，这是因为若为奇函数，则对定义域内任意数，都有，当时，有，学年度安徽宿州市十三校高上学期期中测试已知函数是上奇函数，当时则函数解析式为答案解析令又为奇函数，又是上奇函数，已知函数，若对于任意实数都有，求证为奇函数分析因为对于任意实数都有，可以先令为些特殊值，从而得出证明令，则再令则且定义域关于原点对称，是奇函数抽象函数奇偶性证明已知函数，若对于任意实数，都有，求证为偶函数证明令得，令得，由得且定义域关于原点对称，函数为偶函数易错疑难辨析判断函数奇偶性错解由题意，得函数为奇函数辨析误解中没有讨论函数定义域，认为为奇函数正解函数定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数思想方法技巧判断函数奇偶性方法定义法首先判断函数定义域是否关于坐标原点对称，若关于坐标原点不对称，则可以直接判断该函数既不是奇函数也不是偶函数若关于坐标原点对称，再判断是否等于或判断是否等于零图象法是奇偶函数充要条件是图象关于坐标原点轴对称性质法偶函数和差积商分母不为零仍为偶函数奇函数和差仍为奇函数奇偶数个奇函数积商分母不为零为奇偶函数个奇函数与个偶函数积为奇函数抽象函数奇偶性判断明确目标判断与关系用赋值法在已知抽象关系中凑出与用赋值法求特殊函数值复合函数奇偶性判断对于复合函数，若为偶函数，则为偶函数若为奇函数，为奇函数，则为奇函数若为奇函数，为偶函数，则为偶函数分段函数奇偶性判断判断分段函数，，奇偶性步骤ⅰ求定义域，判断定义域是否关于原点对称ⅱ当时，求，判断与关系ⅲ当时，求，判断与关系ⅳ结论注意事项ⅰ根据所属区间进行分类讨论，但书写时般先写相应所属区间ⅱ与需用不同分段上解析式，因为与所属区间不同ⅲ定义域内值应讨论全面，不能遗漏巧用奇偶函数图象特征由于偶函数图象关于轴对称，奇函数图象关于原点对称，因而在研究这类函数性质时，只需通过研究函数在，或，上情形，便可推断出函数在整个定义域上情形奇函数定义域是,且其图象部分如图所示，则不等式解集是解析由于是奇函数，所以图象关于原点对称，补全其图象，如图所示，从图上可以看出解集是,,答案,解析函数定义域为，关于原点对称函数是偶函数函数定义域为，关于原点对称函数是奇函数函数定义域为，，不关于原点对称，故函数既不是奇函数也不是偶函数用定义判断函数奇偶性分析判断分段函数奇偶性，要注意与是在不同“段”中，则与是不同关系式分段函数奇偶性判定解析解法任取，则对，，都有成立函数为奇函数解法二成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教版必修函数第二章函数第二章函数奇偶性第课时函数奇偶性定义课堂典例讲练易错疑难辨析课后强化作业课前自主预习思想方法技巧课前自主预习大自然是个真正设计师，它用对称方法创造了千百万种不同生命被誉为“上海之鸟”浦东国际机场设计模型，是只硕大无比展开双翅海鸥它两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高更广阔天地，创造更新更宏伟业绩些函数图象也有着如此美妙对称性，那么这种对称性体现了函数什么性质呢设函数定义域为，如果对于内任意个，都有，且，则这个函数叫做设函数定义域为，如果对于内任意个，都有，且，则这个函数叫做当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇函数图象关于对称偶函数图象关于对称奇函数偶函数奇偶性原点轴学年度山东枣庄第八中学高上学期期中测试下列函数中，既是奇函数又是增函数是答案解析函数是非奇非偶函数，函数是偶函数，函数不是增函数，故选对于定义域是任意奇函数，都有答案解析为奇函数，学年度济南市第中学高上学期期中测试函数是定义在上奇函数，当时则当又为奇函数时，已知函数图象关于原点对称，则实数答案解析由题意可知，函数是奇函数，又在处有意义，已知是定义在上奇函数，当时则在上解析式为答案，又是奇函数，判断下列函数奇偶性，解析，为偶函数定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数由，得函数既是奇函数又是偶函数课堂典例讲练判断下列函数是否具有奇偶性函数奇偶性判断分析判断函数奇偶性要先求定义域，再寻找与关系解析函数定义域为，又，函数是偶函数函数定义域为，，，又，函数是奇函数由，得，函数定义域为,不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数由，得，函数定义域为,，，函数是奇函数点评判断函数奇偶性，首先，要求出函数定义域，判断定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性必须具备个条件，否则，函数不具有奇偶性判断下列函数奇偶性解析函数定义域为，关于原点对称函数是偶函数函数定义域为，关于原点对称函数是奇函数函数定义域为，，不关于原点对称，故函数既不是奇函数也不是偶函数用定义判断函数奇偶性分析判断分段函数奇偶性，要注意与是在不同“段”中，则与是不同关系式分段函数奇偶性判定解析解法任取，则对，，都有成立函数为奇函数解法二，，，，，即，则为奇函数点评判断分段函数奇