点，对如下结论必须熟练掌握当，时，是它个最值，另个最值在区间端点取得当∉，时，最大值和最小值分别在区间两个端点处取得二次函数在个区间上最值问题处理，常常要利用数形结合思想和分类讨论思想，当二次函数表达式中含有参数或所给区间变化时，需要考察二次函数图象特征开口方向对称轴与该区间位置关系，抓住顶点横坐标是否属于该区间，结合函数单调性进行分类讨论和求解二次函数，当且时恒成立当且时恒成立二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化天津已知函数，若函数恰有个零点，则实数取值范围为解析作出函数图象，根据图象观察出函数图象与函数图，上为增函数，在，上为减函数，由，得，当，即时故当，即时故，，，点评求解二次函数在闭区间上最值问题，定要根据对称轴与区间相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数取值情况进行分类讨论，避免漏解本例易出现错误是直接利用二次函数最值在对称轴处取得这性质，而忽视对称轴与闭区间位置关系，不进行分类讨论三二次函数综合问题例设，若，求证方程有实根设，是方程两个实根，则解析若，则与已知矛盾，所以又由条件，所以方程判断式，故方程有实根由有又，所以，所以，因为，所以，所以由条件知所以又因为，所以，所以点评本题综合考查了二次函数，二次方程，二次不等式等基础知识和运用这些知识分析问题，解决问题能力，综合性较强备选题例设为实数，函数求最小值解析当时，若，则函数在，上单调递减，从而函数在，上最小值为若，则函数在，上最小值为，且当时，若，则函数在，上最小值为，且若，则函数在，上单调递增，从而函数在，上最小值为综上，当时，函数最小值是当时，函数最小值是点评要注意定义域对值域限制作用，即在定义域内用相应方法求值域要注意参数对值域影响，即要分类讨论要注意数形结合思想应用，即借助图象确定函数值域或最值二次函数元二次不等式和元二次方程是个有机整体，要深刻理解它们之间关系，运用函数方程思想方法将它们进行适当地转化，这是准确迅速解决此类问题关键对二次函数在，上最值研究是本讲内容重点，对如下结论必须熟练掌握当，时，是它个最值，另个最值在区间端点取得当∉，时，最大值和最小值分别在区间两个端点处取得二次函数在个区间上最值问题处理，常常要利用数形结合思想和分类讨论思想，当二次函数表达式中含有参数或所给区间变化时，需要考察二次函数图象特征开口方向对称轴与该区间位置关系，抓住顶点横坐标是否属于该区间，结合函数单调性进行分类讨论和求解二次函数，当且时恒成立当且时恒成立二次函数问题大多通过数形结合求解，同时注意分类讨论和等价转化天津已知函数，若函数恰有个零点，则实数取值范围为解析作出函数图象，根据图象观察出函数图象与函数图与相切时，在整个定义域内，图象与图象有个交点，此时，由，得由得，解得，或舍去，则当时，两个函数图象有个交点故实数取值范围是点评本题考查函数零点三个等价命题，画出函数图象是解题关键函数在区间，单调递增，则实数取值范围为，，，，函数与在同坐标系内图象大致是下图中解析因为定经过坐标原点，所以先排除，对两种情况进行讨论分析验证可知选若二次函数满足，则等于解析由得已知为奇函数，且当时又为奇函数，当，时，，设，若，且，则取值范围是解析，且当时，即，又，如图，已知二次函数为实数，图象过点且与轴交于，两点，若⊥，则值为解析设二次函数两个实根为，则由⊥，得，即，由根与系数关系得代入上式得，即又二次函数图象过点求函数在区间，上最值解析，其对称轴为当，即时，函数在区间，上单调递增，当，即时，由，得，且ⅰ当时ⅱ当时，当时，函数在区间，上单调递减已知函数，当，时，当，，时求在，内值域为何值时，不等式在，上恒成立解析由题意得和是函数零点且，则解得所以函数对称轴为，结合图象知，其在，内单调递减当时当时所以在，内值域为，方法令，则在，上单调递减要使在，上恒成立，则需，即，解得方法二不等式在，上恒成立，即在，上恒成立令，显然在，上单调递增，则，即当时，不等式在，上恒成立，上为增函数，在，上为减函数，由，得，当，即时故当，即时故，，，点评求解二次函数在闭区间上最值问题，定要根据对称轴与区间相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数取值情况进行分类讨论，避免漏解本例易出现错误是直接利用二次函数最值在对称轴处取得这性质，而忽视对称轴与闭区间位置关系，不进行分类讨论三二次函数综合问题例设，若，求证方程有实根设，第讲二次函数学习目标熟练掌握二次函数概念图象性质及其与元二次方程元二次不等式联系基础检测设，二次函数图象可能是解析若，可知其函数图象开口向上，且，在选项中，由两根异号知，选项满足已知，函数若，则解析由题意可得，结合得，函数，，值域是解析，，若函数在，上是减函数，则实数取值范围是，，，，解析因为，时，是减函数，则，即，选已知函数，若对于任意都有成立，则实数取值范围是，解析含参数二次函数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立，作出二次函数图象，根据条件结合图象列出关于不等式组求解作出二次函数图象，对于任意都有，则有，即，解得知识要点函数叫做二次函数，它定义域是，这是二次函数般形式另外，还有顶点式，其中，是抛物线顶点坐标两根式，其中，是抛物线与轴交点横坐标二次函数图象是条，经过配方，可得，顶点为，对称轴为直线抛物线，二次函数解析式及求法例已知二次函数图象经过点它在轴上截得线段长为，并且对任意，都有，则解析解法顶点式设，令，得设两根为即图象过点，即由式可得，解法二般式设，由题知设两根为则，即又由对称轴为直线，可得由联立方程组，解得点评求解二次函数解析式般有三种方法般式法已知三点般设为般式，即交点式法已知与轴交点坐标为般设为顶点式法已知顶点坐标坐标为可以设顶点式为二二次函数最值例已知函数讨论函数单调性若，且在，上最大值为，最小值为，令，求表达式解析当时，函数在，上为减函数当时，函数图象开口向上，对称轴为，函数在，上为减函数，在，上为增函数当时，函数在，上为增函数，在，上为减函数，由，得，当，即时故当，即时故，，，点评求解二次函数在闭区间上最值问题，定要根据对称轴与区间相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数取值情况进行分类讨论，避免漏解本例易出现错误是直接利用二次函数最值在对称轴处取得这性质，而忽视对称轴与闭区间位置关系，不进行分类讨论三二次函数综合问题例设，若，求证方程有实根设，是方程两个实根，则解析若，则与已知矛盾，所以又由条件，所以方程判断式