，且指数幂运算性质和指数函数及幂函数图象是本讲研究重点知识，定要熟记指数乘除运算般要求在同底数状态下进行，所以在进行指数运算时，先将指数式化为同底数解指数不等式，般将不等式两边化为同底数指数形式，再利用单调性转化为简单不等式求解当底数中出现参数时，要注意对底数取值范围加以讨论凡涉及到图象问题，可画出草图，利用数形结合求解，往往快捷准确，对解填空选择题特别有效比较两个幂值大小是种常见题型，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，指数不同，可利用指数函数单调性如果底数不同，指数相同，可利用图象见下表或利用幂函数性质如果指数底数都不同，可引入中间量底关系图象底大于时，底大者靠近轴底小于时，底小者靠近轴湖南若，则用指数幂各种运算性质，以及分解配方等技巧利用分数指数幂来进行根式运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂运算性质进行计算二指数函数图象及性质例函数图象关于直线对称图象大致是若函数，在，上最大值为，最小值为，且函数在，上是增函数，则解析反函数为可得选由在，上是增函数知，即若，即是减函数适合题意若，则是增函数不合题意综上知点评指数函数图象过定点，那么对于指数型函数图象则要考虑平移画图指数型函数在区间上最值定要抓函数单调性来分析三指数函数综合应用例已知且求函数定义域讨论奇偶性求取值范围，使在定义域上恒成立解析由于，则，得，所以函数定义域为，对于定义域内任意，有是偶函数当时，对，由指数函数性质知，又时，即当时，又由，为偶函数，知，当时有成立综上知时，在定义域上恒成立对于时当时，此时，不满足题意当时，也不满足题意综上，所求取值范围是点评判定此类函数奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要形式，另外，还可利用求来判定可借助函数奇偶性，研究函数其他性质，这样做好处是避免了自变量取值讨论备选题例已知函数满足，其中，且对于函数，当，时求实数取值范围当，时，值恒为负数，求取值范围解析令，则易证在上是递增奇函数由及为奇函数，得，再由单调性及定义域，得，是上增函数，在上也是增函数由得要使在，上恒为负数，只须，即且指数幂运算性质和指数函数及幂函数图象是本讲研究重点知识，定要熟记指数乘除运算般要求在同底数状态下进行，所以在进行指数运算时，先将指数式化为同底数解指数不等式，般将不等式两边化为同底数指数形式，再利用单调性转化为简单不等式求解当底数中出现参数时，要注意对底数取值范围加以讨论凡涉及到图象问题，可画出草图，利用数形结合求解，往往快捷准确，对解填空选择题特别有效比较两个幂值大小是种常见题型，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，指数不同，可利用指数函数单调性如果底数不同，指数相同，可利用图象见下表或利用幂函数性质如果指数底数都不同，可引入中间量底关系图象底大于时，底大者靠近轴底小于时，底小者靠近轴湖南若，则解析根据所给选项中不等式特征构造函数求解设，则令，得根据函数与图象可知两函数图象交点因此函数在，上不是单调函数，故，选项不正确设，则又，函数在，上是减函数又点评不等式判断与证明般可利用函数单调性，需根据已知与结论构造相应函数下图给出四个幂函数图象，图象与函数大致对应是，，，，函数图象如图，其中为常数，则下列结论正确是，选函数在，上最大值与最小值和为，则值为解析方法当时，为增函数，其在，上最值分别为，即当时，为减函数即，这与相矛盾综上，值为方法二因为是单调函数，因此其必在区间，端点处取得最大值和最小值，因此有，从而设，，，则大小关系是解析在时是增函数而在时是减函数，故选在同直角坐标系中，函数，图象可能是解析方法分类讨论，再结合函数图象特点用排除法求解分，两种情形讨论当时，与均为增函数，但递增较快，排除当时，为增函数，为减函数，排除，由于递增较慢，所以选方法二利用基本初等函数图象性质进行排除幂函数图象不过，点，排除项中由对数函数图象知，而此时幂函数图象应是增长越来越快变化趋势，故错已知函数，则下列结论中，定成立是，即，选设，且，则等于解析故选若函数图象与轴有公共点，则取值范围是解析，要使函数图象与轴有公共点，则，设，是上偶函数求实数值证明在，上是增函数解析依题意，对切有，即，对切成立，由此得到，即又，证明法设，得，即在，上是增函数法二由，得当，时，有，此时，在，上是增函数用指数幂各种运算性质，以及分解配方等技巧利用分数指数幂来进行根式运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂运算性质进行计算二指数函数图象及性质例函数图象关于直线对称图象大致是若函数，在，上最大值为，最小值为，且函数在，上是增函数，则解析反函数为可得选由在，上是增函数知，即若，即是减函数适合题意若，则是增函数不合题意综上知点评指数函数图象过定点，那么对于指数型函数图象则要考虑平移画图指数型函数在区间上最值定第讲指数与指数函数幂函数学习目标了解指数幂概念掌握有理数指数幂运算性质掌握指数函数概念图象和性质了解幂函数概念，结合函数图象了解它们变化情况基础检测化成分数指数幂形式是解析原式，故选设则使函数定义域为，且为奇函数所有值为，解析在函数，中，只有函数和定义域为，且是奇函数，所以，故选函数，且图象可能是解析利用指数函数图象及平移变换求解解法令，得，即函数图象必过定点符合条件只有选项解法二当时，是由向下平移个单位，且过排除选项当时，是由向下平移个单位，因为，故排除选项当解析由又，故选知识要点根式概念如果个数次方等于且，那么这个数就叫做次方根，即若，，则式子叫做，叫，叫根式性质，次方根，当为奇数时，有个次方根为当为偶数时，若，有两个互为相反数次方根为，若，其次方根为，若，则无实数根根式根指数被开方数当为奇数时当为偶数时，有理数指数幂概念正整数指数幂零指数幂负指数幂分数指数幂根式个有理数指数幂运算性质注意逆用，，，指数函数概念图象和性质定义形如且函数叫指数函数图象定义域值域过点，即时，在上是在上是性质时时，幂函数般地，形如函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数在同平面直角坐标系中，幂函数图象比较如下熟记时幂函数图象是解决有关幂函数问题基础幂函数性质如下当时，幂函数有下列性质图象都通过点在第象限内，函数值随增大而增大在第象限内，过，点后，图象向右上方无限伸展当时，幂函数有下列性质图象都通过点在第象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近分式指数幂及根式化简与求值例计算下列各式值解析原式原式原式点评关于指数式运算，主要技能是熟练运用指数幂各种运算性质，以及分解配方等技巧利用分数指数幂来进行根式运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂运算性质进行计算二指数函数图象及性质例函数图象关于直线对称图象大致是若函数，在，上最大值为，最小值为，且函数在，上是增函数，则解析反函数为可得选由在，上是增函数知，即若，即是减函数适合题意若，则是增函数不合题意综上知点评指数函数图象过定点，那么对于指数型函数图象则要考虑平移画图指数型函数在区间上最值定要抓函数单调性来分析三指数函数综合应用例已知且求函数定义域讨论奇偶性求取值范围，使在定义域上恒成立解析