，且图象上有两个不动点记函数对称轴为求证如果解析依题意，方程有且仅有两个不等实根，，有两个不等实根，，，，，取值范围是，，，证明由得，即，设，则两根为，由及，即，作出可行域可知，点评本题主要考查二次函数二次方程根分布及不等式等有关知识，考查函数思想，化归转化思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题能力本题解答途径是函数不动点为解法三由题意知解得又，所以最小值为，最大值为当时，对任意，都有等价于在，上最大值与最小值之差据此分类讨论如下ⅰ当，即时，与题设矛盾ⅱ当，即时，恒成立ⅲ当，即时，恒成立综上，注ⅱⅲ也可合并证明如下用，表示，中较大者当，即时恒成立二在实际问题中建立函数模型例村庄拟修建个无盖圆柱形蓄水池不计厚度设该蓄水池底面半径为米，高为米，体积为立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面建造成本为元平方米，底面建造成本为元平方米，该蓄水池总建造成本为元为圆周率将表示成函数，并求该函数定义域讨论函数单调性，并确定和为何值时该蓄水池体积最大解析因为蓄水池侧面总成本为元，底面总成本为元，所以蓄水池总成本为元又据题意，所以，从而因，又由可得，故函数定义域为，因，故令，解得,因不在定义域内，舍去当，时故在，上为增函数当，时故在，上为减函数由此可知，在处取得最大值，此时即当，时，该蓄水池体积最大点评解答本题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应分段函数数学模型求解时，可利用导数求解，此外还要注意问题实际意义三函数模型拟合例创业投资公司拟投资开发种新能源产品，估计能获得万元万元投资收益现准备制定个对科研课题组奖励方案奖金单位万元随投资收益单位万元增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型基本要求现有两个奖励函数模型试分析这两个函数模型是否符合公司要求解析设奖励函数模型为，则公司对函数模型基本要求是当，时，是增函数恒成立恒成立对于函数模型当，时，是增函数，则所以恒成立因为函数在，上是减函数，所以从而不恒成立，即不恒成立故该函数模型不符合公司要求对于函数模型当，时，是增函数，则所以恒成立设，则当时，所以在，上是减函数，从而所以，即，所以恒成立故该函数模型符合公司要求点评根据问题所提供数据用熟悉函数模拟实际问题，再检验修正，然后用所得函数模型解决实际问题，这是人类用数学解决实际问题过程，也就是在实际问题中建立函数模型过程这类题目未给出具体函数模型，需要我们建立相关函数模型来解决问题，常要注意两点是认真阅读理解题意，用熟悉函数去拟合实际问题，从而建立相关函数模型二是抓住题目“题眼”来建立相关函数模型常见函数模型有次函数模型为常数，，反比例函数模型为常数，，二次函数模型为常数，，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛模型，在高考应用题考查中最为常见指数函数模型为常数，且，对数函数模型为常数，且，幂函数模型为常数，，，“勾”函数模型为常数，这种函数模型应用十分广泛，因其图象像个“勾号”，故我们把它称之为“勾”函数模型分段函数模型这个模型实则是以上两种或多种模型综合，因此应用也十分广泛备选题例记函数定义域为，若存在，使成立，则称以，为坐标点为函数图象上不动点若函数图象上有且仅有两个不动点，试求取值范围已知二次函数且，满足，，且图象上有两个不动点记函数对称轴为求证如果解析依题意，方程有且仅有两个不等实根，，有两个不等实根，，，，，取值范围是，，，证明由得，即，设，则两根为，由及，即，作出可行域可知，点评本题主要考查二次函数二次方程根分布及不等式等有关知识，考查函数思想，化归转化思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题能力本题解答途径是函数不动点零点为，零点为，则最大值为解析由得，函数零点为，即，图象相交于点，由得，函数零点为，即，图象相交于点，因为，互为反函数，则，与，关于直线对称所以，即且，由于，当且仅当时成立所以最大值为已知是定义在上偶函数，且在，上是增函数，设则大小关系是解析因为是定义在上偶函数，且在，上是增函数，所以函数在，上是减函数，且，所以如图，已知⊥，圆心在上半径为圆在时与相切于点，圆沿以速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为，令，则与时间，单位函数图像大致为解析如图所示顶点开口向上，如右图，单位，单位，与夹角为，以为圆心，为半径作圆弧与线段延长线交于点甲乙两质点同时从点出发，甲先以速率单位沿线段行至点，再以速率单位沿圆弧行至点后停止，乙以速率单位沿线段行至点后停止设时刻甲乙所到达两点连线与它们经过路径所围成图形面积为，则函数图象大致是解析对进行分段，确定函数解析式由题意知，当时，设圆弧半径为甲从沿圆弧移动到后停止，乙在点不动，则此时，此段图象为直线，当甲移动至点后，甲乙均不再移动，面积不再增加，选项中开始段函数图象不对，选项中后两段图象不对，选项中前两段函数图象不对，故选已知函数是定义在上偶函数，满足，且在，上是减函数试讨论函数在，上单调性，并给出证明如果，请指出方程所有实数根解析因为，所以是周期为周期函数函数在，上是增函数设，即，也就是由单调函数定义知，函数在，上是增函数因为在，上是减函数，且，所以方程在，内有唯实根由奇偶性知，方程在，内也有唯实根，这样在函数个周期，内，方程实根为考虑到周期性，方程所有实根为，地开发了个旅游景点，第年旅客约为万人，第年游客约为万人数学兴趣小组综合各种因素预测该景点每年游客人数会逐年增加该景点每年游客都达不到万人，该兴趣小组想找个函数来拟合该景点对外开放第年与当年游客人数单位万人之间关系根据上述两点预测，请用数学语言描述函数所具有性质若，试确定，值，并考察该函数是否符合上述两点预测若，，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定取值范围解析预测在，上单调递增预测，故在，上单调递增，符合预测又当时所以此时不符合预测由解得，因为，要想符合预测，则，即，从而或，当时，此时符合预测，但由解得，即当时所以此时不符合预测当，此时符合预测，又由，知所以从而，欲也符合预测，则，即又，解得综上所述，取值范围是，为解法三由题意知解得又，所以最小值为，最大值为当时，对任意，都有等价于在，上最大值与最小值之差据此分类讨论如下ⅰ当，即时，与题设矛盾ⅱ当，即时，恒成立ⅲ当，即时，恒成立综上，注ⅱⅲ也可合并证明如下用，表示，中较大者当，即时第讲函数综合应用学习目标会运用函数知识和函数思想解决有关函数综合性问题，培养学生分析问题和解决问题能力基础检测函数大致图象是解析函数是定义域为，，偶函数，值域为又当时，函数单调递增，所以只有选项正确已知是定义在上奇函数，且是以为周期周期函数，若当，时则值为解析即是周期为奇函数，已知函数在，上是增函数若，则取值范围是，解析因为，所以函数为偶函数因为函数在，上是增函数，当时此时为减函数当，函数单调递增因为，所以有，解得，得，驾驶员喝了升酒后，血液中酒精含量毫克毫升随时间小时变化规律近似满足表达式酒后驾车与醉酒驾车标准及相应处罚规定驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车精确到小时解析当时，当时，由，得，即，最小整数值为，故此驾驶员至少要过小时后才能开车函数，和增长速度比较指数函数和幂函数在区间，上，无论比大多少，尽管在定范围内会小于，但由于增长速度快于增长速度，因此总存在个，当时，有对于对数函数和幂函数在区间，上，尽管在定范围内可能会有，但由于增长速度慢于增长速度，因此在，上总存在个实数，使时与尽管都是增函数，但由于它们增长速度不同，而且不在同个“档次上”，因此在，上随增大，总会存在个，当时，有函数三要素定义域值域和对应法则，四条常用性质奇偶性单调性对称性和周期性及七类初等函数次函数反比例函数二次函数幂函数指数函数对数函数三角函数图象和性质，构成了函数主体与集合不等式导数构成高中数学最大板块，它们在数学其它分支中有极其广泛应用，成为历年高考命题主干题型和热点内容考查方式既有选择题填空题，又有解答题，有容易题，也有难题其中以函数定义与性质深化理解函数图象与性质灵活运用为核心，充分体现以“能力立意”为原则函数方程不等式综合例设函数设，证明在区间，内存在唯零点设为偶数，求最小值和最大值设，若对任意，有，求取值范围解析当时，，在，上是单调递增，在，内存在唯零点解法由题意知即，作出可行域如图所示，由图象知，在点，取到最小值，在点，取到最大值，最小值为，最大值为解法二由题意知，即即得，当，时当时所以最小值为，最大值为解法三由题意知解得又，所以最小值为，最大值为当时，对任意，都有等价于在，上最大值与最小值之差据此分类讨论如下ⅰ当，即时，与题设矛盾ⅱ当，即时，恒成立ⅲ当，即时，恒成立综上，注ⅱⅲ也可合并证明如下用，表示，中较大者当，即时恒成立二在实际问题中建立函数模型例村庄拟修建个无盖圆柱形蓄水池不计厚度设该蓄水池底面半径为米，高为米，体积为立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面建造成本为元平方米，底面建造成本为元平方米，该蓄水池总建造成本为元为圆周率将表示成函数，并求该函数定义域讨论函数单调性，并确定和为何值时该蓄水池体积最大解析因为蓄水池侧面总成本为元，底面总成本为元，所以蓄水池总成本为元又据题意，所以，从而因，又由可得，故函数定义域为，因，故令，解得,因不在定义域内，舍去当，时故在，上为增函数当，时故在，上为减函数由此可知，在处取得最大值，此时即当，时，该蓄水池体积最大点评解答本题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应分段函数数学模型求解时，可利用导数求解，此外还要注意问题实际意义三函数模型拟合例创业投资公司拟投资开发种新能源产品，估计能获得万元万元投资收益现准备制定个对科研课题组奖励方案奖金单位万元随投资收益单位万元增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过投资收益若建立函数模型制定奖励方案，试用