析由在，上图象可知又，时，时，时，时故是函数极值点，应选函数单调增区间为，，，，解析由得令，即，解得，函数在，上单调递增当，时，不等式恒成立，则实数取值范围是解析讨论取值情况并分离字母，利用不等式恒成立求解取值范围当时，变为恒成立，即当，时，极小值为由已知，得函数在，上是增函数，对，恒成立由，得，即对，恒成立设，要使“对，恒成立”，只要，令，得当，时为增函数在，上最小值是故函数在，上是增函数时，实数取值范围是，点评利用导数研究函数极值般步骤确定定义域求导函数若求极值，则先求方程根，再检验在方程根左右侧值符号，求出极值当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根大小或存在情况，从而求解三利用导数研究函数最值例已知函数，求函数在上最小值若函数有两个不同极值点求实数取值范围解析由，可得，当上最小值为当时，在，上单调递增则，题意即为有两个不同实根，即有两个不同实根，即有两个不同实根，等价于直线与函数图象有两个不同交点，在，上单调递减，在，上单调递增，画出函数图象大致形状如图由图象知，当时存在，且值随着增大而增大而当时，由题意，得两式相减，得代入上述方程可得，此时，实数取值范围为，点评定义在开区间，上可导函数，如果只有个极值点，该极值点必为最值点求函数在，上最大值与最小值步骤求函数在，内极值将函数各极值与端点处函数值，比较，其中最大个是最大值，最小个是最小值当连续函数在开区间内极值点只有个时，相应极值点必为函数最值点求函数在闭区间上最值，首先应判断函数在闭区间上单调性，般利用导数法判断利用求导方法讨论函数单调性要注意以下几个方面是递增充分条件而非必要条件亦是如此求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据或解出范围在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导方法来证明求函数极值可分为以下几步求出可疑点，即解与不可导点用求极值方法确定极值计算求值函数最值连续函数在闭区间，上必有最大值与最小值最值求法先求在，上极值，再将各极值与，比较，其中最大个为最大值，最小个为最小值极值与最值区别和联系函数极值表示函数在点附近情况，是在局部对函数值比较函数最值是表示函数在个区间上整体情况，是对函数在整个区间上函数值比较函数极值不定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值如果连续函数在区间，内只有个极值单峰函数，则极大值即是，上最大值，极小值即是，上最小值湖南已知函数求单调区间记为从小到大第个零点，证明对切，有„解析令，得当，时此时当，时此时故单调递减区间为，，单调递增区间为，由知，在区间，上单调递减又，故当时，因为，且函数图象是连续不断，所以在区间，内至少存在个零点又在区间，上是单调，故因此，当时当时当时，„„„„综上所述，对切，„点评本题主要考查了导数三角函数零点函数单调性应用不等式等问题在求函数零点时要注意利用函数单调性函数定义域为区间导数在，内图象如图，则函数在开区间，内有极值点个个个个解析由在，上图象可知又，时，时，时，时故是函数极值点，应选函数单调增区间为，，，，解析由得令，即，解得，函数在，上单调递增当，时，不等式恒成立，则实数取值范围是解析讨论取值情况并分离字母，利用不等式恒成立求解取值范围当时，变为恒成立，即当，时，选项也可能成立不成立，故选已知函数有两个极值点，则实数取值范围是，解析显然不合题意，假设直线与曲线相切设切点为则切线方程为，即又切线方程为，对比得解得，故若要使直线与曲线相交于两个不同点，即函数有个极值点，需满足已知函数定义域是，，且当时，则函数单调减区间是若，则与大小关系是解析由于，又因为，所以时，则又，则，从而已知函数，曲线在点，处切线方程为求，值讨论单调性，并求极大值解析，由已知得故从而，由知令得，或，从而当，，时，当，时，故在，单调递增，在，单调递减，当时，函数取得极大值，极大值为点评本题主要考查了导数几何意义，利用导数判断函数单调性求极值利用导数判断函数单调性，般求导后令，解方程得到零点，分区间讨论符号，从而确定单调区间，解方程要易于解不等式设函数当时，求函数单调区间当时，求函数在，上最小值和最大值解析当时恒成立函数在定义域上为增函数，当，即时，恒成立，在区间，单调递增，最小值，最大值法当，即时，有个不同实数根，设为，且，则，又，故在，上递增，在，上递减，在，上递增，又，法二当，即时解得因为故在，上递增，在，上递减，在，上递增，又故又，综上，函数在，上最小值为，最大值为设函数，其中讨论在其定义域上单调性当，时，求取得最大值和最小值时值解析定义域为，，令，得，所以当或时当时，故在，和，内单调递减，在，内单调递增因为，所以，当时由知，在，上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值当时由知，在，上单调递增，在，上单调递减，所以在处取得最大值又所以当时，在处取得最小值当时，在处和处同时取得最小值当时，在处取得最小值极小值为由已知，得函数在，上是增函数，对，恒成立由，得，即对，恒成立设，要使“对，恒成立”，只要，令，得当，时为增函数在，上最小值是故函数在，上是增函数时，实数取值范围是，点评利用导数研究函数极值般步骤确定定义域求导函数若求极值，则先求方程根，再检验在方程根左右侧值符号，求出极值当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内若已知极值大小或存在情第讲导数在函数中应用学习目标了解函数单调性及在点取得极值必要条件和充分条件与导数关系，会利用导数研究函数单调性，会用导数求函数极值和闭区间上最值基础检测已知二次函数图象如图所示，则其导函数图象大致形状是解析从图上可以看出，二次函数在，上递增，在，上递减故选设函数，则为极大值点为极小值点为极大值点为极小值点解析利用导数法求解，由解得当，时为增函数为极小值点设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数图象可能是解析利用导函数与原函数图象关系求解在处取得极小值，当当时当时结合选项中图象知选函数递减区间为，，解析，由于求递减区间，所以，解得，递减区间为故选已知函数有极大值和极小值，则实数取值范围是，，，，，，解析，因为函数有极大值和极小值，所以有两个不相等实数根，所以，解得知识要点函数单调性与导数设函数在区间，内可导，在，任意子区间内都不恒等于若，则在区间，内为若，则在区间，内为函数极值与导数函数在点函数值比它在附近其他点函数值都小且在点附近左侧，右侧，则点叫做函数，叫做函数增函数减函数极小值点极小值函数在点函数值比它在附近其他点函数值都大且在点附近左侧，右侧，则点叫做函数，叫做函数函数最值与导数若函数在闭区间，上图象是条连续不断曲线，则在闭区间，上必存在最大值和最小值，且，极大值，极小值，极大值点极大值利用导数研究函数单调性例已知函数为常数，„是自然对数底数，曲线在点，处切线与轴平行求值求单调区间设，其中为导函数证明对任意解析，由已知由知，设，则，从而，当时，从而综上可知，单调递增区间是单调递减区间是，由可知，当时故只需证明，设，则，当，时，当，时，所以当时，取得最大值所以设，则当，时或若已知单调性求参数，则转化为不等式或在单调区间上恒成立问题求解二利用导数研究函数极值例已知函数，当时，求函数极小值若函数在，上为增函数，求取值范围解析定义域为，当时令，得当，时为增函数函数极小值为由已知，得函数在，上是增函数，对，恒成立由，得，即对，恒成立设，要使“对，恒成立”，只要，令，得当，时为增函数在，上最小值是故函数在，上是增函数时，实数取值范围是，点评利用导数研究函数极值般步骤确定定义域求导函数若求极值，则先求方程根，再检验在方程根左右侧值符号，求出极值当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根大小或存在情况，从而求解三利用导数研究函数最值例已知函数，求函数在上最小值若函数有两个不同极值点求实数取值范围解析由，可得，当上最小值为当时，在，上单调递增则，题意即为有两个不同实根，即有两个不同实根，即有两个不同实根，等价于直线与函数图象有两个不同交点，在，上单调递减，在，上单调递增，画出函数图象大致形状如图由图象知，当时存在，且值随着增大而增大而当时，由题意，得两式相减，得代入上述方程可得，此时，实数取值范围为，点评定义在开区间，上可导函数，如果只有个极值点，该极值点必为最值点求函数在，上最大值与最小值步骤求函数在，内极值将函数各极值与端点处函数值，比较，其中最大个是最大值，最小个是最小值当连续函数在开区间内极值点只有个时，相应极值点必为函数最值点求函数在闭区间上最值，首先应判断函数在闭区间上单调性，般利用导数法判断利用求导方法讨论函数单调性要注意以下几个方面是递增充分条件而非必要条件亦是如此求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据或解出范围在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导方法来证明求函数极值可分为以下几步求出可疑点，即解与不可导点用求极值方法确定极值计算求值函数最值连续函数在闭区间，上必有最大值与最小值最值求法先求在，上极值，再将各极值与，比较，其中最大个为最大值，最小个为最小值极值与最值区别和联系函数极值表示函数在点附近情况，是在局部对函数值比较函数最值是表示函数在个区间上整体情况，是对函数在整个区间上函数值比较函数极值不定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值如