区间若函数中可用诱导公式将函数变为，则增区间为原函数减区间，减区间为原函数增区间对函数，等单调性讨论同上比较三角函数值大小般步骤先判断正负利用奇偶性或周期性转化为属于同单调区间上两个同名函数再利用单调性比较求三角函数单调区间周期最值等常化为或形式四川已知函数求单调递增区间若是第二象限角，，求值解析因为函数单调递增区间为，由，，得间，上最值问题借助辅助角，化为，求解方法同类型设，化为求二次函数在闭区间，上最值问题求解这类问题般方法是设，则，则，转化为求二次函数在，上最值问题设，化为，当时，可用均值定理求最值根据正弦函数有界性，既可用分析法求最值，还可用不等式法求最值，也可用数形结合法求最值二奇偶性单调性例设函数图象关于直线对称，且它最小正周期为，则在区间，上是减函数图象经过点，图象沿着轴向右平移个单位后所得图象关于轴对称在，上最小值为解析利用条件确定函数式再确定函数其它性质，又图象关于直线对称，又，当，时，不单调，错误当时错误图象沿着轴向右平移个单位后得解析式，它图象不关于轴对称，错误当，时，最小值为，正确点评对于，应写成，其周期为，而不是周期为，即形如正弦余弦函数周期减半正切函数周期则不变形如三角函数在求解对称性等问题时，往往把看做个整体求正弦函数对称轴，则令，求对称中心，则令，三三角函数性质综合应用例函数部分图象如图所示求解析式和单调递减区间设，求函数在区间，上最小值解析由图，又，为五点作图法第个点，，令，，即函数单调减区间，当时，即时，有最小值为点评三角函数最值求法涉及正余弦函数以及，可转化为形式，利用有界性来处理可利用换元法转化为二次函数，通过配方结合三角函数有界性求解形如问题，般看成直线斜率，利用数形结合求解其他常用方法还有基本不等式法和单调性法等备选题例已知函数，求函数最小正周期和单调递增区间若，求值解析先将函数转化为形式，再确定函数性质易得，，函数最小正周期，又由，得，函数单调递增区间为，由题意，点评求单调区间，基本思路是把看做个整体，由，求得其增区间，由，求得其减区间要注意正切函数只是在每个开区间，上具备单调性，在整个定义域上没有单调性正弦型余弦型函数单调性则根据它们各自单调区间求解三角函数奇偶性判断步骤与其他函数奇偶性判断步骤致首先看定义域是否关于原点对称在满足后再看与关系另外三角函数中奇函数般可化为，偶函数般可化为形式三角函数单调性函数，单调区间确定，其基本思想是把看作个整体，比如由解出范围，所得区间即为增区间若函数中可用诱导公式将函数变为，则增区间为原函数减区间，减区间为原函数增区间对函数，等单调性讨论同上比较三角函数值大小般步骤先判断正负利用奇偶性或周期性转化为属于同单调区间上两个同名函数再利用单调性比较求三角函数单调区间周期最值等常化为或形式四川已知函数求单调递增区间若是第二象限角，，求值解析因为函数单调递增区间为，由，，得，对称解析利用函数性质，逐个进行判断由题意知所以它是偶函数，错它周期为，错它对称轴是直线，，错它对称中心是点，对如果函数图象关于点，中心对称，那么最小值为解析函数关于点，中心对称，则有，即，，即，，即，，当时此时最小，故选已知函数，在曲线与直线交点中，若相邻交点距离最小值为，则最小正周期为解析利用辅助角公式把函数表示为正弦型函数，解出交点横坐标，然后根据距离求出，与联立，得或，得，由题意知最小正周期解答本题关键是相邻交点距离最小值是同个周期上两个交点距离值域是，解析，设，则当时当时，有最小正周期，且图象有对称轴，则满足关系是解析由题意其中又为对称轴，⇒两边平方整理得已知函数，且是它最大值其中，为常数且，给出下列命题是奇函数函数图象关于点，对称是函数最大值记函数图象在轴右侧与直线交点按横坐标从小到大依次记为，则其中真命题序号是写出所有正确命题序号解析由题意得因为是它最大值，所以，所以，且，即故，为偶函数，错误当时，，所以图象关于点，对称，正确，取得最小值，错误根据可得其周期为，由题意可得与相差个周期，即，错误，显然成立，正确填设函数写出函数最小正周期及单调递减区间当，时，函数最大值与最小值和为，求解析式解析，由，得故函数单调递减区间，，由题意知，当，时，原函数最大值与最小值和为设函数，若，求最大值及相应集合若是个零点，且，求值和最小正周期解析，当时，，而，所以最大值为，此时，即，，相应集合为，因为，是个零点⇔，即，，整理，得，又，所以而，所以，最小正周期为间，上最值问题借助辅助角，化为，求解方法同类型设，化为求二次函数在闭区间，上最值问题求解这类问题般方法是设，则，则，转化为求二次函数在，上最值问题设，化为，当时，可用均值定理求最值根据正弦函数有界性，既可用分析法求最值，还可用不等式法求最值，也可用数形结合法求最值二奇偶性单调性例设函数第讲三角函数性质学习目标理解三角函数定义域值域和最值奇偶性单调性与周期性对称性会判断简单三角函数奇偶性，会求简单三角函数定义域值域最值单调区间及其周期理解三角函数对称性，并能应用它们解决些问题基础检测在函数，中，最小正周期为所有函数为解析分别求出各个函数最小正周期，由图象知，函数周期综上可知，最小正周期为所有函数为设函数，则在，上单调递增，其图象关于直线对称在，上单调递增，其图象关于直线对称在，上单调递减，其图象关于直线对称在，上单调递减，其图象关于直线对称解析在，上单调递减，对称轴为，即函数图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在，上最小值为解析函数图象向左平移个单位得图象，又其为奇函数，故，，解得，又，令，得，又即当时故选已知函数图象与直线两个相邻交点距离等于，则单调递增区间为若函数，，最大值为，最小值为，则，解析由题意知，⇒，和最大值为，最小值为三角函数都不是单调函数，但是它们有无数个单调区间且彼此，运用三角函数单调性比较三角函数值大小时，必须使被比较函数同名，且自变量要落在同个单调区间内函数，周期为函数周期为，注意，周期为，但周期仍为函数图象具有轴对称和中心对称，具体如下函数图象关于直线其中，成轴对称图形函数图象关于点，其中，成中心对称图形三角函数定义域值域和最值例函数在个周期内图象如图所示，为图象最高点为图象与轴交点，且为正三角形若求函数值域若，且求值解析由已知可得，又正三角形高为，从而所以函数周期，即，函数值域为，因为，由有，即由知，所以故点评求三角函数最值，主要是利用正余弦函数有界性，般是通过三角变换化归为下列基本类型处理设，化为次函数在闭区间，上最值问题借助辅助角，化为，求解方法同类型设，化为求二次函数在闭区间，上最值问题求解这类问题般方法是设，则，则，转化为求二次函数在，上最值问题设，化为，当时，可用均值定理求最值根据正弦函数有界性，既可用分析法求最值，还可用不等式法求最值，也可用数形结合法求最值二奇偶性单调性例设函数图象关于直线对称，且它最小正周期为，则在区间，上是减函数图象经过点，图象沿着轴向右平移个单位后所得图象关于轴对称在，上最小值为解析利用条件确定函数式再确定函数其它性质，又图象关于直线对称，又，当，时，不单调，错误当时错误图象沿着轴向右平移个单位后得解析式，它图象不关于轴对称，错误当，时，最小值为，正确点评对于，应写成，其周期为，而不是周期为，即形如正弦余弦函数周期减半正切函数周期则不变形如三角函数在求解对称性等问题时，往往把看做个整体求正弦函数对称轴，则令，求对称中心，则令，三三角函数性质综合应用例函数部分图象如图所示求解析式和单调递减区间设，求函数在区间，上最小值解析由图，又，为五点作图法第个点，，令，，即函数单调减区间，当时，即时，有最小值为点评三角函数最值求法涉及正余弦