𝑥元,年的利润𝑥𝑥𝑚𝑚时,当且仅当𝑚,即万元时,万元故该厂家年厂家年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大𝑘𝑚核心考点考点考点考点知识方法易错易混解由题意知,当时,万件,⇒每件产品的销售价格为𝑥投入为万元,每生产万件该产品需要再投入万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数该应用例厂家拟在年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用万元满足为常数,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是万件已知生产该产品的固定�,当且仅当时,等号成立于是𝑎𝑏当且仅当时,等号成立𝑎𝑏,当且仅当时,等号成立核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点基本不等式的实际且仅当时,等号成立核心考点考点考点考点知识方法易错易混方法二𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏为正数𝑎�,𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎同理当且仅当𝑏𝑎𝑎𝑏,即时,等号成立𝑎𝑏,当形,变出基本不等式的形式,然后利用基本不等式进行证明核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知求证𝑎𝑏证明方法,不等式对所证明的不等式中的些部分放大或者缩小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本不等式及其变形,同时注意基本不等式成立的条件对待证明的不等式作适当变等号成立𝑎𝑏𝑎𝑏当且仅当𝑎𝑏时,等号成立核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考如何利用基本不等式证明不等式解题心得利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是利用基本�𝑏答案答案关闭证明𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏𝑎当且仅当𝑎𝑏时等号成立故𝑥的最大值为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点利用基本不等式证明不等式例已知求证𝑎𝑏�时等号成立,所以的最大值为答案解析关闭双击自测做个体积为,高为的长方体纸盒,若要想用纸最少,底面的长与宽分别为答案解析解析关闭设底面的长和宽分别为则有,表面积当且仅当时取等号答案解析关闭双击自测当时,不等式恒成立,则实数的最大值为𝑥答案解析解析关闭因为,所以又𝑥𝑥,当且仅当若,均为大于的正数,且,则的最大值是答案解析解析关闭,𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏答案解析解析关闭,错误对于当𝑎𝑏当且仅当时,等号成立答案解析关闭双击自测最小值等于双击自测若,,且,则下列不等式中,恒成立的是�最小值等于双击自测若,,且,则下列不等式中,恒成立的是𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏答案解析解析关闭,错误对于当𝑎𝑏当且仅当时,等号成立答案解析关闭双击自测若,均为大于的正数,且,则的最大值是答案解析解析关闭,𝑎𝑏𝑎𝑏当且仅当时取等号答案解析关闭双击自测当时,不等式恒成立,则实数的最大值为𝑥答案解析解析关闭因为,所以又𝑥𝑥,当且仅当时等号成立,所以的最大值为答案解析关闭双击自测做个体积为,高为的长方体纸盒,若要想用纸最少,底面的长与宽分别为答案解析解析关闭设底面的长和宽分别为则有,表面积等号成立故𝑥的最大值为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点利用基本不等式证明不等式例已知求证𝑎𝑏𝑎𝑏答案答案关闭证明𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑏𝑎当且仅当𝑎𝑏时,等号成立𝑎𝑏𝑎𝑏当且仅当𝑎𝑏时,等号成立核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考如何利用基本不等式证明不等式解题心得利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是利用基本不等式对所证明的不等式中的些部分放大或者缩小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本不等式及其变形,同时注意基本不等式成立的条件对待证明的不等式作适当变形,变出基本不等式的形式,然后利用基本不等式进行证明核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知求证𝑎𝑏证明方法𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎同理当且仅当𝑏𝑎𝑎𝑏,即时,等号成立𝑎𝑏,当且仅当时,等号成立核心考点考点考点考点知识方法易错易混方法二𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏为正数𝑎𝑏,当且仅当时,等号成立于是𝑎𝑏当且仅当时,等号成立𝑎𝑏,当且仅当时,等号成立核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点基本不等式的实际应用例厂家拟在年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用万元满足为常数,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是万件已知生产该产品的固定投入为万元,每生产万件该产品需要再投入万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数该厂家年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大𝑘𝑚核心考点考点考点考点知识方法易错易混解由题意知,当时,万件,⇒每件产品的销售价格为𝑥𝑥元,年的利润𝑥𝑥𝑚𝑚时,当且仅当𝑚,即万元时,万元故该厂家年的促销费用投入万元时,厂家的利润最大为万元基本不等式及其应用考纲要求考纲要求了解基本不等式的证明过程会用基本不等式解决简单的最大小值问题知识梳理基本不等式如果,都是非负数,那么𝑎𝑏𝑎𝑏,当且仅当时,等号成立其中𝑎𝑏称为正数,的算术平均数,𝑎𝑏称为正数,的几何平均数知识梳理几个重要的不等式,,当且仅当时取等号𝑎𝑏,,当且仅当时取等号𝑎𝑏𝑎𝑏,,当且仅当时取等号𝑏𝑎𝑎𝑏,同号,当且仅当时取等号知识梳理利用基本不等式求最值已知,则如果积是定值,那么当且仅当时,有最小值是简记积定和最小如果和是定值,那么当且仅当时,有最大值是简记和定积最大𝑝𝑠双击自测下列结论正确的打,错误的打“”当,时,𝑎𝑏𝑎𝑏两个不等式与𝑎𝑏𝑎𝑏成立的条件是相同的函数𝑥的最小值是函数𝑥,,的最小值等于双击自测若,,且,则下列不等式中,恒成立的是𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏答案解析解析关闭,错误对于当𝑎𝑏当且仅当时,等号成立答案解析关闭双击自测若,均为大于的正数,且,则的最大值是答案解析解析关闭,𝑎𝑏𝑎𝑏当且仅当时取等号答案解析关闭双击自测当时,不等式恒成立,则实数的最大值为𝑥答案解析解析关闭因为,所以又𝑥𝑥,当且仅当时等号成立,所以的最大值为答案解析关闭双击自测做个体积为,高为的长方体纸盒,若要想用纸最少,底面的长与宽分别为答案解析解析关闭设底面的长和宽分别为则有,表面积𝑥𝑦当且仅当时,等号成立即面积的最小值是,即长和宽都是时用纸最少答案解析关闭,双击自测自测点评应用基本不等式求最值要注意“正二定三相等”忽略个条件,就会出错对于公式,要弄清它们的作用使用条件及内在联系,两个公式也体现了和的转化关系在利用不等式求最值时,定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用,则定要保证它们等𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏答案解析解析关闭,错误对于当𝑎𝑏当且仅当时,等号成立答案解析关闭双击自测当且仅当时取等号答案解析关闭双击自测当时,不等式恒成立,则实数的最大值为𝑥答案解析解析关闭因为,所以又𝑥𝑥,当且仅当等号成立故𝑥的最大值为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点利用基本不等式证明不等式例已知求证𝑎𝑏�等号成立𝑎𝑏𝑎𝑏当且仅当𝑎𝑏时,等号成立核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考如何利用基本不等式证明不等式解题心得利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是利用基本形,变出基本不等式的形式,然后利用基本不等式进行证明核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知求证𝑎𝑏证明方法,且仅当时,等号成立核心考点考点考点考点知识方法易错易混方法二𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏为正数𝑎�应用例厂家拟在年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用万元满足为常数,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是万件已知生产该产品的固定厂家年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大𝑘𝑚核心考点考点考点考点知识方法易错易混解由题意知,当时,万件,⇒每件产品的销售价格为𝑥