体积的最大值为,则球的表面积为答案解析解析关闭由面积确定,若三棱锥的底面的高最大,则其体积才最大因为高最大为半径,所以种元素以及体现这些元素之间的关系,达到空间问题平面化的目的核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练课标全国Ⅱ,文已知,是球的球面上两点,,为该球面上的动点若三棱锥心考点考点考点考点知识方法易错易混解题心得解决球与其他几何体的切接问题,关键在于仔细观察分析,弄清相关元素的位置关系和数量关系,选准最佳角度作出截面要使这个截面尽可能多地包含球几何体的各截得,则正方体外接球的直径即为由直线被球面所截得的线段长为,可知正方形对角线的长为,可得,在中球的半径,表答案解析关闭核个球面上,该四棱锥的三视图如图所示分别是棱,的中点,直线被球面所截得的线段长为,则该球的表面积为答案解析解析关闭该几何体的直观图如图所示,该几何体可看作由正方体四面体高的,即,因此内切球表面积为𝑎,则𝑆𝑆𝑎𝑎答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型四四棱锥的外接球例四棱锥的五个顶点都在考点考点考点知识方法易错易混类型三正四面体的内切球例若个正四面体的表面积为,其内切球的表面积为,则𝑆𝑆答案解析解析关闭设正四面体棱长为,则正四面体表面积为,其内切球半径为正如图所示,且图中的四边形是边长为的正方形,则该球的表面积是答案解析解析关闭由三视图知,棱长为的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为,即为球的直径所以球的表面积为答案解析关闭核心考点所以球的半径答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型二正方体的外接球例已知多面体内接于球构成个简单组合体,如果该组合体的主视图左视图俯视图均例已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上,若⊥则球的半径为答案解析解析关闭如图,由球心作平面的垂线,则垂足为的中点又因为正方体的棱长为,所以其体积故该几何体的体积为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与球有关的切接问题多维探究类型直三棱柱的外接球,则该几何体的体积是答案解析解析关闭由三视图知,该几何体是由个正四棱锥和个正方体组成其中正四棱锥的底面边长为,高为,所以正四棱锥的体积的最小值为其中表示,两点沿棱柱的表面距离答案解析解析关闭由题意知,把面沿展开与面在个平面上,如图所示,连接即可,则三点共线时,最小,组成,其表面积答案解析关闭双击自测如图所示,在直三棱柱中,为直角三角形,是上动点,则边为,斜边上的高为,此高即为四棱锥的高,故答案解析关闭双击自测若几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是答案解析解析关闭由三视图可知,该几何体由个正四棱柱和个棱台已知四棱锥,底面是边长为的正方形,且俯视图如图所示若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为答案解析解析关闭由俯视图可知,四棱锥顶点在底面的射影为如图,又侧视图为直角三角形,则直角三角形的斜双击自测已知棱长为,各面均为等边三角形的四面体,它的表面积为答案解析解析关闭过作⊥,表面积答案解析关闭双击自测已双击自测已知棱长为,各面均为等边三角形的四面体,它的表面积为答案解析解析关闭过作⊥,表面积答案解析关闭双击自测已知四棱锥,底面是边长为的正方形,且俯视图如图所示若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为答案解析解析关闭由俯视图可知,四棱锥顶点在底面的射影为如图,又侧视图为直角三角形,则直角三角形的斜边为,斜边上的高为,此高即为四棱锥的高,故答案解析关闭双击自测若几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是答案解析解析关闭由三视图可知,该几何体由个正四棱柱和个棱台组成,其表面积答案解析关闭双击自测如图所示,在直三棱柱中,为直角三角形,是上动点,则的最小值为其中表示,两点沿棱柱的表面距离答案解析解析关闭由题意知,把面沿展开与面在个平面上,如图所示,连接即可,则三点共线时,最小,,则该几何体的体积是答案解析解析关闭由三视图知,该几何体是由个正四棱锥和个正方体组成其中正四棱锥的底面边长为,高为,所以正四棱锥的体积因为正方体的棱长为,所以其体积故该几何体的体积为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点与球有关的切接问题多维探究类型直三棱柱的外接球例已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上,若⊥则球的半径为答案解析解析关闭如图,由球心作平面的垂线,则垂足为的中点又所以球的半径答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型二正方体的外接球例已知多面体内接于球构成个简单组合体,如果该组合体的主视图左视图俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为的正方形,则该球的表面积是答案解析解析关闭由三视图知,棱长为的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为,即为球的直径所以球的表面积为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型三正四面体的内切球例若个正四面体的表面积为,其内切球的表面积为,则𝑆𝑆答案解析解析关闭设正四面体棱长为,则正四面体表面积为,其内切球半径为正四面体高的,即,因此内切球表面积为𝑎,则𝑆𝑆𝑎𝑎答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型四四棱锥的外接球例四棱锥的五个顶点都在个球面上,该四棱锥的三视图如图所示分别是棱,的中点,直线被球面所截得的线段长为,则该球的表面积为答案解析解析关闭该几何体的直观图如图所示,该几何体可看作由正方体截得,则正方体外接球的直径即为由直线被球面所截得的线段长为,可知正方形对角线的长为,可得,在中球的半径,表答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混解题心得解决球与其他几何体的切接问题,关键在于仔细观察分析,弄清相关元素的位置关系和数量关系,选准最佳角度作出截面要使这个截面尽可能多地包含球几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系,达到空间问题平面化的目的核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练课标全国Ⅱ,文已知,是球的球面上两点,,为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为答案解析解析关闭由面积确定,若三棱锥的底面的高最大,则其体积才最大因为高最大为半径,所以,解得,故球答案解析关闭空间几何体的表面积与体积考纲要求考纲要求了解球棱柱棱锥台的表面积的计算公式了解球棱柱棱锥台的体积的计算公式知识梳理柱锥台和球的侧面积和体积侧面积体积圆柱侧圆锥侧圆台侧上下上下直棱柱侧知识梳理侧面积体积正棱锥侧正棱台侧上下上下球球面知识梳理几何体的表面积棱柱棱锥棱台的表面积就是各面面积之和圆柱圆锥圆台的侧面展开图分别是矩形扇形扇环形它们的表面积等于侧面积与底面面积之和双击自测下列结论正确的打,错误的打“”圆柱的个底面积为,侧面展开图是个正方形,那么这个圆柱的侧面积是设长方体的长宽高分别为,其顶点都在个球面上,则该球的表面积为若个球的体积为,则它的表面积为长方体既有外接球,又有内切球将圆心角为,面积为的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于双击自测已知棱长为,各面均为等边三角形的四面体,它的表面积为答案解析解析关闭过作⊥,表面积答案解析关闭双击自测已知四棱锥,底面是边长为的正方形,且俯视图如图所示若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为答案解析解析关闭由俯视图可知,四棱锥顶点在底面的射影为如图,又侧视图为直角三角形,则直角三角形的斜边为,斜边上的高为,此高即为四棱锥的高,故答案解析关闭双击自测若几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是答案解析解析关闭由三视图可知,该几何体由个正四棱柱和个棱台组成,其表面积答案解析关闭双击自测如图所示,在直三棱柱中,为直角三角形,是上动点,则的最小值为其中表示,两点沿棱柱的表面距离答案解析解析关闭由题意知,把面沿展开与面在个平面上,如图所示,连接即可,则三点共线时,最小,,故的最小值为答案解析关闭双击自测自测点评求多面体的表面积,应找到其特征几何图形,它们是联系高与斜高边长等几何元素的桥梁求旋转体的侧面积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面积之和求几何体的体积,要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解核心考点考点考点考点知识已知四棱锥,底面是边长为的正方形,且俯视图如图所示若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为答案解析解析关闭由俯视图可知,四棱锥顶点在底面的射影为如图,又侧视图为直角三角形,则直角三角形的斜组成,其表面积答案解析关闭双击自测如图所示,在直三棱柱中,为直角三角形,是上动点,则,则该几何体的体积是答案解析解析关闭由三视图知,该几何体是由个正四棱锥和个正方体组成其中正四棱锥的底面边长为,高为,所以正四棱锥的体积例已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上,若⊥则球的半径为答案解析解析关闭如图,由球心作平面的垂线,则垂足为的中点又如图所示,且图中的四边形是边长为的正方形,则该球的表面积是答案解析解析关闭由三视图知,棱长为的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为,即为球的直径所以球的表面积为答案解析关闭核心考点四面体高的,即,因此内切球表面积为𝑎,则𝑆𝑆𝑎𝑎答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型四四棱锥的外接球例四棱锥的五个顶点都在截得,则正方体外接球的直径即为由直线被球面所截得的线段长为,可知正方形对角线的长为,可得,在中球的半径,表答案解析关闭核种元素以及体现这些元素之间的关系,达到空间问题平面化的目的核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练课标全国Ⅱ,文已知,是球的球面上两点,,为该球面上的动点若三棱锥