与曲线𝑥𝑘−𝑦答案解析解析关闭由,易知两曲线均为双曲线且焦点都在轴上,由𝑘𝑘,得两双曲线的焦距相等,选答案解析关闭双击自测“”是“方程表示双曲线”的充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件𝑥𝑘𝑦𝑘答案解析解析关闭当时方程表示双曲线当,”是“方程𝑥𝑘𝑦𝑘表示双曲线”的充分不必要条件答案解析关闭双击自测设双曲线经过点且与具有相同渐近线,则的方程为渐近线方程为𝑦答案解析解析关闭设双曲线的方程为𝑦,将点,代入上式,得,的方程为𝑥−𝑦,其渐近线方程为答案解析关闭𝑥−𝑦双击自测自测点评要熟练掌握双曲线中参数的内在关系及双曲线的基本性质理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断双曲线的扁狭程度双曲线的定义中注意不是距离的差化简得,所以𝑎𝑏𝑎答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型三由离心率或渐近线确定双方程𝑏𝑎,可得交点坐标为𝑎𝑚𝑏𝑎𝑎𝑚𝑏𝑎而,由,可得的中点与点连线的斜率为,即𝑏𝑚�渐近线分别交于点,若点,满足,则该双曲线的离心率是𝑥𝑎−𝑦𝑏思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系答案解析解析关闭联立直线方程与双曲线的渐近线所以,所以双曲线的渐近线方程是,即答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型二已知渐近线求离心率例设直线与双曲线的两条近线方程为答案解析解析关闭椭圆的离心率为𝑎𝑏𝑎,双曲线的离心率为𝑎𝑏𝑎,所以𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎,所以,即,已知离心率求渐近线方程思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系例已知,椭圆的方程为𝑥𝑎𝑦𝑏,双曲线的方程为𝑥𝑎−𝑦𝑏,与的离心率之积为,则的渐,所以,所以,故周长为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点双曲线的几何性质多维探究类型双曲线上点,若⊥,则的值为答案解析解析关闭不妨设在双曲线的右支上因为⊥,所以,所以,双曲线的左支点与的距离大,与的距离小,其中则故点的轨迹方程为𝑦核心考点考点考点考点知识方法易错易混已知双曲线,点,为其两个焦点,点为,即,核心考点考点考点考点知识方法易错易混所以点到两定点,的距离的差是常数且小于根据双曲线的定义,得动点的轨迹为案𝑦解析如图所示,设动圆与圆及圆分别外切于和根据两圆外切的条件,得因为,所以差,而是距离差的绝对值核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点双曲线的定义及其标准方程例已知圆和圆,动圆同时与圆及圆相外切,则动圆圆心的轨迹方程为答解析关闭𝑥−𝑦双击自测自测点评要熟练掌握双曲线中参数的内在关系及双曲线的基本性质理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断双曲线的扁狭程度双曲线的定义中注意不是距离的经过点且与具有相同渐近线,则的方程为渐近线方程为𝑦答案解析解析关闭设双曲线的方程为𝑦,将点,代入上式,得,的方程为𝑥−𝑦,其渐近线方程为答案充分也不必要条件𝑥𝑘𝑦𝑘答案解析解析关闭当时方程表示双曲线当,”是“方程𝑥𝑘𝑦𝑘表示双曲线”的充分不必要条件答案解析关闭双击自测设双曲线,易知两曲线均为双曲线且焦点都在轴上,由𝑘𝑘,得两双曲线的焦距相等,选答案解析关闭双击自测“”是“方程表示双曲线”的充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不故选答案解析关闭双击自测若实数满足,则曲线的焦距相等实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等𝑥−𝑦𝑘与曲线𝑥𝑘−𝑦答案解析解析关闭由,故选答案解析关闭双击自测若实数满足,则曲线的焦距相等实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等𝑥−𝑦𝑘与曲线𝑥𝑘−𝑦答案解析解析关闭由,易知两曲线均为双曲线且焦点都在轴上,由𝑘𝑘,得两双曲线的焦距相等,选答案解析关闭双击自测“”是“方程表示双曲线”的充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件𝑥𝑘𝑦𝑘答案解析解析关闭当时方程表示双曲线当,”是“方程𝑥𝑘𝑦𝑘表示双曲线”的充分不必要条件答案解析关闭双击自测设双曲线经过点且与具有相同渐近线,则的方程为渐近线方程为𝑦答案解析解析关闭设双曲线的方程为𝑦,将点,代入上式,得,的方程为𝑥−𝑦,其渐近线方程为答案解析关闭𝑥−𝑦双击自测自测点评要熟练掌握双曲线中参数的内在关系及双曲线的基本性质理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断双曲线的扁狭程度双曲线的定义中注意不是距离的差,而是距离差的绝对值核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点双曲线的定义及其标准方程例已知圆和圆,动圆同时与圆及圆相外切,则动圆圆心的轨迹方程为答案𝑦解析如图所示,设动圆与圆及圆分别外切于和根据两圆外切的条件,得因为,所以,即,核心考点考点考点考点知识方法易错易混所以点到两定点,的距离的差是常数且小于根据双曲线的定义,得动点的轨迹为双曲线的左支点与的距离大,与的距离小,其中则故点的轨迹方程为𝑦核心考点考点考点考点知识方法易错易混已知双曲线,点,为其两个焦点,点为双曲线上点,若⊥,则的值为答案解析解析关闭不妨设在双曲线的右支上因为⊥,所以,所以所以,所以,故周长为答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点双曲线的几何性质多维探究类型已知离心率求渐近线方程思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系例已知,椭圆的方程为𝑥𝑎𝑦𝑏,双曲线的方程为𝑥𝑎−𝑦𝑏,与的离心率之积为,则的渐近线方程为答案解析解析关闭椭圆的离心率为𝑎𝑏𝑎,双曲线的离心率为𝑎𝑏𝑎,所以𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎,所以,即,所以,所以双曲线的渐近线方程是,即答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型二已知渐近线求离心率例设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若点,满足,则该双曲线的离心率是𝑥𝑎−𝑦𝑏思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系答案解析解析关闭联立直线方程与双曲线的渐近线方程𝑏𝑎,可得交点坐标为𝑎𝑚𝑏𝑎𝑎𝑚𝑏𝑎而,由,可得的中点与点连线的斜率为,即𝑏𝑚𝑏𝑎𝑏𝑚𝑏𝑎𝑎𝑚𝑏𝑎𝑎𝑚𝑏𝑎𝑚,化简得,所以𝑎𝑏𝑎答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型三由离心率或渐近线确定双曲线方程例郑州二模已知双曲线的两个焦点分别为以线段为直径的圆与双曲线渐近线的个交点是则此双曲线的方程为𝑦𝑎−𝑥𝑏𝑦−𝑥𝑦−𝑥𝑦−𝑥𝑦−𝑥思考求双曲线方程的般思路是怎样的答案解析解析关闭由题意又双曲线的渐近线为𝑎𝑏,𝑎𝑏则由解得双曲线方程为𝑦−𝑥故选答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混类型四利用渐近线与已知直线的位置关系求离心率范围例已知双曲线与直线有交点,则双曲线离心率的取值范围为,,𝑦𝑎−𝑥𝑏答案解析解析关闭双曲线的条渐近线方程为𝑏𝑎,则由题意得𝑏𝑎答案解析关闭核心考点考点考点考点知识方法易错易混思考如何求双曲线离心率的范围解题心得双曲线的离心率与渐近线有密切联系,可通过公式来反映求双曲线的离心率的般思路是根据已知条件,建立起与的关系,从而求出的值求双曲线方程的般思路是利用方程的思想,把已知条件转化成等式,通过解方程求出,的值,从而求出双曲线的方程涉及离心率的范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且要对双曲线与直线的交点情况进行分析,最后利用三角或不等式解决问题双曲线的几何性质若与向量三角等交汇,则需要将向量或三角等有关条件进行转化𝑏𝑎𝑒𝑏𝑎核心考点考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知中心在原点的双曲线的右焦点为离心率等于,则的方程是𝑥−𝑦𝑥−𝑦𝑥−𝑦𝑥−𝑦答案解析解析关闭由曲线的右焦点为知由离心率,知𝑐𝑎,则,所以,故双曲线的方程为𝑥−𝑦答案解析关闭双曲线考纲要求考纲要求了解双曲线的定义几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质范围对称性顶点离心率渐近线理解数形结合的思想了解双曲线的简单应用知识梳理双曲线的概念双曲线的定义我们把平面内到两定点,的距离之差的绝对值等于常数大于零且小于的点的集合叫作双曲线定点,叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距双曲线定义的拓展设集合其中,为常数,且当时,集合是空集知识梳理双曲线的标准方程和几何性质标准方程−−图形性质范围或,,或对称性对称轴坐标轴对称中心原点对称轴坐标轴对称中心原点知识梳理标准方程−−性质顶点顶点坐标,顶点坐标,渐近线𝑎𝑏离心率𝑐𝑎,,,其中𝑎𝑏实虚轴线段叫做双曲线的实轴,它的长线段叫做双曲线的虚轴,它的长叫做双曲线的实半轴长,叫做双曲线的虚半轴长的关系,双击自测下列结论正确的打,错误的打“”平面内到点,距离之差等于的点的轨迹是双曲线关于,的方程𝑥𝑚−𝑦𝑛表示焦点在轴上的双曲线与双曲线𝑥𝑚−𝑦𝑛其中共渐近线的双曲线方程可设为𝑥𝑚−𝑦𝑛等轴双曲线的离心率等于,且渐近线互相垂直若双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏与𝑥𝑏−𝑦𝑎的离心率分别是则𝑒𝑒双击自测已知为双曲线的个焦点,则点到的条渐近线的距离为答案解析解析关闭双曲线的标准方程为𝑥𝑚−𝑦,其渐近线方程为𝑚𝑚,即𝑚,不妨选取右焦点𝑚,到其中条渐近线𝑚的距离求解,得𝑚𝑚故选答案解析关闭双击自测若实数满足,则曲线的焦距相等实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等𝑥−𝑦𝑘与曲线𝑥𝑘−𝑦答案解析解析关闭由,易知两曲线均为双曲线且焦点都在轴上,由𝑘𝑘,得两双曲线的焦距相等,选答案解析关闭双击自测“”是“方程表示双曲线”的充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件𝑥𝑘𝑦𝑘答案解析解析关闭当时方程表示双曲线当,”是“方程𝑥𝑘𝑦𝑘表示双曲线”的充分不必要条件答案解析关闭双击自测设双曲线经过点且与具有相同渐近线,则的方程为渐近线方程为𝑦答案解析解析关闭设双曲线的方程为𝑦,将点,代入上式,得,的方程为𝑥−𝑦,其渐近线方程为答案解析关闭𝑥−𝑦双击自测自测点评要熟练掌握双曲线中参数的内在关系及双曲线的基本性质理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断双曲线的扁狭程度双曲线的定义中注意不是距离的差易知两曲线均为双曲线且焦点都在轴上,由𝑘𝑘,得两双曲线的焦距相等,选答案解析关闭双击自测“”是“方程表示双曲线”的充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不经过点且与具有相同渐近线,则的方程为渐近线方程为𝑦答案解析解析关闭设双曲线的方程为𝑦,将点,代入上式,得,的方程为𝑥−𝑦,其渐近线方程为答案差,而是距离差的绝对值核心考点考点考点考点知识方法易错易混考点双曲线的定义及其标准方程例已知圆和圆,动圆同时与圆及圆相外切,则动圆圆心的轨迹方